歐陽(yáng)華+楊忠林+周衛(wèi)平

[摘 要]數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要內(nèi)容，傳統(tǒng)的濾波器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出滿足該指標(biāo)的系統(tǒng)函數(shù)，并通過(guò)觀察系統(tǒng)的頻率響應(yīng)驗(yàn)證濾波性能。教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)基于聲音信號(hào)的數(shù)字濾波實(shí)驗(yàn)，將正弦噪聲加入音樂(lè)信號(hào)中，讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的陷波器濾除正弦噪聲，通過(guò)聽(tīng)覺(jué)驗(yàn)證是否達(dá)到濾波效果。教學(xué)實(shí)踐證明，采用聲音信號(hào)作為濾波對(duì)象，使得實(shí)驗(yàn)過(guò)程完整直觀，既深化了學(xué)生對(duì)濾波器設(shè)計(jì)原理的理解，也鍛煉了學(xué)生自主設(shè)計(jì)能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)字濾波器；聲音信號(hào)；陷波器

[中圖分類號(hào)] TN713+.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2017）04-0006-03

引言

數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)最典型的應(yīng)用之一，與此對(duì)應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)是“數(shù)字信號(hào)處理”教學(xué)重要的環(huán)節(jié)，它通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真的方法將理論設(shè)計(jì)過(guò)程用Matlab程序語(yǔ)言完成，簡(jiǎn)化步驟和計(jì)算，加深對(duì)設(shè)計(jì)方法的理解。常規(guī)的濾波器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)根據(jù)給定濾波器的性能要求，用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性移不變的系統(tǒng)函數(shù)H（z）去逼近這一性能要求。也就是說(shuō)，實(shí)驗(yàn)的目的是設(shè)計(jì)出滿足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H（z），或者是單位沖激響應(yīng)h（n），然后畫(huà)出該系統(tǒng)在特定頻率范圍的頻率響應(yīng)曲線，驗(yàn)證該系統(tǒng)是否達(dá)到技術(shù)指標(biāo)。該基本實(shí)驗(yàn)從技術(shù)指標(biāo)開(kāi)始，到系統(tǒng)函數(shù)結(jié)束，由一組數(shù)據(jù)得到另一組數(shù)據(jù)，是濾波器設(shè)計(jì)的核心工作。但實(shí)驗(yàn)過(guò)程不完整，實(shí)驗(yàn)對(duì)象不具體，在提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題環(huán)節(jié)中，只體現(xiàn)了解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。完成實(shí)驗(yàn)后學(xué)生會(huì)感到困惑，為什么這樣的H（z）就能實(shí)現(xiàn)濾波，它的濾波性能到底如何呢？

結(jié)合我校自主研究實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，在傳統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)加入正弦噪聲的音樂(lè)信號(hào)作為系統(tǒng)輸入的數(shù)字濾波實(shí)驗(yàn)。針對(duì)帶噪聲的音樂(lè)信號(hào)這個(gè)具體對(duì)象，學(xué)生自己確定要解決什么問(wèn)題，解決問(wèn)題思路和方法，判斷問(wèn)題是否解決。結(jié)果表明該濾波器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)效果良好，學(xué)生借助人耳這個(gè)天然的“傅里葉分析儀”感受到所設(shè)計(jì)的濾波器的濾波效果，加深了學(xué)生對(duì)濾波器原理的理解，促進(jìn)了對(duì)濾波器設(shè)計(jì)方法的掌握。

一、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理

允許某些信號(hào)分量（有用信號(hào)）通過(guò)、同時(shí)阻止其他分量信號(hào)（噪聲）通過(guò)的系統(tǒng)稱為濾波器。在本科階段只討論信號(hào)和噪聲處于不同的頻率范圍的加性噪聲，即信號(hào)和噪聲是疊加在一起的。在LSI系統(tǒng)分析理論中，輸出信號(hào)y（n）是輸入信號(hào)x（n）與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h（n）的卷積：

在實(shí)際應(yīng)用中，為了采用因果穩(wěn)定的IIR系統(tǒng)或FIR系統(tǒng)來(lái)逼近理想特性，對(duì)理想頻率特性的要求適當(dāng)放寬，具體表現(xiàn)為在通帶和阻帶之間引入一個(gè)過(guò)渡帶，并允許幅度響應(yīng)在通帶和阻帶有一定的波動(dòng)。以物理可實(shí)現(xiàn)的因果穩(wěn)定低通濾波器為例，其幅度特性如圖2所示。理想濾波器的截止頻率放寬為兩對(duì)技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp和通帶容限δp；阻帶截止頻率ωs和阻帶容限δs。為了便于表示，通常使用通帶允許的最大衰減Ap=-201g（1-δp）和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減As=-201g（1-δs）來(lái)描述通帶和阻帶容限。

二、一個(gè)簡(jiǎn)單的陷波濾波器設(shè)計(jì)

