何 洋，李曉豁

(1.渤海大學(xué)工學(xué)院，遼寧 錦州，121013；2.廣東文理職業(yè)學(xué)院機電工程系，廣東 湛江，524400)

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縱軸式掘進機截割頭隨機截割載荷識別方法研究

何 洋1，李曉豁2

(1.渤海大學(xué)工學(xué)院，遼寧 錦州，121013；2.廣東文理職業(yè)學(xué)院機電工程系，廣東 湛江，524400)

針對縱軸式掘進機截割頭隨機截割載荷難以準確測定的問題，根據(jù)隨機過程理論，推導(dǎo)出截割頭隨機截割載荷的自功率譜表達式，并根據(jù)截割功率譜結(jié)合虛擬激勵法確定截割頭的虛擬激勵；然后利用求得的響應(yīng)結(jié)合精細積分算法反向推導(dǎo)識別截割頭隨機截割載荷的表達式，由此建立了精確的截割頭時域隨機截割載荷的反演數(shù)學(xué)模型；最后由最小二乘法計算出截割頭隨機截割載荷的時間歷程，并通過正則化方法來減小噪聲的干擾。實例驗證結(jié)果表明，該方法能有效減小噪聲干擾，準確地識別截割頭的隨機截割載荷。

掘進機；截割頭；截割載荷；載荷識別；虛擬激勵；正則化

縱軸式掘進機截割頭的截割載荷是掘進機工作機構(gòu)乃至整機設(shè)計的依據(jù)，也是影響其截割性能和工作可靠性的重要因素。由于掘進機工作環(huán)境、截割對象及實際工況的復(fù)雜多變性，使得截割頭載荷具有隨機性，載荷的確定成為亟待解決的難題。文獻[1-4]均采用實測法來獲得截割頭的隨機載荷，由于掘進機所處工作環(huán)境惡劣、工作空間不斷變化，采用實測法時實驗裝置的布置受到限制，且耗時多、成本高及缺少相關(guān)理論計算評估方法，因而難以實施。文獻[5]中采用的頻域分析法可從頻域角度分析隨機截割載荷變化的頻域范圍，但無法給出載荷的時間歷程。文獻[6-7]只對截割載荷進行了靜態(tài)模擬，無法精確確定動態(tài)截割載荷的時間歷程。相比直接測量作用在截割頭上的荷載，獲取系統(tǒng)的響應(yīng)顯得更為容易。為此，本文提出一種利用截割頭振動響應(yīng)計算截割頭隨機截割載荷的反演計算方法，采用簡單、高效的虛擬激勵法建立截割頭的虛擬激勵，運用精細積分算法，利用求得的響應(yīng)反向推導(dǎo)識別截割頭隨機截割載荷的表達式，將問題歸結(jié)為最小二乘問題，識別截割頭隨機截割載荷的時間歷程，并運用正則化技術(shù)減小系統(tǒng)中噪聲污染造成的不適定性。

1 截割頭的隨機截割載荷

1.1 截齒隨機截割載荷

圖1所示為截割頭隨機截割載荷模型。圖1中，Zi、Yi、Xi分別為截割過程中截割頭上任一截齒所受的隨機截割阻力、隨機牽引阻力和隨機側(cè)向阻力；截割頭沿截齒工作面垂直方向a、截割頭橫向擺動方向b和掘進機縱向推進方向c的受力分別為Ra、Rb、Rc。

(a)截齒受力分析

(b)截割頭受力分析

掘進機截割復(fù)雜煤層時，根據(jù)文獻[7]中的計算可得，截齒的隨機截割阻力Zi為自由度為2的卡方分布隨機過程，其瞬時值為

(1)

隨機牽引阻力Yi的瞬時值為

(2)

由于平均側(cè)向力為零，可利用數(shù)學(xué)期望為零的正態(tài)分布模擬，得到側(cè)向阻力Xi的瞬時值為

Xi=Zi[C1/(C2+h)+C3]h/t

(3)

式中：C1、C2、C3為系數(shù)；h為切屑厚度，t為時間。

1.2 截割頭隨機截割載荷

掘進機工作過程主要是軸向鉆進、水平截割和垂直截割3個過程，3種運動方式下截割頭上的截齒均受到煤巖施加的隨機截割阻力Zi、隨機牽引阻力Yi和隨機側(cè)向阻力Xi，將參與截割的各截齒所受的力沿截割頭空間坐標(a、b、c)方向投影求和(見圖1(b))，可得截割頭的瞬時三向隨機截割載荷為

(4)

式中：θi為第i個截齒的圓周角，θi=ωt，其中ω為截割頭角速度，rad/min；j為同時參與截割的截齒數(shù)。

1.3 截割功率譜

由于截割頭隨機截割載荷為平穩(wěn)隨機過程，故載荷的均值近似于常數(shù)，方差是與時間無關(guān)的量，自相關(guān)函數(shù)及協(xié)方差是時移的函數(shù)，且與過程的起止時刻無關(guān)。同時，截割頭隨機截割載荷具有各態(tài)歷經(jīng)性，載荷的時間歷程可按時間平均求得統(tǒng)計特征。

