武濤+智洋+白麗珍

[摘 要]在計算機系統(tǒng)中，數(shù)值型數(shù)據(jù)采用機器碼來表示，掌握不同機器碼之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以幫助學(xué)生深入理解補碼的概念，該文從原碼的定義出發(fā)，逐步引入補碼，并闡釋了補碼定義過程中，選取模的方法；又從補碼的計算引出反碼。完整地表明了原碼補碼反碼之間的內(nèi)在聯(lián)系。對機器碼的理解具有一定的指導(dǎo)意義。

[關(guān)鍵詞]機器碼；原碼；補碼；反碼；模

[中圖分類號] TP3 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2017）04-0018-03

計算機（computer），即電腦，是能夠按照程序自動運行并快速處理大量數(shù)據(jù)的電子設(shè)備。它既可以進行數(shù)值計算，又可以進行邏輯計算，還具有存儲記憶的功能。

從某種意思上來說，這就是一個數(shù)據(jù)處理機，這里的數(shù)據(jù)是一個含義很廣的概念，有數(shù)值型數(shù)據(jù)，也就是我們熟知的那些能進行加減乘除運算的數(shù)值，還有非數(shù)值型的數(shù)據(jù)，也就是不能進行加減乘除運算的其他一切。那么計算機如何處理這些數(shù)據(jù)呢？首先必須要把這些數(shù)據(jù)存儲在計算機內(nèi)，下面描述數(shù)值型數(shù)據(jù)的存儲方法。

一、機器碼

結(jié)合計算機的特點來進行分析，為了電路實現(xiàn)方便以及容易區(qū)分和存儲等特點，計算機內(nèi)部使用二進制存儲數(shù)據(jù)。進制之間的轉(zhuǎn)換是非常容易的，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能解決數(shù)值的存儲問題。正數(shù)與負(fù)數(shù)如何區(qū)分呢？加一個符號位來標(biāo)識正數(shù)與負(fù)數(shù)即可。由此容易聯(lián)想到，既然計算機采用二進制，那么0和1就可以代表不同的狀態(tài)。我們可以用0和1這兩種不同的狀態(tài)對應(yīng)正數(shù)負(fù)數(shù)兩種不同的狀態(tài)。那么如何對應(yīng)？ 用0表示正數(shù)，還是1表示正數(shù)？怎么樣建立其對應(yīng)關(guān)系，而且能保證在進行加減乘除運算時方便快捷不出錯呢？由此，出現(xiàn)了很多種表示數(shù)值型數(shù)據(jù)的方法。這種把符號位和數(shù)值位一起編碼的表示方法都稱為“機器碼”。它們分別為[1]-[4]：原碼、補碼、反碼和移碼。

接下來，又出現(xiàn)新的問題，當(dāng)“機器碼”進行加減乘除法運算時，符號位怎么處理呢？符號位也一同參與運算？還是需要進行單獨處理？進行運算時，哪種編碼是最優(yōu)的呢？下面將主要探討三種機器碼（注：在下面描述的過程中，為了能夠區(qū)分“機器碼”和之前我們使用的帶有正負(fù)號的數(shù)，這里把前者（符號數(shù)字化之后的數(shù)）即“機器碼”，用[x]原形式來表示原碼（或[x]補表示補碼，[x]反表示反碼）。而后者（即帶有正負(fù)號的數(shù)）稱為真值，用X表示；下面僅以小數(shù)為例進行說明）。

（一）原碼

仔細(xì)查看公式（1），首先發(fā)現(xiàn)這里對小數(shù)的范圍有限制，要求絕對值小于1（注：這里只研究定點小數(shù)）。

另，不難得出如下規(guī)律：如果是正數(shù)或零，原碼同真值一樣，保持不變；如果是負(fù)數(shù)，原碼的定義是1- X。可以理解為1加上該負(fù)數(shù)的相反數(shù)，也即1加上該數(shù)的絕對值。再詳細(xì)推敲，1加上某個定點小數(shù)的絕對值得到什么呢？很明顯，與該小數(shù)的絕對值相比，唯一的變化就是小數(shù)點前面的數(shù)值由0變?yōu)?。

經(jīng)上述分析，我們對原碼做一小結(jié)：原碼由兩部分構(gòu)成，符號位和數(shù)值位。數(shù)值位部分均保持原來的樣子，不需改變。如果是正數(shù)，小數(shù)點前面的0視為符號位，如果是負(fù)數(shù)，小數(shù)點前面的1視為符號位。

顯然，原碼非常簡單直觀，但原碼在進行運算時，并不是最優(yōu)的，比如：

仔細(xì)觀察表1可以發(fā)現(xiàn)，一個正數(shù)和一個負(fù)數(shù)做加法時，首先我們會比較這兩個數(shù)絕對值的大小，和的符號選擇絕對值大的數(shù)的符號，和的絕對值則為絕對值大的數(shù)減去絕對值小的數(shù)，那么，實際上，我們并沒有做加法，真正做的是減法運算。這是非常不方便的。那么，有沒有一種編碼，可以避免這樣的問題呢？在這種情況下，補碼[1]應(yīng)運而生。

