呂書龍 劉文麗 梁飛豹 陳鳳德

（福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116）

一道概率統(tǒng)計(jì)試題的分析與教學(xué)思考

呂書龍 劉文麗 梁飛豹 陳鳳德

（福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116）

文章通過分析數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一道綜合題的多種解法，探討學(xué)生掌握基本概念和應(yīng)用知識(shí)的學(xué)習(xí)能力層次。并把學(xué)習(xí)能力層次分成理解偏差型、基本型、理解應(yīng)用型和融會(huì)貫通型四種漸進(jìn)層級(jí)，同時(shí)指出分層教學(xué)的必要性，并結(jié)合作業(yè)反饋機(jī)制給出合理的教學(xué)建議以便為教與學(xué)的順利開展提供一種思路。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)；認(rèn)知能力；分層教學(xué)；作業(yè)反饋

1 引言

數(shù)學(xué)是一門“思而知之”的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心在于培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且數(shù)學(xué)在對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練方面具有其他任何學(xué)科無法替代的功能。文獻(xiàn)［1］從一類問題的解法角度分析了學(xué)生學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。文獻(xiàn)［2，3］結(jié)合分層教學(xué)闡述了學(xué)生能力培養(yǎng)的重要性。文獻(xiàn)［4，5］提到基于問題驅(qū)動(dòng)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、反例教學(xué)法和情景教學(xué)法等來培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。文獻(xiàn)［6］闡述了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練與各種能力培養(yǎng)的關(guān)系。大部分文獻(xiàn)缺少對(duì)能力層次進(jìn)行細(xì)分，也較少涉及對(duì)能力層次動(dòng)態(tài)變化的跟蹤。眾所周知，學(xué)生各項(xiàng)能力的差異對(duì)教學(xué)將產(chǎn)生直接的影響。當(dāng)下，基礎(chǔ)課教學(xué)課時(shí)常被壓縮，在教學(xué)過程中及時(shí)把握學(xué)生學(xué)習(xí)能力層次變化,適時(shí)地調(diào)整教學(xué)模式已成為因材施教和分層教學(xué)的關(guān)鍵。

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”作為一門本科階段全校性的公共基礎(chǔ)課,已多年實(shí)行教考分離，統(tǒng)考統(tǒng)改。在教學(xué)改革上也做了很多工作。但在劃分學(xué)生學(xué)習(xí)能力層次以及如何評(píng)價(jià)學(xué)生掌握知識(shí)和綜合應(yīng)用水平方面，工作還比較欠缺，有待完善。本文通過“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”中一道綜合題的多種解法嘗試將學(xué)生的學(xué)習(xí)能力層次劃分為：理解偏差型、基本型、理解應(yīng)用型和融會(huì)貫通型四種類型，并對(duì)其進(jìn)行合理分析，旨在為分層教學(xué)［2，3］的推進(jìn)提供一種測(cè)度參考，也為課程的多層次綜合考核與評(píng)價(jià)提供一種思路。

這是一道綜合了數(shù)學(xué)期望、獨(dú)立同分布樣本和正態(tài)抽樣等知識(shí)點(diǎn)的例題，曾作為某年全國(guó)的考研題。該題設(shè)計(jì)巧妙，能夠從不同的角度，且只需應(yīng)用初級(jí)的方法就能得出不同的解題思路和解法。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

授課知識(shí)點(diǎn)：設(shè)X1，X2，……Xn；Y1，Y2，……Yn獨(dú)立同分布，則

3 常見錯(cuò)誤及能力層次分析

3.1 獨(dú)立性錯(cuò)誤

學(xué)生在理解統(tǒng)計(jì)量與樣本關(guān)系的時(shí)候存在一定的誤區(qū)，誤認(rèn)為 X1，X2，i=1，2，…，2n，之間是相互獨(dú)立。比如出現(xiàn)如下的計(jì)算過程：

3.2 等價(jià)錯(cuò)誤

不妨將產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的學(xué)生的能力層次定位為理解偏差型。在教學(xué)中，應(yīng)對(duì)該類型的學(xué)生加以概念強(qiáng)化，解決其認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，使其盡快跟上整體教學(xué)進(jìn)度。

4 正確解法評(píng)析及能力層次分析

此法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的一種方法。因此從知識(shí)掌握和能力層次來說，使用該方法的學(xué)生，懂得樣本、獨(dú)立同分布的基本概念和基本性質(zhì)，能熟練使用（1.1）到（1.3）式，具有一定的計(jì)算和推導(dǎo)能力。但總體上還處于套用公式的初級(jí)階段，其融會(huì)貫通和綜合應(yīng)用能力還有待大力提升，屬于基本型I。