(5)

式中：K(n)=[Ra(n)，Rb(n)，Rc(n)]；N為模擬點數(shù)。

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，截齒的三向隨機截割載荷自相關(guān)函數(shù)可表示為

(6)

式中：E表示均值;τ為時間間隔。

截割頭隨機截割載荷為各截齒載荷的疊加，因此可采用相同方法確定截割頭隨機截割載荷的自相關(guān)函數(shù)序列Tk(τ),其數(shù)學(xué)模型為

(7)

式中：σ為標準差。則截割頭的三向隨機截割載荷自相關(guān)函數(shù)為

(8)

對式(8)進行傅里葉變換，可得截割頭三向隨機截割載荷的自功率譜分別為

(9)

2 截割頭的虛擬激勵

模態(tài)坐標下，截割頭單自由度系統(tǒng)的運動方程為

(10)

式中：x、y、z分別為a、b、c方向的位移；ζa、ζb、ζc分別為各向的阻尼比；ωg為固有頻率；m為質(zhì)量。

(11)

式中：{P}為給定的常數(shù)向量；{P}={1,1,1}T。

顯然，上述虛擬激勵法非常簡便、高效，且虛擬簡諧激勵因子eiωt與其共軛e-iωt總是成對出現(xiàn)并最終相乘抵消。

根據(jù)式(11)，則構(gòu)造的截割頭三向虛擬激勵分別為

(12)

將式(12)代入式(10)，可得隨機激勵作用下截割頭的三向運動方程分別為

(13)

求解式(13)，可得系統(tǒng)的速度響應(yīng)為

(14)

加速度響應(yīng)為

(15)

3 截割頭隨機截割載荷識別方程

利用系統(tǒng)的響應(yīng)，采用精細積分法可反向推導(dǎo)出識別截割頭隨機截割載荷的表達式。

引入速度恒等式

(16)

將式(16)代入式(10)，改寫為

(17)

令

(18)

將式(18)代入式(17)，將其降為一階微分方程：

(19)

對于方程(19)，可按照線性方程的求解方法求解，在任意時刻τ，外力引起的響應(yīng)v(t)可由杜哈梅爾積分求出：

(20)

在每一個等間距的積分步長η=tk+1-tk內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)不要求每次都從t0時刻開始計算，而是由tk計算到tk+1，因此可將式(20)改寫為

v(tk+1)=T(η)v(tk)+

(21)

式中：ξ∈(tk，tk+1)；T(η)=exp[Hη]。

由線性插值法可得外力Rb(tk+ξ)的解析式為

Rb(tk+ξ)=R1+R2ξ

(22)

式中：R1、R2為每段積分步長內(nèi)時不變的二維向量。

將式(22)代入式(21)，積分可得：

H-1(R1+H-1R2+ηR2)

(23)

令

G1(η)=T(η)H-1-H-1

G2(η)=(H-1)2(T(η)-1)-ηH-1

則式(23)可改寫為

G1(η)R1+G2(η)R2=v(tk+1)-T(η)v(tk)

(24)

在給定的積分步長η內(nèi)，有

將R1、R2代入式(24)，整理得

(25)

將上式簡寫為

G(η)r=Z

(26)

式中：

G(η)=

式(26)即為截割頭三向隨機截割載荷的識別表達式。利用該式對載荷識別計算時，只需要利用每段步長內(nèi)兩個端點時刻的響應(yīng)(位移和速度)，而不需要利用上一段步長的反演結(jié)果，并且對于每個時刻的位移、速度響應(yīng)均可由加速度響應(yīng)積分求得。式(26)的載荷識別精度取決于矩陣T(η)的計算精度，可采用函數(shù)的加法定理(即2N算法) 對指數(shù)矩陣T(η)精細計算。

由加法定理可得[9]：

T(η)=exp(Hη)≡[exp(Hη/2n)]2n

(27)

式(27)中取n=20，在τ=η/m很小的區(qū)間內(nèi)進行級數(shù)展開，有

T(η)=exp(Hτ)≈(Hτ)0+(Hτ)+(Hτ)2/2+

(Hτ)3/3!+(Hτ)4/4!=In+Tα

(28)

式中：In為單位矩陣；Tα=(Hτ)+(Hτ)2/2+(Hτ)3/3!+(Hτ)4/4!

