曹嘉芮， 吳 康

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631)

第三類(lèi)切比雪夫型方程組的通解

曹嘉芮， 吳 康

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631)

定義了第三類(lèi)切比雪夫型一元方程(組)，通過(guò)各個(gè)方程根的兩兩配對(duì)，得到二階乃至高階方程組通解的表達(dá)形式.

第三類(lèi)；切比雪夫型方程(組)；方程根；通解；高階

1 預(yù)備知識(shí)

第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式(Tn(x))和第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式(Un(x))是以俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家切比雪夫(Tschebyscheff)的名字命名的特殊函數(shù)[1-2]，起源于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開(kāi)式，是當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)并且應(yīng)用廣泛.

目前對(duì)第一類(lèi)、第二類(lèi)切比雪夫型方程組的通解[3-6]有一定的研究，但對(duì)第三類(lèi)切比雪夫方程組的通解問(wèn)題尚未研究，本文基于切比雪夫多項(xiàng)式的實(shí)用性，對(duì)第三類(lèi)切比雪夫型方程(組)進(jìn)行深入的研究.

定義[7-8]第三類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式序列{Vn(x)}定義為

2 引理

3 第三類(lèi)切比雪夫型方程(組)

3.1 第三類(lèi)切比雪夫型方程

定義1 設(shè)n,m∈N,n>m,稱方程Vn(x)=Vm(x)為第三類(lèi)切比雪夫型一元方程.

3.2 第三類(lèi)切比雪夫型一元二階方程組

定義2 設(shè)n1,n2,m1,m2∈N,n1>m1,n2>m2,稱方程組

(1)

為第三類(lèi)切比雪夫型一元二階方程組.

3)同情況2)，不詳述.

4)若n1-m1=2r1+1,n2-m2=2r2+1,此時(shí)方程組第i個(gè)方程的復(fù)數(shù)根為

③同②，不詳述.

3.3 第三類(lèi)切比雪夫型一元三階方程組

定義3 設(shè)n1,n2,n3,m1,m2,m3∈N,n1>m1,n2>m2,n3>m3,稱方程組

(2)

為第三類(lèi)切比雪夫型一元三階方程組.

1)若n1-m1=2r1,n2-m2=2r2,n3-m3=2r3,令d1=(a11,a21,a31),d2=(a11,a21,a32),d3=(a11,a22,a31),d4=(a11,a22,a32),d5=(a12,a21,a31),d6=(a12,a21,a32),d7=(a12,a22,a31),d8=(a12,a22,a32)，

2)若nj-mj=2rj,nk-mk=2rk,nl-ml=2rl+1,j,k,l=〈1,2,3〉且j≠k≠l,令

d1=(aj1,ak1,bl1),d2=(aj1,ak1,bl2),d3=(aj1,ak2,bl1),d4=(aj1,ak2,bl2),d5=(aj2,ak1,bl1),d6=(aj2,ak1,bl2),d7=(aj2,ak2,bl1),d7=(aj2,ak2,bl2)，

此時(shí)方程的解為

3)若nj-mj=2rj,nk-mk=2rk+1,nl-ml=2rl+1,j,k,l=〈1,2,3〉且j≠k≠l,令

d1=(aj1,bk1,bl1),d2=(aj1,bk1,bl2),d3=(aj1,bk2,bl1),d4=(aj1,bk2,bl2),d5=(aj2,bk1,bl1),

4)若nj-mj=2rj+1,nk-mk=2rk+1,nl-ml=2rl+1,j,k,l∈〈1,2,3〉且j≠k≠l,

令d1=(bj1,bk1,bl1),d2=(bj1,bk1,al2),d3=(bj1,ak2,bl1),d4=(bj1,ak2,al2),d5=(aj2,bk1,bl1),

d6=(aj2,bk1,al2),d7=(aj2,ak2,bl1),d8=(aj2,ak2,al2)，

此時(shí)方程的解為

證明 1)若n1-m1=2r1,n2-m2=2r2,n3-m3=2r3,此時(shí)方程組第i個(gè)方程的復(fù)數(shù)根為

3)證明同情況2),不詳述.

3.4 第三類(lèi)切比雪夫型一元r階方程組

定義4 設(shè)ni,mi,∈N,ni>ml,稱方程組

(3)

為第三類(lèi)切比雪夫型一元r階方程組.

證明 1)若t=r,則ni-mi=2ri,ri∈Z(1,r),此時(shí)方程組第i個(gè)方程的復(fù)數(shù)根為

3.5 第三類(lèi)切比雪夫型一元高階方程組的應(yīng)用

[1] 葉其孝，沈永歡.實(shí)用數(shù)學(xué)手冊(cè)[M]. 2版.北京：科學(xué)出版社，2006:687-689.

[2] 《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫(xiě)組.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，1979:608-610.

[3] 吳康，龍開(kāi)奮.關(guān)于切比雪夫多項(xiàng)式的一些研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006(3)：27-30.

[4] 凌明燦.第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式方程的重根規(guī)律[J].五邑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013(5):13-15.

[5] 凌明燦.第二類(lèi)切比雪夫型和式方程的研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012(12):11-13.

[6] 凌明燦.一類(lèi)切比雪夫型方程組的通解[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012(12)：46-49.

[7] 吳蘭.關(guān)于四類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式的研究[D].廣州：華南師范大學(xué)，2014.

[8] 王中德.兩類(lèi)新的切比雪夫多項(xiàng)式[J].北京郵電學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1989(12)：46-54.

The General Solutions of the Third Kind of Chebyshev Equations

CAO Jiarui, WU Kang

(SchoolofMathematics,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

The third kind of Chebyshev equations with one unknown is defined. Get the general solutions of the two-order and higher-order equations by pairing each root of equation.

the third kind; Chebyshev equations; root; general solutions

2017-01-15

曹嘉芮(1994—)，女，福建長(zhǎng)汀人，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.01.005

O15

A

1007-0834(2017)01-0024-06