[摘要]Hurst指數(shù)作為分形理論中一個重要的參數(shù)，可以用來判別時間序列的基本規(guī)則（反持續(xù)性、隨機性和持續(xù)性）。針對目前交通流預(yù)測工作主要集中在模型的構(gòu)建上，而較少關(guān)注交通流時間序列是否為隨機的序列這一現(xiàn)狀，本文利用分形理論中的PJS分析方法進(jìn)行論證。驗證結(jié)果這表明交通流的Hurst指數(shù)不具備通用性，會因地而異。

[關(guān)鍵詞]交通流；時間序列；分形；P/S分析；Hurst指數(shù)

1、分形簡介

分形的三個主要特征為：自相似性、標(biāo)度不變性和分形維數(shù)。自相似性：從不同的時間或者空間尺度上觀察，特定的結(jié)構(gòu)或者過程的整體和局部在統(tǒng)計意義上具有相似的特性；標(biāo)度不變性；標(biāo)度不變性又可以叫做伸縮不變性，指的是分形上任意一個部分通過放大或者縮小，得到的觀察結(jié)果的復(fù)雜性和不規(guī)則性和縮放之前的一樣；分形維數(shù)：維數(shù)是幾何學(xué)的一個基本概念，如一維的線、二維的平面、三維的空間等。

2、R/S分析與Hurst指數(shù)

P/S分析又常常被稱為重標(biāo)度分析，它是由歐洲學(xué)者Hurst在上世紀(jì)五十年代研究北非尼羅河水位變化時候提出的一種時間序列分析方法。此后，法國科學(xué)家Mandelbrot通過大量研究，又對它進(jìn)行了理論上的修改和完善。R/S分析法在研究時間序列的周期或者非周期特性具有很重要的意義，能夠很好的刻畫時間序列的有偏隨機游走。通過R/S分析結(jié)論可以求出Hurst指數(shù)，而Hurst指數(shù)又可以直觀的反映出時間序列的變化趨勢和分形維數(shù)。Hurst指數(shù)在（0，1）范圍內(nèi)也可以劃分為三種狀態(tài)：

①H=0.5：表示時間序列滿足標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，是一個完全隨機的過程，未來時間序列的值和過去的值之間不存在相關(guān)關(guān)系；

②H>0.5：表示時間序列為持久性的分形布朗運動，時間序列具有長程相關(guān)性，假如時間序列在過去有一個增加的趨勢，那么未來時刻也具備統(tǒng)計意義上的增加可能性；

③H<0.5：表示時間序列為反持久性的分形布朗運動，假如時間序列在過去有一個增加的趨勢，那么未來時刻具備統(tǒng)計意義上的減小可能性，即返回歷史點。

3、時間序列趨勢項對Hurst指數(shù)的影響

Hurst指數(shù)是一種非參數(shù)檢驗統(tǒng)計量，它是在短期內(nèi)的時間序列數(shù)據(jù)相互獨立（或者說短期內(nèi)的時間序列數(shù)據(jù)沒有相關(guān)性）這一假設(shè)的前提下成立。因而在實際應(yīng)用中，往往會先消除時間序列的短期相關(guān)性，然后對殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗[2，3]。

為了檢驗時間序列短期相關(guān)性對Hurst指數(shù)的影響，選用一個線性時間序列和隨機時間序列進(jìn)行分析。假設(shè)線性時間序列為

隨機時間序列為

y（t）=αt（1）

y（t）=βrand（t）（2）

帶有隨機波動的線性時間序列

y（t）=αt+βrand（3）

式中：t為時間；y（t）為時間序列值；rand為0和1之間的隨機數(shù)；α和β為比例參數(shù)，可取任意實數(shù)。

由于式（1）為一個完全確定的線性時間序列，因而其Hurst指數(shù)理論值應(yīng)為1，而實際計算值也為1；而式（2）為一個完全不確定的隨機時間序列，因而其Hurst指數(shù)理論值應(yīng)為0.5，而實際的計算值也約等于0.5。為了分析時間序列的趨勢項對Hurst指數(shù)的影響，將式（3）中的比例參數(shù)β從1到5000這一區(qū)間內(nèi)變化，而α的取值為0.1，并計算式（3）、式（2）和式（1）在時間區(qū)間0至500所對應(yīng)的Hurst指數(shù)。從圖形直接觀察發(fā)現(xiàn)，隨著比例參數(shù)β逐漸增大，式（3）的線性趨勢變得越來越不明顯，當(dāng)β增加到一定程度后，線性趨勢完全被隨機趨勢所掩蓋。當(dāng)隨機項波動幅度非常大的時候，隨機項和線性項相互疊加的實際序列表現(xiàn)出了很強的隨機性，Hurst指數(shù)也趨向于0.5，表示此時的時間序列服從隨機游走狀態(tài)；當(dāng)隨機波動幅度較小的時候，隨機項和線性項相互疊加的實際序列的線性趨勢加強，而Hurst指數(shù)也會逐漸趨向于1，表示此時的時間序列具備很強的趨勢性，是可以預(yù)測的。