將式(28)代入式(27)，分解得：

T(η)=(In+Tα)m=

(In+Tα)m/2×(In+Tα)m/2

(29)

將式(29)一直分解N次，對任意矩陣Tα,N有

(In+Tα,N)m/2×(In+Tα,N)m/2=

2Tα,N+1+Tα,N+1×Tα,N+1

(30)

經(jīng)由N次乘法后，Tα已不是很小的矩陣。上述推導(dǎo)過程中惟一的近似處理是在式(28)級數(shù)展開中略去了τ5及更高階的項，當(dāng)采用計算機計算時已不存在嚴重的舍入誤差。指數(shù)矩陣T(η)經(jīng)過精細計算，使式(26)所示的截割頭隨機截割載荷識別表達式具有較高的識別精度。

式(26)為最小二乘問題，可采用最小二乘法計算，即

min{‖G(η)r-Z‖2}

(31)

式中：r為待識別載荷。

因本文載荷識別采用反演方法，當(dāng)系統(tǒng)含有噪聲干擾時，計算的結(jié)果將不準確。為此，本文進一步采用吉洪諾夫正則化方法[1]來減小識別方程的不適定性對識別結(jié)果的影響，得到載荷識別的正則化解為

Fα=‖G(η)r-Z‖2+α2‖Ir‖2=

(G(η)TG(η)+αI)-1G(η)TZ

(32)

式中：α為正則化參數(shù)；I為單位矩陣。

4 實例驗證

為模擬噪聲對隨機截割載荷識別結(jié)果的影響，將計算出的響應(yīng)添加5%的隨機噪聲，即

(33)

式中：delt表示5%誤差水平；r0為隨機噪聲。

圖2所示為采用本文反演方法經(jīng)正則化和未經(jīng)正則化的識別結(jié)果與文獻[7]中模擬方法識別結(jié)果的比較，相關(guān)統(tǒng)計值見表1。

由圖2及表1中可見，采用本文反演方法并進行正則化處理所得結(jié)果與采用文獻[7]方法模擬計算的結(jié)果比較接近，兩者的Ra、Rb、Rc均值相差分別為13.2%、10.7%、7.5%， 從識別結(jié)果來看, 識別效果總體上比較理想，表明該方法識別精度較高；而采用本文反演方法但未進行正則化處理時，無論識別出的Ra、Rb、Rc的均值還是峰值，與模擬結(jié)果的誤差均較大，識別結(jié)果不準確。

從分析結(jié)果可以看出，利用本文方法只需根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)變化即能準確識別截割載荷時間歷程，從而獲得時域截割載荷譜。比之于傳統(tǒng)截割載荷計算和直接測量方法，實例驗證結(jié)果表明該方法簡單易行、精度較高、計算高效而且對隨機噪聲具有較強魯棒性。

(a) Ra載荷識別結(jié)果

(b)Rb載荷識別結(jié)果

(c)Rc載荷識別結(jié)果

表1 截割頭隨機截割載荷統(tǒng)計值

Table 1 Satistical values of random cutting load on cutting head

文獻[7]方法本文方法(正則化)本文方法(未正則化)Ra/kN最大值-16.46-9.97-0.04均值-19.21-21.7624.69最小值-37.38-28.52-44.83Rb/kN最大值27.9351.7241.36均值-17.72-15.81-12.39最小值-10.84-2.35-41.61Rc/kN最大值16.7913.4320.83均值8.859.5211.72最小值-4.634.48-3.29

5 結(jié)語

本文提出了一種縱軸式掘進機時域隨機截割載荷識別方法，該方法根據(jù)系統(tǒng)振動的響應(yīng)，利用精細積分法對反演模型進行精細計算，通過正則化技術(shù)處理噪聲干擾識別截割載荷。該方法易于操作、精度較高，可為改進截割頭設(shè)計及其參數(shù)優(yōu)化提供一定的理論依據(jù)。

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[4] 王維琴，李曉明，田慕琴，等．巖巷掘進機截割機構(gòu)動載荷識別裝置設(shè)計[J]．工礦自動化，2013, 39(9):16-20.

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[6] 李曉豁，姜麗麗．掘進機截割硬巖的載荷模擬研究[J]. 中國工程機械學(xué)報，2008,6(4):415-427.

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[11]李曉豁．掘進機截割頭的關(guān)鍵技術(shù)研究[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，2008：23-29.

[責(zé)任編輯 鄭淑芳]

Identification of random cutting load on cutting head of longitudinal roadheader

HeYang1,LiXiaohuo2

(1. College of Engineering, Bohai University, Jinzhou 121013, China; 2. Department of Mechanical and Electrical Engineering, Guangdong Institute of Arts and Sciences, Zhanjiang 524400, China)

As the random cutting load of the cutting head for the longitudinal roadheader defies accurate determination, the self-power spectrum expression of the random cutting load was deduced on the basis of the theory of random processes and the pseudo excitation of the cutting head determined with the combined use of the self-power spectrum expression and the pseudo excitation method. The obtained system’s responses were then used to deduce the equation for identification of the random cutting load with the aid of precise-integration method, and the precise mathematical model of the random cutting load established in time domain. The time history of the random cutting load was calculated according to the least squares method and noise interference reduced by the regularization method. Examples show that the described method can effectively reduce noise interference and identify the random cutting load more accurately.

roadheader; cutting head; cutting force; load identification; virtual excitation; regularization

10.3969/j.issn.1674-3644.2017.02.011

2016-07-07

國家自然科學(xué)基金資助項目(59774033).

何 洋(1982-)，男，渤海大學(xué)講師，博士.E-mail：heyang121000@163.com

TD421.5+2

A

1674-3644(2017)02-0138-06