曹亞娟，劉旭升，關(guān)劍月

(蘭州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，蘭州 730000)

網(wǎng)絡(luò)演化博弈中的自組織臨界性

曹亞娟，劉旭升，關(guān)劍月

(蘭州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，蘭州 730000)

結(jié)合雪堆博弈模型與擴(kuò)展的Bak-Sneppen(BS)模型，研究一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上合作行為的涌現(xiàn)與個(gè)體間的動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)性。通過統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)平均合作概率隨時(shí)間的演化，發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)演化到穩(wěn)態(tài)時(shí)群體具有較高的合作水平。此外，統(tǒng)計(jì)了個(gè)體策略突變行為的雪崩尺寸及適應(yīng)度最低個(gè)體間的距離分布，發(fā)現(xiàn)這兩種分布可近似為冪律分布。這表明系統(tǒng)自組織達(dá)到了一種臨界狀態(tài)，在臨界狀態(tài)個(gè)體策略在系統(tǒng)尺度上相互關(guān)聯(lián)，因此與系統(tǒng)中高水平合作行為的涌現(xiàn)有著緊密的關(guān)系。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò); 雪堆博弈；自組織臨界性；合作

0 引言

在達(dá)爾文時(shí)代之后很長(zhǎng)一段時(shí)間里，大多生物學(xué)家認(rèn)為生物演化是以一種非常光滑和連續(xù)的方式進(jìn)行，并且這種漸進(jìn)演化需要經(jīng)過漫長(zhǎng)的時(shí)間。然而在1972年，美國(guó)古生物學(xué)家Niles Eldredge和Stephen Jay Gould[1]在研究化石記錄時(shí)發(fā)現(xiàn)生物演化并非這樣。他們認(rèn)為進(jìn)化是跳躍與停滯相間的，而不是以勻速、平滑、漸變的方式進(jìn)行。比如恐龍的滅絕，寒武紀(jì)大爆發(fā)等，但在這些爆發(fā)性事件之間經(jīng)過了一系列小事件的頻發(fā)。這表明相互作用的物種間的演化達(dá)到了一種自組織臨界狀態(tài)。自組織臨界性(self-organizedcriticality，SOC)則是用來描述一個(gè)系統(tǒng)由遠(yuǎn)離平衡態(tài)自發(fā)趨于平衡態(tài)的性質(zhì)，是認(rèn)識(shí)自然界中無標(biāo)度現(xiàn)象的一個(gè)重要理論框架。這一概念最早是由物理學(xué)家Per Bak,Chao Tang和Kurt Wiesenfeld[2]在1987年為解釋原胞自動(dòng)機(jī)模型上的一些行為而提出。他們通過沙堆模型形象展示了自組織臨界態(tài)的形成及性質(zhì)。向一沙堆上不斷加入沙礫，隨著沙堆斜率的增加整個(gè)系統(tǒng)將遠(yuǎn)離平衡態(tài)，當(dāng)沙堆斜率趨于一個(gè)臨界值時(shí)整個(gè)系統(tǒng)將會(huì)對(duì)極小的微擾產(chǎn)生敏感的反應(yīng)。此時(shí)如果再向沙堆上加入一粒沙子，都可能會(huì)引起整個(gè)沙堆的崩塌。這就是所謂的“雪崩現(xiàn)象”。通過模擬計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)時(shí)，雪崩尺寸大小與雪崩發(fā)生頻率呈冪律關(guān)系。一般當(dāng)系統(tǒng)處于自組織臨界狀態(tài)時(shí)都可以尋找到空間或時(shí)間上的冪律分布。自組織臨界性概念提出之后許多研究者都嘗試將這一概念應(yīng)用于研究各種各樣具有復(fù)雜性出現(xiàn)的現(xiàn)象中，其范圍涉及各個(gè)領(lǐng)域包括演化生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)、宇宙學(xué)、神經(jīng)系統(tǒng)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等等[3-6]。