（二）補碼

補碼概念的理解，需要先從“?！钡母拍铋_始。

我們可以把模理解為一個容器的容量。當(dāng)超出這個容量時，會自動溢出。如：我們最常見到的時鐘[2]，其容量是12，過了12點之后，就會變?yōu)?點，2點……也就是說，超過12的部分將被丟棄。那么，在這個例子當(dāng)中，時鐘的模就是12。模的概念可以幫助我們理解補碼的含義。

補碼的引出：假設(shè)現(xiàn)在時鐘的時針指向4點的位置，要使其指向3點，可以怎么操作呢？很明顯，共有2種方法，順時針撥11格（+11），或逆時針撥1格（-1）。（為了區(qū)分順時針和逆時針，我們用正數(shù)表示順時針方向轉(zhuǎn)動的距離，負(fù)數(shù)表示逆時針方向轉(zhuǎn)動的距離）

從上面的例子，不難發(fā)現(xiàn)，+11和-1實現(xiàn)了同樣的作用。主要原因是時鐘的模是12，順時針旋轉(zhuǎn)代表加法運算：4+11=15，而達到模的部分會自動溢出，即15-12=3，即到達3點的位置。逆時針旋轉(zhuǎn)代表減法運算：4-1=3。在這個例子當(dāng)中，+11和-1是完全等價的。也就是說，負(fù)數(shù)-1可以用正數(shù)+11代替，這樣就可以把減法運算改為加法運算。也可以說：+11就是-1的補碼（模為12的情況下）。

剛才的實例告訴我們：如果運算是有模的運算，那么，負(fù)數(shù)總可以找到它對應(yīng)的補碼，用補碼代替它運算，就可以化減為加。而且，負(fù)數(shù)的補碼也是容易求得的，即負(fù)數(shù)加上模即可得到補碼。

我們自然聯(lián)想到，如果計算機中的運算也是有模運算，同樣可以化減為加。但是計算機當(dāng)中的運算是有模運算嗎？在計算機中，數(shù)據(jù)存儲寄存器當(dāng)中，而寄存器的位數(shù)是固定的。那么這個計數(shù)器的容量是256，也就是模為28=256。那么，n位的整數(shù)，計算其補碼時，模取多大比較合適呢？下面進行詳細(xì)分析：以n=3為例，如果模為23，寫出對應(yīng)的原碼與補碼如下。

對比表1與表2的“原碼”列，我們發(fā)現(xiàn)，通過原碼可以很清楚地辨別出正負(fù)數(shù)：首位為0則為正數(shù)，首位為1則為負(fù)數(shù)。而對比表1與表2的“補碼”列，卻不能清楚地辨別出正負(fù)數(shù)。比如：補碼0010，既是+2的補碼，又是-6的補碼。到底代表哪一個數(shù)，無法確定。很顯然，這是不合適的！為了能夠清楚地辨別出正負(fù)數(shù)，而且可以唯一地代表一個數(shù)。可以將“?！比〉酶笠恍?。還以n=3為例，模為23不合適，那么我們嘗試取模為24。

根據(jù)定義，重新寫出正數(shù)以及負(fù)數(shù)的原碼、補碼如下表：

比較表2與表4，發(fā)現(xiàn)正數(shù)的補碼沒有發(fā)生變化。比較表3與表5，發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的補碼發(fā)生了變化。這個變化是：第一位（也稱符號位）由0變?yōu)?（特殊值0的符號位則由1變?yōu)?），而數(shù)值位保持不變。這個變化是很有意義的——補碼也可以從符號位直觀地判斷出正數(shù)還是負(fù)數(shù)。比較表4與表5，發(fā)現(xiàn)補碼也能唯一代表一個數(shù)。這樣就避免了上面所提到的各種缺陷。故得出結(jié)論如下：對于一個n位的整數(shù)來說，求補碼時，應(yīng)取模為2n+1。其定義為：

二、總結(jié)

從機器碼出發(fā)，通過對原碼的定義和運算進行分析，指出原碼做加法運算時存在的不足，進而引出補碼，計算機做加減法運算一般都是采用補碼完成的，所以，補碼的運用非常廣泛。但是求補碼的過程又是曲折的，為了更方便快捷地求出補碼，引出了反碼。從而清晰地展示了三種編碼之間的聯(lián)系，對機器碼的進一步深入理解有一定的意義。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 羅嘉慶，周世杰，徐潔.原碼、反碼和補碼的教學(xué)探討[J].計算機教育，2015（10）：42-45.

[2] 謝元成. 微機系統(tǒng)中補碼的原理及意義[J].科技創(chuàng)新論壇，2014（17）：181-128.

[3] 孫麗.計算思維下再談補碼設(shè)計思想[J].電腦知識與技術(shù)，2015（29）：70-71.

[4] 楊學(xué)穎，周建業(yè).計算機補碼概念探究[J].河南科技學(xué)院學(xué)報，2011（3）：90-94.

[特約編輯：黃緊德]