王 帥， 訾艷陽， 何正嘉

(西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

含裂紋離心壓縮機(jī)葉輪結(jié)構(gòu)的振動局部化

王 帥， 訾艷陽， 何正嘉

(西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

針對離心壓縮機(jī)在復(fù)雜運(yùn)行工況下的失諧與裂紋問題，研究裂紋與失諧對葉輪結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)和振動局部化的影響規(guī)律。首先，采用三維有限元模型建立具有復(fù)雜幾何形狀的葉輪結(jié)構(gòu)的定量分析模型，并通過在裂紋界面上定義接觸的形式模擬裂紋的呼吸效應(yīng)。其次，通過采用混合界面模態(tài)綜合法對系統(tǒng)自由度進(jìn)行縮減，以解決了采用三維有限元模型分析非線性系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)時所存在的計算量大和收斂困難的問題。最終，采用Monte Carlo方法對含裂紋的失諧葉輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行統(tǒng)計分析，研究隨機(jī)失諧和裂紋故障對葉輪結(jié)構(gòu)振動局部化的影響規(guī)律。結(jié)果表明裂紋和失諧都會對結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)產(chǎn)生顯著的影響，并會導(dǎo)致振動能量的集中和振動局部化現(xiàn)象。

離心葉輪；振動局部化；裂紋；失諧；模態(tài)綜合法

離心壓縮機(jī)是一種廣泛應(yīng)用于石化、鋼鐵、電力等工業(yè)領(lǐng)域的重要設(shè)備，隨著設(shè)備向高速化和大型化的方向發(fā)展，葉輪的裂紋故障逐漸成為影響機(jī)組安全可靠運(yùn)行的重要因素。據(jù)統(tǒng)計，近幾年來國內(nèi)外各種大型流體機(jī)械因結(jié)構(gòu)疲勞損傷問題導(dǎo)致的事故占事故總數(shù)的70%～80%，其中以局部振動導(dǎo)致的疲勞破壞為主[1]。作為離心壓縮機(jī)的核心部件，葉輪結(jié)構(gòu)長期工作在高壓、重載、腐蝕等惡劣工況下，承受著復(fù)雜交變載荷的作用，是壓縮機(jī)中較易發(fā)生裂紋故障的部件[2]，葉輪裂紋故障是離心壓縮機(jī)最嚴(yán)重的故障之一。對于處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的壓縮機(jī)機(jī)組，葉片斷裂事故不僅會破壞機(jī)組，造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失，還嚴(yán)重威脅著現(xiàn)場工作人員的生命安全。

此外，由于制造誤差以及在運(yùn)行過程中的磨損、腐蝕等因素的影響，實(shí)際的葉輪不可避免地發(fā)生失諧現(xiàn)象[3]。失諧會導(dǎo)致振動能量集中在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域，發(fā)生振動局部化現(xiàn)象，經(jīng)過一段時間的運(yùn)行，會在葉輪的薄弱環(huán)節(jié)萌生高周疲勞裂紋。失諧是誘發(fā)葉輪以及葉盤類結(jié)構(gòu)高周疲勞裂紋的主要原因，而裂紋和失諧導(dǎo)致的振動能量局部化又會加速疲勞裂紋的擴(kuò)展。因此，研究裂紋和失諧對葉輪結(jié)構(gòu)振動局部化的影響將為葉輪的設(shè)計以及裂紋的診斷提供有益的指導(dǎo)。

當(dāng)前，國內(nèi)外關(guān)于裂紋和振動局部化問題的研究主要集中于軸流式壓縮機(jī)的葉盤結(jié)構(gòu)。SAITO 等[4]采用三維有限元模型和模態(tài)綜合法建立含裂紋葉盤結(jié)構(gòu)的自由度縮減模型，分析了裂紋對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響。 趙志彬等[5]采用了真實(shí)葉盤結(jié)構(gòu)的有限元模型研究了失諧敏感性與頻率轉(zhuǎn)向間的內(nèi)在關(guān)系。 JUNG 等[6]提出了一種基于結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型和振動響應(yīng)的葉片裂紋檢測方法。 王艾倫等[7]將葉盤簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，并引入周期變化的剛度系數(shù)來模擬裂紋的呼吸效應(yīng)，結(jié)果表明裂紋的呼吸效應(yīng)使得系統(tǒng)的振動響應(yīng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性特征。然而，由于離心葉輪結(jié)構(gòu)與葉盤結(jié)構(gòu)具有顯著的差異，上述的研究結(jié)論難以直接應(yīng)用于葉輪結(jié)構(gòu)。

國內(nèi)外關(guān)于離心葉輪結(jié)構(gòu)裂紋和失諧問題的研究還比較少。SINGH 等[8]采用三維有限元模型對葉輪諧振識別進(jìn)行了探討。趙問銀等對失諧葉輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)激振頻率接近于葉輪的頻率禁帶時，其進(jìn)口部位會出現(xiàn)幅度較大的振動。孟繼剛等[9]研究了具有沿流道非均勻分布的銨鹽結(jié)晶的失諧葉輪的動力學(xué)特性。然而，這些研究未涉及葉輪葉片的裂紋問題，而關(guān)于該問題的文獻(xiàn)多是通過理化檢驗(yàn)和斷口分析對裂紋進(jìn)行原因分析[10]。由于葉輪結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜的三維幾何形狀，很難在保證模型有效性的前提下對其進(jìn)行簡化，因此，需要采用結(jié)構(gòu)的三維有限元模型。然而，實(shí)際葉輪的三維有限元模型往往包含數(shù)十萬個自由度，直接求解其動力學(xué)方程異常耗時。其次，裂紋的呼吸效應(yīng)是一種非線性接觸問題，采用直接求解的方法模擬裂紋的呼吸效應(yīng)存在收斂困難的問題。因此，需要建立一種能夠準(zhǔn)確模擬裂紋和失諧效應(yīng)的葉輪結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型。