演化生物學(xué)中還有一個(gè)根本問題為合作的涌現(xiàn)和維持[7]。根據(jù)達(dá)爾文的自然選擇學(xué)說個(gè)體都是自私的，在生存競(jìng)爭(zhēng)中個(gè)體都將最大化自己收益。但是不管是在動(dòng)物群落還是人類社會(huì)中我們發(fā)現(xiàn)合作行為都是普遍存在的。演化博弈理論[8]為研究這一問題提供了有力的理論框架。近年來，研究人員提出了多種促進(jìn)合作行為的機(jī)制：親緣選擇[9]、直接互惠[10]、間接互惠[11-12]、網(wǎng)絡(luò)互惠[13-16]、群選擇[17-18]等。在每種機(jī)制下都有大量的研究給出了合作可以涌現(xiàn)的條件，而這些條件有時(shí)是很強(qiáng)的條件。比如在網(wǎng)絡(luò)互惠中只有代價(jià)收益比大于個(gè)體平均度[19]時(shí)合作才能得以維持，但對(duì)于真實(shí)網(wǎng)絡(luò)個(gè)體一般都具有較大的度。此外，還有研究者對(duì)博弈理論中的自組織臨界性進(jìn)行了深入的研究[20-22]，但是在這些研究中系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致的臨界狀態(tài)并沒有與合作的涌現(xiàn)產(chǎn)生直接聯(lián)系。

最近，Park和Jeong[23]通過博弈模型與自組織臨界模型的結(jié)合，對(duì)上述演化理論中的兩個(gè)問題進(jìn)行了討論。他們?cè)谝痪S環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上采用囚徒困境博弈模型，引入Bak-Sneppen(BS)競(jìng)爭(zhēng)過程，研究了具有自組織臨界性的合作涌現(xiàn)。那么，對(duì)于一維環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上的雪堆博弈，系統(tǒng)是否會(huì)達(dá)到自組織臨界狀態(tài)？系統(tǒng)的合作水平如何？基于此，我們引入擴(kuò)展的BS競(jìng)爭(zhēng)過程[24]，考察了一維環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上的雪堆博弈，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)演化后，BS過程會(huì)使系統(tǒng)達(dá)到自組織臨界狀態(tài)，從而使群體中合作水平顯著提升。

1 方法

1.1 網(wǎng)絡(luò)和博弈模型

在大小為N的具有周期性邊界條件的一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上，令N個(gè)個(gè)體隨機(jī)分布在網(wǎng)絡(luò)的N個(gè)格點(diǎn)上。每個(gè)個(gè)體僅與左右兩個(gè)相鄰個(gè)體相互作用。個(gè)體之間的相互作用采用經(jīng)典兩策略對(duì)稱博弈模型:雪堆博弈(SG)。雪堆博弈和囚徒困境博弈都是對(duì)不同社會(huì)困境的一種描述[25-26]。在博弈過程中每個(gè)個(gè)體可以采取兩種策略：合作(C)或者背叛(D)。一般而言，個(gè)體的收益依賴于其采取的策略，可以使用矩陣進(jìn)行描述：

每一個(gè)矩陣元素表示當(dāng)個(gè)體使用左邊(列)策略而對(duì)手使用上邊(行)策略時(shí)的收益。在雪堆博弈中，收益參數(shù)需滿足T>R>S>P，個(gè)體最好采取與對(duì)手相反的策略，即在雪堆博弈中其納什均衡[27]為混合策略。本文收益參數(shù)分別為：R=1，P=1，0≤S≤1，1≤T≤2。

1.2 群體動(dòng)力學(xué)

對(duì)于個(gè)體間的競(jìng)爭(zhēng)過程，則引入推廣后的Bak-Sneppen(BS)模型[24,28]。在具有周期性邊界條件的晶格網(wǎng)絡(luò)上，每個(gè)個(gè)體與其鄰居進(jìn)行相互作用，并根據(jù)上述收益矩陣獲取收益。假設(shè)每個(gè)個(gè)體在繁殖成功前已經(jīng)過足夠多次的博弈，因此可以使用個(gè)體的平均收益表示個(gè)體的適應(yīng)度。個(gè)體在博弈時(shí)所采取的策略為混合策略，即以概率Pc選擇C策略，以概率1-Pc選擇D策略。Pc=1和Pc=0分別表示純合作策略C和純背叛策略D。于是可以得到個(gè)體的平均收益為

fi=(1-S-T)PciK+dSPci+TK

(1)

在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，適應(yīng)度最低的個(gè)體將會(huì)死亡，其位置由一個(gè)新的個(gè)體取代。新個(gè)體的合作概率為一個(gè)從區(qū)間[0，1]內(nèi)隨機(jī)選取的數(shù)?？紤]到一個(gè)物種的突變或滅絕可能會(huì)對(duì)其周圍物種的適應(yīng)度產(chǎn)生影響，比如生物鏈上相鄰的兩物種，當(dāng)適應(yīng)度最低的個(gè)體死亡時(shí)，其鄰居位置上的個(gè)體也會(huì)以一定概率q死亡。如果鄰居位置上個(gè)體發(fā)生死亡則其位置將以同樣的方式被新的個(gè)體所占據(jù)。

