沈輝　管秀娟

導數進入高中數學教材后，作為分析解決問題的一個重要工具，給函數問題注入了生機和活力，開辟了解題的新視覺、新途徑和新方法，拓寬了高考對函數問題的命題空間. 其中，利用導數的定義、幾何意義及其運算法則解決相關問題，已成為高考命題中的重要考點. 然而，在平時的學習中，由于這部分內容比較基礎、簡單，同學們往往對其相關概念及運算法則不太重視，與之相關的錯誤時有發(fā)生. 下面就導數的概念及其運算的常考題型做一些歸納和探討，以供借鑒.

利用導數的定義求函數的導數

例1 利用導數的定義求函數[f（x）=1x+2]的導數.

解析 因為Δy=f（x+Δx）-f（x）

=[1x+Δx+2-1x+2=][-Δx（x+Δx+2）（x+2）]，

所以[ΔyΔx]=[-Δx（x+Δx+2）（x+2）Δx]

=[-1（x+Δx+2）（x+2）].

所以y′=[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01（x+Δx+2）（x+2）]

=[-1（x+2）2].

點評 利用定義法求函數的導數時，要緊扣導數的定義，分三個步驟求解. 即一差，求函數的改變量[Δy=f（x+Δx）-f（x）]；二比，求平均變化率[ΔyΔx=f（x+Δx）-f（x）Δx]；三極限，取極限，得導數[y′=f（x）=limΔx→0ΔyΔx]. 這種求解方法可簡記為“一差、二比、三極限”. 當然，后面學習的導數公式及運算法則比用導數公式法求函數的導數更簡潔.

利用導數的定義求極限

例2 已知函數f（x）在[x0]處的導數為[23]，求[limΔx→0f（x0+3Δx）-f（x0）Δx]的值.

解析 因為[limΔx→0][f（x0+3Δx）-f（x0）Δx]

=[limΔx→0][[3?f（x0+3Δx）-f（x0）3Δx]]

=[3limΔx→0][[f（x0+3Δx）-f（x0）3Δx]]

=3[f（x0）]，

又函數f（x）在[x0]處的導數為[23]，

所以[limΔx→0f（x0+3Δx）-f（x0）Δx=3×23=2.]

點評 任何模塊的知識都是以基本的定義作為基礎的，導數的定義也不例外. 本題中所求的極限與導數的定義式極為相似，故可以考慮利用導數的定義進行求解. 這里解決問題的關鍵是熟練掌握定義的本質屬性，把握其內涵和外延，對所求極限的表達式進行恰當地變形，將其配湊成[f（x0）]=[limΔx→0][f（x0+Δx）-f（x0）Δx]或[f（x0）]=[limΔx→0][f（x）-f（x0）x-x0]的形式.

利用導數的定義求瞬時速度

例3 已知一物體運動方程為（位移：m，時間：s）：[s=3t2+2， t≥3，29+3（t-3）2，0≤t<3.]

求：（1） 物體在t∈[3，5]內的平均速度；

（2）物體的初速度[v0]；

（3）物體在t=1時的瞬時速度.

解析 （1）因為物體在t∈[3，5]內的時間變化量為

[Δt=5-3=2]，

物體在t∈[3，5]內的位移變化量為

Δs=3×25+2-（3×9+2）=48.

∴物體在t∈[3，5]內的平均速度為

[ΔsΔt=482=24m/s].

（2）求物體的初速度[v0]，即求物體在t=0時的瞬時速度.

∵物體在t=0附近的平均變化率為

[ΔsΔt]=[f（0+Δx）-f（0）Δx]

=[29+3（0+Δx-3）2-29-3（0-3）2Δx]

=[3Δt-18]，

∴物體在t=0處的瞬時變化率為

[limΔt→0][ΔsΔt]=[limΔt→0][（3Δt-18）]=-18m/s，

即物體的初速度[v0]為-18m/s.

（3）物體在t=1時的瞬時速度即為函數在t=1處的瞬時變化率.

∵物體在t=1附近的平均速度為

[ΔsΔt]=[29+3（1+Δx-3）2-29-3（1-3）2Δx]=[3Δt-12]，

∴物體在t=1處的瞬時速度為

[limΔt→0][ΔsΔt]=[limΔt→0][（3Δt-12）]=-12m/s，

∴物體在t=1處的瞬時速度為-12m/s.

點評 定義是反映事物本質屬性的最基本的思維形式，本題是運用導數的定義解決物理問題的典型例題. 物體在某一時刻附近的平均速度[v]（即平均變化率），當時間改變量[Δt]趨向于0時的極限值，即為瞬時速度，也就是位移對時間的導數，這是導數定義的物理意義. 另外也要注意到速度對時間的導數，即為加速度，這是導數定義的另一物理意義. 因此，學科間知識的融合應引起我們足夠的重視.

利用導數公式及運算法則求導數

例4 已知f1（x）=sinx+cosx，記f2（x）=[f1（x）]， f3（x）=[f2（x）]，…，fn（x）=[fn-1（x）]，n∈N*，n≥2，求[f1（π2）]+f2[（π2）]+…+f2016[（π2）]+f2017[（π2）]的值.

解析 由題意得，f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，

f3（x）=（cos x-sin x）′=-sinx-cosx，

f4（x）=（-sin x-cos x）′=-cos x+sin x，

f5（x）=sinx+cos x，

f6（x）=cosx-sinx，

…

以此類推，可得出fn（x）=fn+4（x）.

