湖北省宜城城關(guān)中學(441400)) 李繼蕓 ●

看似無“圓”卻有“圓”
——輔助圓巧解直線型問題

湖北省宜城城關(guān)中學(441400)) 李繼蕓 ●

近幾年的中考題中出現(xiàn)了一種純直線型幾何題，但是利用直線型知識解答此類問題過于繁瑣，甚至無法找到解題的思路和途徑．遇這類問題我們要另辟蹊徑，仔細分析題意，挖掘與圓的巧妙聯(lián)系輔助于圓，便可化繁為簡，化難為易，從而“圓”滿地解決問題．

一、利用圓的定義作輔助圓

例題1 如圖1，AB=AC=AD且∠CAD=76°，求∠CBD的度數(shù)．

解析 由AB=AC=AD，易聯(lián)想到圓的定義畫輔助圓，可知點B、C、D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上．從而依據(jù)同弧所對的圓周角是圓心的角的一半即可求解．

點評 當遇到有公共端點的幾個條線段等長時，通?？筛鶕?jù)圓的定義，以公共端點為圓心，等長的線段為半徑構(gòu)造輔助圓，利用圓的有關(guān)知識來解決問題．

二、利用直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造輔助圓

例題2 如圖2，△ABC中AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，點M為AB的中點，求證:∠DME=2∠CAD．

解析 以點M為圓心，AM為半徑作⊙M，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證:AM=EM=DM =BM，所以A、E、D、B四點在⊙M上．利用同弧所對的圓周角(∠CAD)等于圓心角(∠DME)的一半即可求解．

例題3 拋物線y=ax2+bx－2經(jīng)過點A(－1，0)B(4，0)交y軸于點C，動點P(m，n)在拋物線上，

(1)求拋物線解析式和頂點N的坐標;

(2)當∠APB為鈍角時，求 m的取值范圍．

點評 遇到有公共斜邊的兩個直角三角形(直角可以在公共邊的同側(cè)或是異側(cè))的情況都可以利用直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造輔助圓來解決問題．

三、利用同(等)弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半構(gòu)造輔助圓

例題4 在平面直角坐標系中，已知A(4，0)，B(－6，0)，點C是y軸上一個動點，當∠BCA=45°時，點C 的坐標是___．

解析 點C在y軸的正半軸上時，作△ABC的外接圓 O'．易得∠AOB=90°，則O'D=5，O'A=O'C

在Rt△O'FC中利用勾股定理可求出CF=7，因此得OC=12，故點C的坐標為(0，12)．

再利用對稱性可求出當點C在y軸負半軸上時點C坐標為(0，－12)．

點評 作三角形的外接圓利用同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半，實現(xiàn)角的關(guān)系轉(zhuǎn)化，利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決直線型問題可以起到事半功半的效果．

四、利用對角互補的四邊形的四點共圓構(gòu)造輔助圓

例題5 如圖矩形ABCD的對角線BD、AC相交于點O，過點O作OE⊥AC交AB于點E，若BC=4，△AOE的面積為6，則cos∠BOE =___．

解析 連接CE，由OE為線段AC的垂直平分線證得AE=CE．由OA=OB易證△AOE的面積等于△COE的面積，故得△ACE的面積為12．因為．所以AE=CE=6．

由∠COE+∠CBE=180°則可證點O、E、B、C四點共圓，因此可證∠BOE=∠BCE，所以

點評 求銳角三角函數(shù)值，通常需要將已知角轉(zhuǎn)化到直角三角形中．利用對角互補的四邊形的四點共圓構(gòu)造輔助圓，利用同弧所對的圓周角相等實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化是常用的方法之一．

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