4.3 均值分配法

均值分配法實(shí)際上是方法3.1的變形，想從2X處入手尋找一種求解的捷徑。利用了獨(dú)立同分布特性，得到以及，在一定程度上簡(jiǎn)化了求解過程。因此使用該方法的學(xué)生對(duì)獨(dú)立同分布的理解基本到位，有一定的應(yīng)用能力，但還有待提升，屬于基本型II。

4.4 公式套用法

此法實(shí)際上應(yīng)用了（1.1）式和協(xié)方差的計(jì)算，在一定程度上簡(jiǎn)化了求解過程。因此使用該方法的學(xué)生對(duì)獨(dú)立同分布的理解到位，熟悉方差計(jì)算公式，且有一定的應(yīng)用能力，但還有待提升，屬于基本型II。

4.5 均值分配轉(zhuǎn)化

該方法先利用均值分配展開，再轉(zhuǎn)化成樣本方差和協(xié)方差形式，利用（1.4）和（1.9）式快速得出結(jié)果。說明使用該方法的學(xué)生對(duì)樣本方差的期望及協(xié)方差的性質(zhì)及計(jì)算非常熟練，基本功扎實(shí)，綜合應(yīng)用的能力也很強(qiáng)，這類學(xué)生可跨入理解應(yīng)用型，但還有提高的空間。

4.6 均值分解法

4.7 分布法

此法利用了獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量序列的可加性，求得每個(gè)子項(xiàng)所服從的正態(tài)分布，然后利用期望線性可加的特性求得結(jié)果。能夠作出這樣的推導(dǎo)說明學(xué)生對(duì)于正態(tài)獨(dú)立可加性以及期望和方差的計(jì)算公式領(lǐng)會(huì)比較到位，數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)能力較強(qiáng)，這類學(xué)生可歸入理解應(yīng)用型。

4.8 巧用正態(tài)性質(zhì)法

生態(tài)敏感度指生態(tài)系統(tǒng)對(duì)區(qū)域內(nèi)自然和人類活動(dòng)干擾的敏感程度，反映區(qū)域生態(tài)系統(tǒng)遭到干擾時(shí)發(fā)生生態(tài)環(huán)境問題的難易程度和可能性，并用以表征外界干擾可能造成的后果。研究區(qū)域可大致分為三種類型地形地貌：北部臨城區(qū)域、西側(cè)臨秋浦河區(qū)域和東側(cè)接白洋河（清溪河）區(qū)域，地勢(shì)較為平坦；中南部近陀彌山與茱萸山區(qū)域地勢(shì)較高，形成丘陵、山地相間格局；天生湖和谷譚圩區(qū)域?yàn)樯介g盆地，湖光山色掩映，風(fēng)景優(yōu)美。選取地形地貌、水文、土地類型等作為生態(tài)敏感因子進(jìn)行評(píng)分和加權(quán)疊加，根據(jù)定量評(píng)價(jià)結(jié)果劃分低敏感區(qū)、較低敏感區(qū)、中敏感區(qū)、較高敏感區(qū)、高敏感區(qū)，得到研究區(qū)域生態(tài)敏感度空間分布（圖3、表1）。

當(dāng)然，由上述假設(shè)，結(jié)合正態(tài)抽樣定理及卡方分布的期望等于自由度的性質(zhì)，易得

上述這兩個(gè)解法本質(zhì)上是一致，均利用了樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)。相對(duì)于法3.6而言，法3.7的兩種形式就更為簡(jiǎn)潔巧妙了。能夠想到該方法的學(xué)生足以說明其充分掌握了正態(tài)總體抽樣的各種性質(zhì)和及其抽樣定理，并能非常熟練地加以變形、構(gòu)造和應(yīng)用。這類學(xué)生學(xué)習(xí)能力很強(qiáng)，數(shù)學(xué)推證技巧嫻熟,且透著一股追求完美的數(shù)學(xué)情懷，應(yīng)屬于融會(huì)貫通型。

5 總結(jié)與建議

學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)存在比較明顯的能力和效率差異，這就要求教學(xué)模式也要適應(yīng)這種差異，以學(xué)生為核心進(jìn)行合理的分層教學(xué)和因材施教是現(xiàn)代教育發(fā)展的必然趨勢(shì)。文獻(xiàn)［2，3］詳細(xì)探討了分層教學(xué)的諸多問題，我們認(rèn)為實(shí)施分層教學(xué)的關(guān)鍵在于適時(shí)地監(jiān)測(cè)并掌握學(xué)生的能力層次分布。多年的教學(xué)實(shí)踐表明通過作業(yè)反饋的方式來獲取學(xué)生學(xué)習(xí)效果的第一手信息，是非常有價(jià)值的，但不一定是高效的，原因在于作業(yè)反饋相對(duì)于教學(xué)而言是滯后的。但是基于長(zhǎng)期的作業(yè)跟蹤和信息反饋，還是能夠比較準(zhǔn)確地把握學(xué)生掌握課程內(nèi)容的情況，為及時(shí)調(diào)整教學(xué)模式提供數(shù)據(jù)依據(jù)，以便實(shí)施動(dòng)態(tài)的分層教學(xué)。