又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）

=2sinx+2cosx-2sinx-2cosx=0，

∴f1[（π2）]+f2[（π2）]+…+f2016[（π2）]+f2017[（π2）]

=504[f1[（π2）]+f2[（π2）]+f3[（π2）]+f4[（π2）]]+f1[（π2）]

=f1[（π2）]=sin[π2]+cos[π2]=1.

點評 利用基本初等函數的導數公式和導數四則運算法則求導數時，應根據所給函數的特征，準確地把函數分割為基本函數的和、差、積、商及其復合運算的形式，再恰當選擇公式并利用運算法則求解. 對不具備求導法則的結構形式要適當恒等變形，轉化為易于求導的結構形式，再求導數. 最近幾年對導數運算的考查大都以小題形式出現(xiàn)，且往往與其他知識點交匯. 求導、列舉、找規(guī)律是解決這一類問題的常見思路.

逆用導數的運算法則解題

例5 設函數[f（x）]，[g（x）]分別是定義在[R]上的奇函數和偶函數，當[x<]0時，[f（x）g（x）+][f（x）g（x）>0]，且[g（-3）=0]， 求不等式[f（x）g（x）<0]的解集.

解析 由[f（x）g（x）+f（x）g（x）>0]得，

[[f（x）g（x）]′]>0.

令[F（x）=f（x）g（x）]，

則[F（x）]在[（-∞，0）]上是單調函數.

又因為函數[f（x）]，[g（x）]分別是定義在[R]上的奇函數和偶函數，

所以[F（x）]是奇函數.

故[F（-3）=-F（3）=][-f（3）g（3）=0].

結合[F（x）]的草圖可得，不等式[f（x）g（x）]<0的解集為[xx<-3，或0

點評 在利用導數公式和求導法則求導數時，不僅要注意導數運算公式和法則的靈活運用，還要特別注意導數運算法則的逆用. 因為這不僅能使我們進一步鞏固對運算法則的理解，而且還能培養(yǎng)發(fā)散思維. 本題解題的關鍵在于：對已知條件的深入挖掘，可聯(lián)想到逆用乘法運算法則得到[f（x）g（x）+][f（x）g（x）]=[[f（x）g（x）]]，進而利用構造法解題. 當然，還應特別注意數形結合思想在解決函數問題中的特殊作用.

利用導數的幾何意義求切線的斜率

例6 已知曲線y=f（x）=[13x3+43].

（1）求曲線y=f（x）在點[P]（2，4）處的切線方程；

（2）求曲線y=f（x）過點[P]（2，4）的切線方程；

（3）求滿足斜率為1的曲線的切線方程.

解析 （1）由y=f（x）=[13x3+43]得，[f（x）]=[x2].

又由題意知，[P]（2，4）為切點，

[∴]曲線y=f（x）在點[P]（2，4）處的切線的斜率k=[f（2）=4].

故曲線y=f（x）在點[P]（2，4）處的切線方程切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0.

（2）由題意知，[P]（2，4）在曲線上，但點[P]可能是切點，也可能不是切點.

可設曲線y=f（x）=[13x3+43]與過點[P]（2，4）的切線相切于點A（[x0，13x03+43]），

則切線的斜率k=[f（x0）=x02].

[∴]曲線y=f（x）過點[P]（2，4）的切線方程為[y-（13x03+43）=x02（x-x0）]，即[y=x02x-23x03+34]（*）.

又點[P]（2，4）在切線上，

[∴][4=2x02-23x03+34]，

即[x03-3x02+4=0.]

[∴x03+x02-4x02+4=0.]

[∴x02（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0.]

[∴（x0+1）（x0-2）2=0].

解得，[x0=-1]，或[x0=2].

將[x0]代入式（*）中得，y=4x-4，或y=x+2，

即所求切線方程為4x-y-4=0，或x-y+2=0.

（3）設切點為B（[x1，y1]），

故切線的斜率k=[f（x1）=x12]=1，解得，[x1=±1].

故切點為[（1，53）]，[（-1，1）].

故所求切線方程為[y-53=x-1]，或[y-1=x+1]，

即3x-3y+2=0，或x-y+2=0.

點評 一般地，對于求過定點[P]的曲線的切線方程問題，求解時應把握導數的幾何意義是切點處切線的斜率，解題的關鍵是要弄清題目中的定點[P]是不是切點. 這里特別需要注意的是“曲線在點[P]處的切線”不等價于“曲線過點[P]的切線”. “曲線在點[P]處的切線”是指過點[P]且以[P]為切點的切線，從而[P]必須在曲線上；而“曲線過點[P]的切線”則不一定以[P]為切點，點[P]也不一定在曲線上. 當點[P]在曲線上時，點[P]可以是切點，也可以不是切點；當點[P]不在曲線上時，點[P]不可能是切點，此時一般利用本題中第（2）問的求解方法，設出切點并利用方程思想求解.

從以上幾個例題可以看出，導數的定義及其運算在數學解題中的應用是十分廣泛的. 因此，我們在平常的學習過程中一定要加強對導數的定義及其運算法則的學習， 注重對導數的定義及其運算法則、幾何意義的理解， 真正做到融會貫通.