在模擬過程中，令N個(gè)個(gè)體隨機(jī)排列在一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)的N個(gè)格點(diǎn)上:

1)初始時(shí)從均勻分布在[0，1]內(nèi)的隨機(jī)序列P(c)中隨機(jī)獲取N個(gè)隨機(jī)數(shù)，作為每個(gè)個(gè)體的合作概率(混合策略)Pci(i=1,2,…,N)。然后個(gè)體與其2個(gè)鄰居相互作用，獲取收益期望值fi(i=1,2,…,N)。

2)在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)挑出系統(tǒng)中適應(yīng)度最小的個(gè)體改變其策略，改變方法為隨機(jī)從P(c)中挑出一個(gè)隨機(jī)數(shù)賦予該個(gè)體。

3)該個(gè)體的2個(gè)鄰居受中心個(gè)體的影響，影響強(qiáng)度用概率q描述。被影響到的個(gè)體以同樣的規(guī)則改變其策略，即仍然從P(c)中挑出一個(gè)隨機(jī)數(shù)賦予該個(gè)體。參數(shù)q將個(gè)體的自身適應(yīng)度考慮到了相互作用中，q=0意味著個(gè)體間不進(jìn)行相互作用，q=1則意味著個(gè)體間一定有相互作用即原始BS過程，而在區(qū)間(0，1)之間表明個(gè)體間存在著部分相互作用。

4)重復(fù)以上步驟，直到系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)為止。

2 結(jié)果與討論

圖1顯示了一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上個(gè)體的合作概率與適應(yīng)度隨時(shí)間演化的快照特征。系統(tǒng)尺寸為N=64，收益參數(shù)分別為T=1.5，S=0.5，時(shí)間步長(zhǎng)為初始的6 000步，個(gè)體間的作用強(qiáng)度q=1，即中心個(gè)體的適應(yīng)度變化一定會(huì)對(duì)周圍鄰居產(chǎn)生影響。其中圖1b為重新標(biāo)度后的適應(yīng)度，F(xiàn)itness=fi/(R+S+T+P)∈[0,1]。從圖中可以看出策略突變幾乎只發(fā)生在個(gè)體適應(yīng)度最低的位置及其鄰居位置上。在圖中適應(yīng)度越低的個(gè)體越接近黑色，而其鄰居位置上個(gè)體的合作概率也同樣顯示為黑色。這表明在雪堆博弈中當(dāng)個(gè)體的鄰居具有較低的合作概率Pc(傾向于背叛)時(shí)個(gè)體收益會(huì)達(dá)到最低。但是隨著時(shí)間演化，發(fā)現(xiàn)適應(yīng)度最低的個(gè)體其鄰居會(huì)逐漸接近白色(傾向于合作)，系統(tǒng)的整體合作水平會(huì)得到提升。此外，圖1中還表現(xiàn)出了群體適應(yīng)度和策略演化的斷續(xù)平衡[28]行為，為了進(jìn)一步理解此現(xiàn)象，在后面將會(huì)討論突變活動(dòng)的雪崩動(dòng)力學(xué)行為。

a中白色表示純合作(1)，黑色表示純背叛(0)；b中白色表示最高適應(yīng)度(1)，黑色表示最低適應(yīng)度(0)；參數(shù)N=64,T=1.5,S=0.5,q=1,時(shí)間步長(zhǎng)為初始時(shí)6 000步。圖1 系統(tǒng)中所有個(gè)體的狀態(tài)隨時(shí)間演化的空間構(gòu)型Fig.1 Spatial pattern of mutation activity versus time for all agents in the system

