胡俊強，羅毅平

(湖南工程學院 風力發(fā)電機組及控制湖南省重點實驗室，湘潭 411104)

具有時變時滯和無時滯耦合復雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步保性能控制

胡俊強，羅毅平

(湖南工程學院 風力發(fā)電機組及控制湖南省重點實驗室，湘潭 411104)

為了提高模型的適應性以及真實地仿真現(xiàn)實的網(wǎng)絡(luò)世界，研究一類具有時變時滯和非時滯的復雜網(wǎng)絡(luò)，同時考慮到該系統(tǒng)的控制成本，還需要研究此類復雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的保性能控制.為此系統(tǒng)設(shè)計動態(tài)反饋控制器，構(gòu)造保性能函數(shù).利用李雅普洛夫穩(wěn)定性理論以及矩陣不等式處理等數(shù)學方法，得出具有時變時滯和非時滯復雜網(wǎng)絡(luò)的同步保性能控制器的充分條件.所設(shè)計的動態(tài)反饋控制器在保證系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定條件下讓系統(tǒng)的性能指標滿足特定條件.最后給出數(shù)值仿真證明其可行性和有效性.

復雜網(wǎng)絡(luò)；同步；反饋控制；保性能；時變時滯

自然界和人類社會的許多系統(tǒng)都能描述成復雜系統(tǒng)，因此復雜網(wǎng)絡(luò)的研究廣泛存在于科學、社會和工程等領(lǐng)域，國內(nèi)外學者已然掀起探索復雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮[1].

復雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制則是其中一個重要的研究熱點.很多控制方法如: 自適應控制[2]、牽制控制[3]、脈沖控制[4]、間歇控制[5]等均被應用到復雜網(wǎng)絡(luò)同步控制中.此外，時滯是復雜網(wǎng)絡(luò)普遍存在的一種客觀現(xiàn)象，它能使系統(tǒng)運行不穩(wěn)定導致性能變差[6].因此，時滯復雜網(wǎng)絡(luò)的同步得到各領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注[7].在時滯存在的前提下，我們希望系統(tǒng)達到同步，同時也希望系統(tǒng)的控制成本達到特定的要求.所以，保性能控制也成為一個熱門課題，也已有一定成果[8-9].

本文研究具有時變時滯和非時滯復雜網(wǎng)絡(luò)的同步保性能控制，設(shè)計出一種自適應反饋控制器，得到了控制器存在的充分條件以及設(shè)計方法，這些設(shè)計方法與時滯有關(guān).同時構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)，運用Lyapunuv穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得出具有時變時滯和非時滯的保性能控制存在的充分條件.所設(shè)計控制器不僅保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也使系統(tǒng)滿足特定保性能指標，最后給出數(shù)值仿真以驗證其有效性.

1 問題描述及預備條件

考慮一個含有N個節(jié)點的復雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，具時滯和非時滯耦合，模型如下:

(1)

為了證明的需要，引入以下引理和假設(shè)：

(2)

(3)

定義誤差變量，使系統(tǒng)達到同步.

(4)

用式(1)減去式(2)，可得到誤差系統(tǒng)

(5)

(6)

由引理1，存在一個矩陣,使得GTΦk=λkΦk(k=1,2,…,N),其中是矩陣的特征值.使用一個非奇異變換：

∈Rn×N

則有:

(7)

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定分析

對于系統(tǒng)(1)，設(shè)計一個誤差反饋控制器：

(8)

其中U(t)=(u1(t),u2(t)…uN(t))∈Rn×N將作為控制輸入ui(t),K∈Rn×n是控制增益.

同時，設(shè)定如下二次保性能控制函數(shù)來保證復雜網(wǎng)絡(luò)的性能，

(9)

其中，D為給定正定對稱矩陣.

定理1：給定矩陣C,D，若存在不變時滯τ(t)∈[0,],使得如下矩陣不等式成立：

(10)

其中H=l1I+c1λi1A1+Q+K+C+KTDK

則復雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)式(1)的保性能控制律為動態(tài)控制律式(7)，且保性能控制函數(shù)的上界為.

(11)

證明：

對系統(tǒng)式(9)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

(12)

有：

(13)

(14)

(15)

由定理1可知：

同時可得：

(16)

將式(16)對時間t∈[0,)積分，有：

=J*

(17)

證畢成立.

<0

(18)

如果存在對稱正定矩陣Q以及矩陣K,使得式(19)所示線性矩陣不等式(LMI)成立，則時滯復雜網(wǎng)絡(luò)式(1)滿足性能指標式(10)，且保性能穩(wěn)定，保性能函數(shù)滿足：

(19)

經(jīng)過仿真，證明能得到對稱正定矩陣Q以及矩陣K.

3 數(shù)值仿真

下面給出添加了反饋控制器后三個節(jié)點的狀態(tài)圖，如圖1所示.

圖1 狀態(tài)曲線圖

由上圖得知，經(jīng)過一段時間后，系統(tǒng)狀態(tài)漸進達到一個穩(wěn)定的值.

4 結(jié)語

對具有時變時滯和非時滯的復雜網(wǎng)絡(luò)，本文提出了一種基于LMI的保性能線性反饋控制技術(shù)，利用泛函數(shù)方程等數(shù)學分析方法.獲得滿足保性能指標的充分條件，所設(shè)計的反饋控制器能通過求解矩陣不等式而得到，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的同時也保證了性能指標滿足一定上界.最后，數(shù)值仿真表明結(jié)果的正確性及控制方法的有效性.

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[2] 郭曉永. 復雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的自適應同步控制研究[D].西安電子科技大學博士學位論文,2013.

[3] Hai-Yi Sun, Ning Li, De-Ping Zhao, Qing-Ling Zhang. Synchronization of Complex Networks with Coupling Delays via Adaptive Pinning Intermittent Control [J]. International Journal of Automation and Computing, 2013(4):312-318.

[4] 李 美,陳其工,魏利勝. 一類復雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步研究[J]. 重慶科技學院學報(自然科學版),2016(1):121-124.

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[8] LEE T H,PARK J H,JI D H, Et Al. Guaranteed Cost Synchronization of A Complex Dynamical Network via Dynamic Feedback Control[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218 (11):6469-6481．

Synchronous Guaranteed Cost Control for Coupled Complex Dynamical Networks with Time Varying Delays and Time Varying Delays

HU Jun-qiang, LUO Yi-ping

(Key Laboratory of Wind Turbine and Control Hunan Province, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China)

In order to improve the adaptability of the model and simulate the real world, a complex network with time-varying delay and non-time-delay is studied. In order to control the cost of the system, it is necessary to study the guaranteed performance control of such complex network systems. A dynamic feedback controller is designed for this system, and the guaranteed performance function is constructed. Based on the Lyapunov stability theory and matrix inequality treatment, a sufficient condition for the synchronization guaranteed cost controller with time-varying delay and non-delay complex network is obtained. The dynamic feedback controller is designed to meet the specific conditions under the condition of asymptotic stability of the system. Finally, numerical simulation is given to prove its feasibility and effectiveness.

complex network; synchronization; feedback control: guaranteed cost; time varying delay

2016-09-08

國家自科基金資助項目(11372107)；湖南省教育廳創(chuàng)新平臺項目(15K031).

胡俊強(1990-)，男，碩士研究生，研究方向：復雜網(wǎng)絡(luò)控制.

羅毅平(1966-)，男，博士，教授，研究方向：動力學分析與控制.

TP273.3

A

1671-119X(2017)01-0017-04