金能智　者建　武文洮　楊博超　李葆光

摘 要：Matlab具有強大的科學(xué)運算和靈活的程序設(shè)計，可提供高質(zhì)量的圖像可視化，已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。分形是非線性科學(xué)的重要分支，分形幾何學(xué)卻具有尺度上的對稱性，分型圖形是計算機圖形學(xué)和分形理論相結(jié)合的產(chǎn)物。該文利用Matlab強大的編程工具和圖形顯示功能實現(xiàn)Cantor集、Koch曲線、分形樹圖形，這對數(shù)學(xué)類、計算機圖形學(xué)和相關(guān)專業(yè)類研究人員有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：分形 Matlab Cantor集 Koch曲線

中圖分類號：TP312 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）01（b）-0105-02

Matlab是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境。Matlab提供了強大的科學(xué)運算、靈活的程序設(shè)計、高質(zhì)量的圖像可視化以及便捷地與其他程序和語言接口的功能[1，2]。目前，Matlab已經(jīng)應(yīng)用到很多科研領(lǐng)域，如，生物信息學(xué)[3]、統(tǒng)計學(xué)[4]、信號處理[5]、小波分析[6]等。

分形（Fractal）是非線性科學(xué)的一個重要分支，應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)的眾多領(lǐng)域[7-9]。1973年，數(shù)學(xué)家Mandelbrot在法蘭西學(xué)院講課時，首次提出了分形的思想。他給分形下的定義就是：一個集合形狀，可以細分為若干部分，而每一部分都是整體的精確或不精確的相似形。分形的基本特征是具有標(biāo)度不變性。其研究的圖形是非常不規(guī)則和不光滑的，已失去了通常的幾何對稱性。但是，在不同的尺度下進行觀測時，分形幾何學(xué)卻具有尺度上的對稱性或稱標(biāo)度不變性。

分形圖形是計算機圖形學(xué)和分形理論相結(jié)合的產(chǎn)物，在電腦模擬研究具有分形特征物體的圖像。分形的計算機生成問題具有明顯的挑戰(zhàn)性，它使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中無法表達的形態(tài)（如，山脈、花草等）得以表達。分形圖案在自然界真實物體模擬、仿真形體生成、計算機動畫、藝術(shù)裝飾紋理、圖案設(shè)計和創(chuàng)意制作等具有廣泛的應(yīng)用價值。

該文中利用強大的編程工具Matlab來實現(xiàn)Cantor集、Koch曲線、分形樹圖形，這對數(shù)學(xué)類、計算機圖形學(xué)和相關(guān)專業(yè)類研究人員有一定的參考價值。

1 Cantor集

取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為Cantor集。具體代碼如下。

function f=cantor（ax，ay，bx，by）

c=0.2；

d=2；

if （bx-ax）>c

x=[ax，bx]；y=[ay，by]；hold on；

plot（x，y，LineWidth，5）；hold off；

cx=ax+（bx-ax）/3；

cy=ay-d；

dx=bx-（bx-ax）/3；

dy=by-d；

ay=ay-d；

by=by-d；

cantor（ax，ay，cx，cy）；

cantor（dx，dy，bx，by）；

end

end

執(zhí)行cantor（1，4，10，4），結(jié)果顯示如圖1。

2 Koch曲線

Koch曲線，設(shè)想從一條直線段開始，將線段中間1/3部分用等邊三角形的兩條邊代替，形成具有5個結(jié)點的圖形，在新的圖形中，又將圖中每一直線段中間的1/3部分都用一等邊三角形的兩條邊代替，再次形成新的圖形，以此重復(fù)，直至無窮。外界的變得原來越細微曲折，形狀接近理想化的雪花。具體代碼如下。

function f=Koch（ax，ay，bx，by，c）

if （bx-ax）^2+（by-ay）^2

x=[ax，bx]；y=[ay，by]；

plot（x，y，LineWidth，2）；

axis equal

hold on；

else

cx=ax+（bx-ax）/3； cy=ay+（by-ay）/3；

ex=bx-（bx-ax）/3； ey=by-（by-ay）/3；

l=sqrt（（ex-cx）^2+（ey-cy）^2）；

alpha=atan（（ey-cy）/（ex-cx））；

if （alpha>=0&（ex-cx）<0）|（alpha<=0&（ex-cx）<0）

alpha=alpha+pi；

end

dy=cy+sin（alpha+pi/3）*l；

dx=cx+cos（alpha+pi/3）*l；

Koch（ax，ay，cx，cy，c）；

Koch（ex，ey，bx，by，c）；

Koch（cx，cy，dx，dy，c）；

Koch（dx，dy，ex，ey，c）；

end

end

執(zhí)行Koch（0，0，120，0，10），結(jié)果顯示如圖2。

3 分形樹

一條線段，以線段的終點為起點向兩邊分出一定的角度、長度的兩條線段，分出的線段的終點再做相同處理，以此類推，生成一種分形樹。具體代碼如下。

function fractaltree（n，ax，ay，len，angle）

bx=ax+len*cos（angle）；

by=ay+len*sin（angle）；

plot（[ax，bx]，[ay，by]）；

angle1=pi/6；

angle2=pi/9；

hold on

if n==0

return；

end

fractaltree（n-1，bx，by，0.6*len，angle+angle1）；

fractaltree（n-1，bx，by，0.7*len，angle-angle2）；

end

執(zhí)行fractaltree（12，150，20，50，pi/2），結(jié)果顯示如圖3。

4 結(jié)語

分形形態(tài)是自然界普遍存在的，研究分形，是探討自然界的復(fù)雜事物的客觀規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的需要。分形提供了描述自然形態(tài)的幾何學(xué)方法，使得在計算機上可以從少量數(shù)據(jù)出發(fā)，對復(fù)雜的自然景物進行逼真的模擬，并啟發(fā)人們利用分形技術(shù)對信息做大幅度的數(shù)據(jù)壓縮。它以其獨特的手段來解決整體與部分的關(guān)系問題，利用空間結(jié)構(gòu)的對稱性和自相似性，采用各種模擬真實圖形的模型，使整個生成的景物呈現(xiàn)出細節(jié)的無窮回歸的性質(zhì)，豐富多彩，具有奇妙的藝術(shù)魅力。

參考文獻

[1] 姜健飛.數(shù)值分析及其MATLAB實驗[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[2] 史峰.MATLAB智能算法30個案例分析[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2015.

[3] 張樂平，黃非，閔波，等.基于MATLAB生物信息學(xué)工具箱構(gòu)建分子系統(tǒng)發(fā)生樹[J].醫(yī)學(xué)信息學(xué)雜志，2010，31（6）：34-37.

[4] 張林泉.MATLAB在統(tǒng)計學(xué)實驗教學(xué)中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2011，31（1）：84-87.

[5] 劉波，文忠.MATLAB信號處理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[6] 張德豐.MATLAB小波分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，2009.

[7] 劉瑩，胡敏，余桂英，等.分形理論及其應(yīng)用[J].江西科學(xué)，2006，24（2）：205-209.

[8] 孫霞，吳自勤，黃畵.分形原理及應(yīng)用[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2003.

[9] 王達.幾類復(fù)系統(tǒng)分形的特性分析與控制[D].山東大學(xué)，2016.