為了更好地理解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)，在圖3中統(tǒng)計(jì)了所有發(fā)生突變的個(gè)體的合作概率隨時(shí)間的演化包括適應(yīng)度最低的個(gè)體及其鄰居個(gè)體，和它們的平均合作概率。將發(fā)生突變的個(gè)體的合作概率定義為:crep=(cmin+2cnei)/3。從圖中可以看出初始時(shí)雪堆博弈中適應(yīng)度最低的個(gè)體其鄰居的合作概率也較低。對(duì)于雪堆博弈，當(dāng)系統(tǒng)尺寸足夠大時(shí)，總會(huì)存在一個(gè)個(gè)體m，其合作概率Pcm接近于0，而其鄰居也都具有趨近于 0 的合作概率。極端情況就是一個(gè)個(gè)體與其鄰居進(jìn)行雪堆博弈時(shí)，自己與對(duì)手都選擇背叛策略(D-D-D)。在這種情況下，中心個(gè)體將獲取最低的收益。所以，在雪堆博弈下，初始時(shí)適應(yīng)度最低的個(gè)體與其鄰居都是具有較低合作概率的背叛者。隨著時(shí)間的演化，這樣的個(gè)體將從群體中消失。突變過程中將不斷導(dǎo)致群體的平均合作概率〈c〉逐步上升。當(dāng)群體平均合作概率提升之后，若一個(gè)新的具有隨機(jī)合作概率的突變體其合作概率低于群體平均合作概率時(shí)，則下一時(shí)間步適應(yīng)度最低個(gè)體極有可能就是該突變體的鄰居，由此也將導(dǎo)致突變活動(dòng)的雪崩效應(yīng)。從圖中可以看出當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)以后，所有發(fā)生突變的個(gè)體其平均合作概率crep將收斂于穩(wěn)定值0.5。由于群體的平均合作概率〈c〉的動(dòng)力學(xué)取決于crep，在系統(tǒng)演化的初始階段兩者行為一致。但是當(dāng)crep穩(wěn)定時(shí)，群體的平均合作概率〈c〉仍然會(huì)持續(xù)增加，甚至超過了cmin，這是由于個(gè)體的突變活動(dòng)出現(xiàn)了關(guān)聯(lián)性，整個(gè)系統(tǒng)表現(xiàn)出了較高的合作水平。從上述說明可見自組織臨界模型的動(dòng)力學(xué)與系統(tǒng)中高水平的合作出現(xiàn)有著緊密的關(guān)系。另外，從圖3中可以發(fā)現(xiàn)作用強(qiáng)度的大小并沒有對(duì)群體平均合作概率的演化產(chǎn)生較大影響。

T=1.5，S=0.5，q=1 。圖2 一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上不同系統(tǒng)尺寸下平均合作概率(〈c〉)的時(shí)間序列Fig.2 Time evolution of mean cooperation frequencyon a 1D line with different size N

N=128圖3 系統(tǒng)平均合作概率〈c〉，適應(yīng)度最低個(gè)體合作概率cmin，適應(yīng)度最低個(gè)體鄰居合作概率cnei，突變個(gè)體平均合作概率crep隨時(shí)間的演化Fig.3 The cooperate probability of the whole system,individuals with the lowest fitness,neighbors of individuals with the lowest fitness,and mutated agents

當(dāng)系統(tǒng)的合作水平達(dá)到穩(wěn)定值時(shí)，我們統(tǒng)計(jì)了不同尺寸下的適應(yīng)度分布d(f)(見圖4)。隨著系統(tǒng)尺寸增加適應(yīng)度分布的峰值會(huì)降低并且分布相應(yīng)變寬，群體的適應(yīng)度都集中分布于一個(gè)很小的區(qū)間范圍。在系統(tǒng)演化過程中群體動(dòng)力學(xué)決定了系統(tǒng)中最小適應(yīng)度隨時(shí)間是不斷增加的，最后趨于某個(gè)閾值fc。當(dāng)群體的適應(yīng)度小于最低臨界值fc時(shí)適應(yīng)度分布變?yōu)榱?。?dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)所有個(gè)體的適應(yīng)度將在臨界值fc上，此時(shí)適應(yīng)度最低的個(gè)體仍然會(huì)改變其策略，其適應(yīng)度也隨之產(chǎn)生變異。如果此時(shí)該個(gè)體的適應(yīng)度低于臨界值fc，則定義為變異活動(dòng)雪崩的開始。直到群體的最低適應(yīng)度再次大于臨界值fc時(shí)表示此次雪崩終止。將在這次雪崩中發(fā)生的變異事件的總數(shù)定義為雪崩尺寸M。