對于交通流時間序列，可以認(rèn)為它是由一個高頻的隨機項和低頻的趨勢項疊加而成，且低頻的趨勢項具備很好的延展和復(fù)制性。選取時間間隔為5min，持續(xù)天數(shù)為一個月的交通流時間序列，不對其做任何處理，并求出其相應(yīng)的Hurst指數(shù)。發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ln（T）小于6時，ln（T）ln（R/S）曲線具有非常好的線性關(guān)系，而此段曲線的斜率約為1，這表明交通流時間序列是完全可以預(yù)測的。實際中，交通流時間序列的復(fù)雜程度非常高，很難準(zhǔn)確預(yù)測，而Hurst指數(shù)之所以很高是因為交通流的短期趨勢項較為顯著。為了準(zhǔn)確分析交通流的分形特性，有必要先消除交通流時間序列的宏觀趨勢。

為了消除短期的自相關(guān)性，可以采用短期的自回歸模型（AR），但是這種方法效果并不明顯。因此，在實際應(yīng)用之中，應(yīng)先對原始序列數(shù)據(jù)的短期趨勢進(jìn)行消除，一般可以使用取對數(shù)比的方法，具體操作為

（4）

式中：ξ（i）為消除短期趨勢的時間序列；為原始的時間序列。對于交通流時間序列，當(dāng)數(shù)據(jù)的采集間隔足夠小的時候（小于1min），會出現(xiàn)流量數(shù)據(jù)為零的情況，因此式（4）計算出來的新序列值會出錯。因此，本研究采用差值法消除短期趨勢，計算公式為

（5）

利用公式（5）對原始交通流時間序列進(jìn)行短期自相關(guān)趨勢消除，并對消除短期自相關(guān)趨勢后的時間序列求Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)ln（T）在小于6時Hurst指數(shù)約等于0.5，這表示交通流量時間序列是符合隨機游走的（如圖3所示）。

4、交通流置HMrst指數(shù)分析

交通流的高度復(fù)雜性不僅體現(xiàn)在其內(nèi)在規(guī)律的高度復(fù)雜性，還表現(xiàn)在交通流易受外界事物干擾，會因時因地而有所差異。因此，有必要對影響因素進(jìn)行分析。

4.1時間間隔對Hurst指數(shù)的影響

以美國PeMS系統(tǒng)中的交通流檢測數(shù)據(jù)為例，選用檢測點1111572的交通流數(shù)據(jù)（2012-1-6至2012-1-16日），最初的原始數(shù)據(jù)是以30秒為統(tǒng)計間隔。將原始數(shù)據(jù)以30秒為單位進(jìn)行融合，得到時間間隔依次增加的統(tǒng)計序列，并對新的統(tǒng)計序列求Hurst指數(shù)。

整體而言，Hurst指數(shù)會隨著時間間隔的增大而增大，且在以5min為統(tǒng)計時間間隔的時間序列的Hurst指數(shù)值接近0.5；當(dāng)統(tǒng)計間隔小于5min時，Hurst指數(shù)值要小于0.5；當(dāng)統(tǒng)計間隔大于5min時，Hurst指數(shù)值要大于0.5。計算數(shù)據(jù)表明，交通流時間序列是以5min為臨界值，統(tǒng)計間隔小于5min的數(shù)據(jù)具有反持久性，大于5min的數(shù)據(jù)具有持久性，而以5min為統(tǒng)計間隔的時間序列隨機性最強。此外，移動Hurst指數(shù)也表現(xiàn)出了相同的特性，30s統(tǒng)計間隔時間序列數(shù)據(jù)的移動Hurst指數(shù)要小于0.5，10min統(tǒng)計間隔時間序列數(shù)據(jù)的移動Hurst指數(shù)要大于0.5。

4.2不同地段的Hurst指數(shù)比較

以北京二環(huán)快速路2min統(tǒng)計間隔數(shù)據(jù)和美國PeMS系統(tǒng)的2min統(tǒng)計間隔數(shù)據(jù)為例，做出各個時間序列的雙對數(shù)數(shù)據(jù)散點圖（圖5和圖6），其中數(shù)據(jù)散點的擬合斜率即為Hurst指數(shù)。通過擬合發(fā)現(xiàn)，兩個地點的Hurst指數(shù)大致相等且約等于0.43。美國US101高速公路5min統(tǒng)計間隔流量時間序列的雙對數(shù)數(shù)據(jù)散點圖對應(yīng)的Hurst指數(shù)達(dá)到了約0.8，表現(xiàn)出非常強的正相關(guān)特性。而圖2中，2min統(tǒng)計間隔的Hurst指數(shù)約為0.35，5min統(tǒng)計間隔的Hurst指數(shù)約為0.5。這表明交通流的Hurst指數(shù)不具備通用性，會因地而異。

結(jié)論：

本文簡單介紹了分形基本理論，并闡述了Hurst指數(shù)的計算過程，發(fā)現(xiàn)在交通流時間序列Hurst指數(shù)計算的過程中必須消除時間序列的短期自相關(guān)性。以不同的采樣間隔為基礎(chǔ)，分別計算相對應(yīng)的移動Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)交通流具有相對復(fù)雜的分形特性：Hurst指數(shù)會隨著采樣間隔時間的增加而增加，且涵蓋了反持續(xù)、隨機和持續(xù)三個狀態(tài)；Hurst指數(shù)會因地而異，在不同的地點，相同采樣間隔下的Hurst指數(shù)值是有顯著差異的。這一發(fā)現(xiàn)為交通流預(yù)測提供了一種新的思路，在進(jìn)行預(yù)測前，有必要先了解交通流時間序列的分形特性，并通過Hurst指數(shù)值來判斷交通流時間序列是滿足反持續(xù)波動、隨機波動或者是持續(xù)波動的。