江西省贛州市信豐縣九渡中學(xué)(341600) 賴承勇 ●

一元二次方程的四種基本解法

江西省贛州市信豐縣九渡中學(xué)(341600) 賴承勇 ●

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它們是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)不可忽視的內(nèi)容，它們不僅和二次函數(shù)有著密不可分的關(guān)系，也是初高中解決不等式問題的必須運(yùn)用的知識之一．

一元二次方程所具備的三個(gè)特點(diǎn):(1)只含有一個(gè)未知數(shù);(2)未知數(shù)的最高次冪是2;(3)是整式方程．

一、直接開方法

例題1 解方程(3x+2)(3x－2)=4．

解析 因?yàn)?3x+2)(3x－2)=4，所以9x2－4=4，即，所以

評注 解一元二次方程時(shí)，通常先把方程化為一般式，而用直接開放法求解時(shí)，應(yīng)注意方程兩邊同時(shí)開方時(shí)，只需要一邊取正負(fù)號．如果形如(x+a)2=b時(shí)，應(yīng)注意當(dāng)b≥0時(shí)有解，否則無解．

二、配方法

例題2 解方程2x2－7x+2=0．

評注 在解決形如ax2+px+q=0的方程時(shí)，在使用配方法時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，通常先把系數(shù)化為1，再進(jìn)行配方．

三、公式法

例題3 某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程(m+1) xm2+2+(m－2)x－1=0提出了一個(gè)問題:若使方程為一元二次方程，m是否存在?若存在，求出m并解此方程．

解析 存在．若使方程為一元二次方程，則m+1≠0，且m2+2=2，得m=0．

當(dāng)m=0時(shí)，方程變?yōu)閤2－2x－1=0．．因此，該方程是一元二次方程時(shí)，m=1，兩根為

評注 在利用公式法求解一元二次方程的解時(shí)，需要先把方程化成一般形式進(jìn)行求解，若b2－4ac≥0時(shí)，方程有解，否則方程無實(shí)數(shù)解．

四、因式分解法

例題4 解方程6x2－x－2=0．

解析 將方程左邊用十字相乘法分解因式，有(2x+ 1)(3x－2)=0，所以2x+1=0或3x－2=0，從而x1=－

評注 在利用因式分解法時(shí)，方程一邊必須為0，另一邊可用任何方法分解因式．

變式訓(xùn)練1 (2015年湖北武漢四月調(diào)考)解下列方程:

(3)因?yàn)?a=1，b=－3，c=1，所以 Δ=b2－4ac= (－3)2－4×1×1=5＞0，所以

(2)利用配方法得:(x－2)2=3，直接開平方，得x－2

(4)分解因式，得(x－4)(x+1)=0，即x1=4，x2=－1．

變式訓(xùn)練2 (2015年安徽省阜陽市第十五中學(xué)二模)請閱讀下列材料:

問題:已知方程x2+x－1=0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．

請用閱讀材料提供的“換根法”解答下列問題(要求:把所求方程化為一般形式):

(1)已知方程x2+x－2=0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為___;

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．

解析 (1)設(shè)所求方程的根為y，則y=－x，即x=－y．把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0．

變式訓(xùn)練3 (2015年湖南長沙中考真題)現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，據(jù)調(diào)查，長沙市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年3月份與5月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12．1萬件，現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同．

(1)求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率;

(2)如果平均每人每月最多可投遞0．6萬件，那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)?如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?

解析 (1)設(shè)該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得10(1+x)2=12．1，解得x1=0．1，x2=－2．2(不合題意，舍去)．答:該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為10%．

(2)今年6月份的快遞投遞任務(wù)是12．1×(1+10%) =13．31(萬件)．因?yàn)槠骄咳嗣吭伦疃嗫赏哆f0．6萬件，所以21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能完成的快遞投遞任務(wù)是0．6×21=12．6萬件＜13．31萬件，所以該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)，所以需要增加業(yè)務(wù)員(13．31－12．6)÷0．6≈2(名)．答:該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)，至少需要增加2名業(yè)務(wù)員．

選擇恰當(dāng)?shù)姆椒芴岣呓忸}速度．(1)形如(x－a)2=b(a≠0)的方程可以用直接開平方法求解．(2)對于b為偶數(shù)又不易因式分解的可以用配方法較快解出．(3)對于b為奇數(shù)又不易因式分解的一元二次方程可以利用公式法求解．(4)能因式分解的就用因式分解法求解．

在解決一元二次方程的求解時(shí)，需要注意基本技能和解題技巧，方能勝券在握，當(dāng)把基本方法掌握后，再對基本方法加以靈活運(yùn)用，便可以做到熟能生巧．基礎(chǔ)知識掌握扎實(shí)的情況下對以后學(xué)習(xí)將會起到事半功倍的作用．

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