廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學(xué)(518100) 杜春聯(lián) ●

深圳中考之最值歸納

廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學(xué)(518100) 杜春聯(lián) ●

在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常會遇到求最值的問題，這也是學(xué)生感覺比較難處理的問題，甚至很多學(xué)生無從下手，原因是對問題的基本模型不了解，如果把無關(guān)緊要的東西都去掉，讓題目原形畢露，回到最基本的數(shù)學(xué)模型，問題就容易解決了，突破口是線段公理及其推論即兩點間線段最短和三角形的兩邊之和大于第三邊，以下是深圳中考幾種常見的最值類型．

深圳;數(shù)學(xué)中考;最值

一、基本模型一 兩定點在定直線同側(cè)，求兩線段和的最小值

已知A、B兩點在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點P，使PA+PB的值最?。?/p>

分析 根據(jù)對稱性先找到點P然后根據(jù)線段公理證明最小值．作A點關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B交直線l于點P，此時PA+ PB的值最?。蓪ΨQ性可知PA=PA'，∴PA+PB=PA'+?PB=A'B．

如果在直線l上還存在一點P'，則

P'A+P'B=P'A'+P'B＞A'B．∴當(dāng)A'，P，B三點在一條直線上，使PA+PB的值最小．

例題分析

1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，－2)，B(4，2)兩點，P是直線x=1上的動點，則PA+PB 的值最小是___．

分析 兩定點在定直線同側(cè)，求兩線段和的最小值，屬于基本模型一．

2．如圖2，MN是半徑為1的圓O的直徑，點A在圓O上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB 的最小值為___．

分析 兩定點在定直線同側(cè)，求兩線段和的最小值，屬于基本模型一．

如圖3所示，A與A'關(guān)于MN對稱，連接A'B交MN于點P，則PA+PB=PA'+PB=A'B．

∵∠AMN=30°，B為弧AN的中點，∴∠BON=30°∠A'ON=∠AON=60°，∴∠A'OB=90°．由勾股定理可，得:

二、基本模型二 兩定點在定直線同側(cè)，求兩線段差的最大值

PA－PB =AB，此 時PA－PB的值最大，這類題在深圳中考出現(xiàn)的機率少一點．

三、基本模型三 兩定點在定直線兩側(cè)，求兩線段差的最大值

已知如圖4，A、B兩點在直線l的兩側(cè)，在直線l上找一點P，使的值最大．

利用對稱性，把模型三轉(zhuǎn)換成模型二，過B點作關(guān)于直線 l的對稱點 B'點，連接 AB'交直線 l于點 P，則

例題分析 如圖6，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一動點P，若BC=6， CE=2DE，則的最大值是 ．

分析 A、C兩點在直線BE的兩側(cè)，在直線BE上找一點P，使的值最大，與模型三相同，因此要先找期中一個點關(guān)于直線BE的對稱點，再把對稱點和另一個點連接起來與直線BE相交即可求出．

因為已知條件中BE⊥CD，所以考慮作C點關(guān)于直線BE的對稱點F，連接AF，則就是所求的．

變式 如圖8，拋物線y=x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè))，若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點D，點M、Q為直線PE上動點．

(1)在對稱軸上是否存在一點M，使三角形ADM的周長最小?若存在，求出這個最小值及點M的坐標(biāo)，若存在，請說明理由．

分析 (1)三角形ADM的周長=AD+DM+MA符合基本模型一，兩頂點在定直線同側(cè)，在直線上找一個點，使得到兩個定點的距離之和最?。醋鱀點關(guān)于PE的對稱點D1，連接AD1交PE于點M，三角形ADM的周長=AD+DM+MA =AD+AD1取值最?。?/p>

四、基本模型四

已知一個定點兩條定直線，在直線上找兩個點使得定點到兩動點的距離之和最小．

如圖9，已知∠A和這個角內(nèi)的已知點P，求作直線BC交∠A的兩邊于B、C，使△PBC的周長最?。?/p>

分析 分別作點P關(guān)于角兩邊的對稱點P1，P2，連接P1P2交角兩邊于B、C兩點，則△PBC的周長=PC+CB+BP =P2C+CB+BP1=P1P2．如果還存在另外兩點C1，B1，則△PB1C1周長=PC1+C1B1+B1P=P2C+C1B1+B1P1＞P1P2，所以△PBC周長的最小值為P1P2．

變式分析 如圖11，拋物線y =x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，直線l與拋物線交于點A、C，其中點C的橫坐標(biāo)為2，若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點D，直線AC與y軸交于點Q，點M為直線PE上一動點，則在x軸上是否存在一點N，使四邊形DMNQ的周長最小?若存在，求出這個最小值及點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

分析 四邊形DMNQ的周長最小，因為DQ是定值，所以要四邊形DMNQ的周長最小，則DM+MN+NQ+QD的值最小作Q點關(guān)于x軸的對稱點Q1，D，C剛好關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接Q1C分別交x軸及對稱軸于點N、M，則NQ=NQ1，MD=MC，所以四邊形DMNQ的周長=DM+MN+NQ+QD=CM+MN+NQ1+QD=Q1C+QD取最小值．

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