除了及時(shí)跟進(jìn)作業(yè)的反饋外，對(duì)于作業(yè)難易度、綜合性等，也是需要刻意把握的，我們認(rèn)為比較有效的形式包括：

（1）在學(xué)習(xí)某章內(nèi)容時(shí)，所布置的作業(yè)應(yīng)盡量綜合考查到該章的大部分知識(shí)點(diǎn)，并有意識(shí)地加入能反映能力層次的部分，做好學(xué)生作業(yè)情況的反饋登記；

（2）在學(xué)習(xí)了多章內(nèi)容后，盡量布置綜合多章內(nèi)容的作業(yè)，意在訓(xùn)練學(xué)生融會(huì)貫通的能力和綜合應(yīng)用水平，同樣要做好學(xué)生作業(yè)情況的反饋登記；

（3）通過設(shè)計(jì)和構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)測(cè)試平臺(tái)，建設(shè)課程的標(biāo)準(zhǔn)題庫并植入手機(jī)App，將每章的知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)成標(biāo)準(zhǔn)題，并將其作為作業(yè)的一部分，直接在網(wǎng)上限時(shí)完成。這樣做的目的是教師可通過測(cè)試結(jié)果，建立統(tǒng)計(jì)分析模型，動(dòng)態(tài)地把握學(xué)生整體和個(gè)體的學(xué)習(xí)程度，以便及時(shí)作出教學(xué)上應(yīng)對(duì)策略。

（4）構(gòu)建基于App的網(wǎng)絡(luò)答疑平臺(tái)，以最便捷的模式建立起教師和學(xué)生之間的溝通橋梁，突破時(shí)間和空間的限制，實(shí)現(xiàn)答疑解惑的高效性。

上述（1）（2）項(xiàng)工作是教學(xué)的常規(guī)動(dòng)作，主要依靠任課教師完成；（3）（4）兩項(xiàng)工作已列入2015年的校級(jí)教學(xué)改革項(xiàng)目，目前處在內(nèi)部測(cè)試階段。

通過作業(yè)和測(cè)試平臺(tái)的反饋信息實(shí)施動(dòng)態(tài)調(diào)整是教學(xué)的一種嘗試，需要整個(gè)基礎(chǔ)課教學(xué)團(tuán)隊(duì)的協(xié)同合作，也是一個(gè)系統(tǒng)工程。作業(yè)和測(cè)試平臺(tái)的反饋還有很多附加作用，其價(jià)值包括但不限于以下三個(gè)方面：首先解決平時(shí)成績(jī)的合理評(píng)價(jià)問題；其次便于課程負(fù)責(zé)人客觀地掌握全校學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和能力層次分布，以便在期末統(tǒng)考命題出卷中做到客觀，避免出現(xiàn)嚴(yán)重的偏態(tài)現(xiàn)象；便于來年制定更加合理的授課計(jì)劃和授課進(jìn)度，為教學(xué)的順利開展提供重要的數(shù)據(jù)分析支撐。

［1］劉德金.從“求圓截線平面問題”的研究談學(xué)生能力的培養(yǎng)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011（6）.

［2］劉龍，李明，于濱，等.關(guān)于高等數(shù)學(xué)課分層次教學(xué)的思考［J］.教育探索，2008（11）.

［3］張香云，王家軍，賀志民.高等數(shù)學(xué)課程分層次教學(xué)理念的思考和舉措［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2014（1）.

［4］陳思源.利用對(duì)稱性巧解概率與數(shù)學(xué)期望問題［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2007（4）.

［5］尹長(zhǎng)明，韋程?hào)|.公共基礎(chǔ)課“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教學(xué)的一點(diǎn)體會(huì)［J］.廣西大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008（S1）.

［6］焦萬堂，李俊海，曹建莉.科學(xué)思維、科學(xué)方法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2013（1）.

G642，O212

：A

：1673-9884（2017）01-0083-04

2016-09-20

福建省本科高校教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（JAS151395）；福州大學(xué)研究生課程建設(shè)項(xiàng)目（52004634，52004612）

呂書龍，男，福州大學(xué)副教授，碩士。