為幫助學(xué)生理解濾波器的功能和設(shè)計(jì)原理，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)基于音頻信號(hào)處理的數(shù)字濾波實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)對(duì)象是加入單頻正弦噪聲的音頻信號(hào)，實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖窃O(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的IIR濾波器濾除正弦噪聲。根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，我們?yīng)該設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率在正弦噪聲附近的帶阻濾波器。帶阻濾波器的阻帶在整個(gè)頻率范圍的中間部分，這樣的頻率響應(yīng)不可能由一個(gè)一階實(shí)系數(shù)系統(tǒng)函數(shù)產(chǎn)生，故其階次至少為2階。

設(shè)噪聲頻率是ω0，這樣我們可以選擇一個(gè)形如（1-2cosω0z-1+z-2）的二階多項(xiàng)式作為系統(tǒng)函數(shù)分子的一個(gè)因式，從而在中間頻率段的ω0處為系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)零點(diǎn)，這將強(qiáng)迫幅度函數(shù)在ω0處為零。這時(shí)的頻率ω0就是陷波頻率，該濾波器就是陷波濾波器。該陷波濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的形式如下[1]：

可見(jiàn)Matlab運(yùn)行結(jié)果與理論計(jì)算是一致的。

更簡(jiǎn)單直觀的濾波器設(shè)計(jì)方法是調(diào)用濾波器設(shè)計(jì)和分析工具箱。濾波器設(shè)計(jì)和分析工具箱（Filter Design and Analysis Tool （FDATool））是快速設(shè)計(jì)和分析濾波器的強(qiáng)大的圖形用戶界面，它不需要編程，只要通過(guò)菜單操作，進(jìn)行指標(biāo)參數(shù)選擇就可以設(shè)計(jì)出滿足要求的各種類型濾波器。

對(duì)于本例的參數(shù)設(shè)置步驟如下：（1）響應(yīng)類型（“Response Type”）選擇最后一項(xiàng)下拉框中的“Notching”；設(shè)計(jì)方法（“Design Method”）選擇IIR下拉菜單中的“Single Notch”。該步驟確定了將采用單一頻率的陷波器來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波功能。（2） 在頻率指標(biāo)（“Frequency Specifications”）文本框中設(shè)定技術(shù)指標(biāo)，以Hz為單位，信號(hào)抽樣頻率Fs = 44100，陷波頻率為Fnotch =1000，帶寬為Bandwidth=25。（3）在幅度指標(biāo)（“Magnitude Specifications”）文本框中設(shè)定帶寬增益為Apass=3。上述設(shè)置工作完成之后，按下“Design Filter”按鈕，結(jié)果就出來(lái)了！參數(shù)設(shè)置和頻率響應(yīng)如圖5所示。

得到陷波器的分子、分母系數(shù)向量b、a后，調(diào)用filter函數(shù)對(duì)混入噪聲后的信號(hào)進(jìn)行濾波，濾波后的信號(hào)及其頻譜圖如圖6所示。從圖6（b）中的幅度頻譜圖可以觀察到噪聲已經(jīng)濾除。聽(tīng)覺(jué)上也能夠直接感受到濾波后的音頻信號(hào)。

示例中的單頻噪聲濾波也可以采用一般的帶阻濾波器實(shí)現(xiàn)，如IIR橢圓濾波器、海明窗FIR濾波器等。[3]相對(duì)于一般的帶阻濾波器，陷波器具有計(jì)算簡(jiǎn)單、階次低，頻率選擇性好等優(yōu)點(diǎn)。如果噪聲是多個(gè)單頻正弦信號(hào)的疊加，例如同時(shí)加入1000Hz和2000Hz的噪聲，則可以設(shè)計(jì)兩個(gè)陷波頻率分別為1000Hz和2000Hz的陷波器，再將兩個(gè)陷波器級(jí)聯(lián)形成一個(gè)四階的帶阻濾波器。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，基于聲音信號(hào)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)改善了傳統(tǒng)的濾波器設(shè)計(jì)方式，能夠從聽(tīng)覺(jué)上讓學(xué)生直接感受到鋁箔效果。教學(xué)實(shí)踐證明，采用聲音信號(hào)作為濾波對(duì)象，使得實(shí)驗(yàn)過(guò)程完整直觀，既深化了學(xué)生對(duì)濾波器設(shè)計(jì)原理的理解，也鍛煉了理論聯(lián)系實(shí)際的自主設(shè)計(jì)能力。

進(jìn)一步的工作可以在音頻信號(hào)中加入多頻率噪聲或色噪聲，并考慮加入噪聲的類型，以及噪聲和信號(hào)的頻譜的相對(duì)位置。在加入相同的噪聲頻譜的情況下，比較經(jīng)典濾波、維納濾波和自適應(yīng)濾波等不同的濾波方法的效果。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] Sanjit K. Mitra著，孫洪等譯. 數(shù)字信號(hào)處理——基于計(jì)算機(jī)的方法（第三版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[2] 歐陽(yáng)華，尹為民，邵英.基于比較教學(xué)法的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2011（1）：75-77.

[3] 申艷，陳后金，薛健，等. 基于Matlab 加噪語(yǔ)音的FIR 濾波器設(shè)計(jì)[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2011（2）：41-44.

[特約編輯：黃緊德]