在臨界適應(yīng)度fc下，根據(jù)上述雪崩的定義進(jìn)一步研究了系統(tǒng)的雪崩尺寸分布。如圖5所示在一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上，N=2 048、fc=3.9時(shí)的雪崩尺寸分布，通過擬合發(fā)現(xiàn)雪崩尺寸近似表現(xiàn)為冪律分布P(M)∝M-γ，標(biāo)度指數(shù)γ=0.57±0.002。在穩(wěn)態(tài)下我們同時(shí)測(cè)量了連續(xù)變異個(gè)體間的距離分布P(X)，其在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下也近似表現(xiàn)為冪律分布P(X)∝X-γ，γ=2.73±0.02這表明系統(tǒng)自組織達(dá)到了臨界狀態(tài)。在臨界狀態(tài)下，BS機(jī)制建立的動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)性抑制了非合作策略在系統(tǒng)中的長(zhǎng)時(shí)間存在，使得群體表現(xiàn)出了較高的合作水平。與一維環(huán)上的囚徒困境模型相比[23],雪崩尺寸及最小適應(yīng)度個(gè)體間距離分布的標(biāo)度指數(shù)是不相同的，這說明在這兩種不同的博弈模型下由于BS過程的引入所表現(xiàn)出的臨界行為不屬于同一個(gè)普適類。

圖4 不同系統(tǒng)尺寸下適應(yīng)度的分布(q=1)Fig.4 The distribution of fitness for different population size

4 結(jié)論

在具有周期性邊界條件的一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上，本文引入擴(kuò)展的Bak-Sneppen(BS)過程描述個(gè)體間的競(jìng)爭(zhēng)，研究了演化雪堆博弈中合作行為的涌現(xiàn)與自組織臨界性。通過分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)，統(tǒng)計(jì)了群體中適應(yīng)度最低個(gè)體及其鄰居的合作概率與系統(tǒng)平均合作概率隨時(shí)間的演化，并分析了群體合作水平提升的原因。由于BS過程會(huì)使得演化過程中適應(yīng)度最低的個(gè)體間產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)性，從而使群體的合作水平有較高的提升。在系統(tǒng)穩(wěn)定后定義了系統(tǒng)中的雪崩尺寸，即適應(yīng)度低于臨界值后的連續(xù)變異事件總數(shù)。最后，統(tǒng)計(jì)了雪崩尺寸分布和連續(xù)變異間的距離分布，發(fā)現(xiàn)其具有近似的冪律行為，這表明系統(tǒng)自組織達(dá)到了一種臨界狀態(tài)。在臨界狀態(tài)時(shí)個(gè)體在系統(tǒng)尺度上相互關(guān)聯(lián)，這與系統(tǒng)中高水平合作行為的涌現(xiàn)有著直接的關(guān)系。

a中fc=3.9,黑色直線是通過P(M)∝M-γ非線性擬合所得,γ=0.57±0.002；黑色直線是通過P(X)∝X-γ非線性擬合所得，γ=2.73±0.02。圖5 一維規(guī)則環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)上雪崩尺寸分布和最低適應(yīng)度個(gè)體間距離分布Fig.5 Distribution of avalanche size and the distance between successive minimum fitness sites on a 1D lattice

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(責(zé)任編輯 耿金花)

Self-organized Criticality in Spatial Evolutionary Games

CAO Yajuan,LIU Xusheng,GUAN Jianyue

(School of Physical Science and Technology,Lanzhou University,Lanzhou 730000,China)

We study the emergence of cooperation with self-organized criticality on a one-dimensional lattice by connecting Snowdrift Game and Bak-Sneppen (BS) model.We first calculate the mean cooperation probability of the system by Monte-Carlo simulation and the results show that there is a high level cooperation in the steady state,which is possible because the BS mechanism builds dynamical correlation between the least fit sites.Besides,we also measure the distribution of avalanche size and the distance between successive minimum fitness sites,which are well fit by a power law approximately.The power law distribution we measured shows that the system has reached a critical state.In the critical state the agents are correlated at all scales which closely connected with the high level cooperation in the system.

complex networks; snowdrift game; self-organized criticality; cooperation

1672-3813(2017)01-0015-05；

10.13306/j.1672-3813.2017.01.003

2016-03-16；

2016-05-04

國(guó)家自然科學(xué)基金(11475074，11135001)；蘭州大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(lzujbky-2014-32)

曹亞娟(1991-)，女，寧夏固原人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)演化博弈動(dòng)力學(xué)。

關(guān)劍月(1981-)，女，河北邯鄲人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)演化博弈動(dòng)力學(xué)。

N941.3

A