因此，本文提出了一種基于三維有限元模型的葉輪結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析方法，通過在裂紋界面上定義接觸的形式模擬裂紋的呼吸效應(yīng)。通過采用混合界面模態(tài)綜合法對系統(tǒng)自由度進(jìn)行極大縮減，解決了采用三維有限元模型分析非線性系統(tǒng)振動時存在的計算量大和收斂困難的問題。最終，通過采用Monte Carlo模擬方法研究結(jié)構(gòu)振動的統(tǒng)計規(guī)律。

1 含裂紋葉輪結(jié)構(gòu)的動力學(xué)建模

離心葉輪是由端蓋、葉片和輪盤焊接而成的復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)，如圖1所示。葉輪的裂紋位于進(jìn)氣端的大葉片與端蓋的焊縫處。在建模的過程中，將裂紋界面節(jié)點(diǎn)自由度作為邊界自由度并保留在系統(tǒng)的自由度縮減模型中。則，如圖1所示的含裂紋葉輪結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可表示為：

(1)

式中：M、C、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，是由有限元分析軟件ANSYS導(dǎo)出得到的；u(t)為節(jié)點(diǎn)自由度位移向量；f(u)為裂紋界面接觸力向量；b(t)為葉片上的載荷向量，且第n葉片的載荷bn(t)為：

bn(t)=Bncos(C×2πft-φn),n=1,2,…,N

(2)

式中：Bn為外載荷幅值向量；C為外載荷的激勵階次；N為葉輪的扇區(qū)總數(shù)；ω為外部激勵的角頻率；φn為扇區(qū)角，且φn=2πC(n-1)/N。

圖1 離心壓縮機(jī)葉輪結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.1 The finite element model of a centrifugal impeller

混合界面模態(tài)綜合法的思想是用較少的里茲基代替模型的自由度空間，里茲基包括系統(tǒng)的保留模態(tài)集Φk、自由界面附加模態(tài)Φa以及固定界面約束模態(tài)Φc。因此，系統(tǒng)的空間自由度u可以表示為廣義自由度，對應(yīng)的坐標(biāo)變換為：

(3)

式中：ui和ucrk分別為系統(tǒng)的內(nèi)部自由度和界面自由度；pk、pa分別為對應(yīng)于主模態(tài)Φk和附加模態(tài)Φa的廣義自由度；I為單位矩陣。ucrk包含了裂紋最大深度時所有的節(jié)點(diǎn)自由度，針對中間深度的裂紋葉輪，可以通過自由度調(diào)整的方法實(shí)現(xiàn)，具體的自由度變換可表示為：

(4)

將式以及式中的自由度變換代入式(1)中，縮減之后的裂紋葉輪結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可表示為：

(5)

圖2 裂紋界面接觸對模型Fig.2 The model of contact pair on the crack surface

(6)

由于裂紋呼吸效應(yīng)導(dǎo)致的非線性效應(yīng)，式變?yōu)榉蔷€性微分方程組。為求解該非線性方程，本文采用諧波平衡法，將系統(tǒng)的外載荷、裂紋界面接觸力以及穩(wěn)態(tài)時域響應(yīng)表示為傅里葉級數(shù)的形式，即：

(7)

式中：Qk、Bk和Fnl,k分別為第k階傅里葉級數(shù)的系數(shù)向量。將式(7)代入式(5)，可以將非線性微分方程組變?yōu)榉蔷€性代數(shù)方程組，即：

ΛQ=B+FcrkQ

(8)

式中：Λ為一以Λk為對角元素的矩陣，且：

(9)

Q、B和Fcrk(Q)分別為以各階傅里葉系數(shù)依次排列組成的系數(shù)向量。通過求解式(8)可以得到各階傅立葉級數(shù)的系數(shù)向量，進(jìn)而代入式(7)得到系統(tǒng)的時域響應(yīng)。

(10)

2 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出方法的準(zhǔn)確性，本節(jié)將由縮減模型得到的固有頻率和頻率響應(yīng)曲線與未縮減模型的結(jié)果進(jìn)行對比。針對圖1所示的葉輪結(jié)構(gòu)，采用二次四面體單元對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，該模型共有302 877個自由度。葉輪材料為合金鋼，密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=214 GPa，泊松比v=0.3。阻尼為Rayleigh阻尼C=βK，且β阻尼系數(shù)為1.00×10-7?？s減模型的自由度數(shù)為996，其中保留的端蓋、葉片和輪盤子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)數(shù)均為100，其余自由度為子結(jié)構(gòu)界面自由度。

圖3為完整模型和縮減模型在一階次載荷激勵下葉片上的激勵節(jié)點(diǎn)的頻率響應(yīng)曲線，由圖可知，縮減模型與完整模型的結(jié)果較好地相符，二者的相對誤差小于1%，諧振峰的略微偏移是由于縮減模型固有頻率的微小誤差導(dǎo)致的。因此，該方法可以實(shí)現(xiàn)在對系統(tǒng)自由度進(jìn)行了300多倍縮減的情況下，仍然能夠保證較高的計算精度。

圖3 一階次載荷激勵下的結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)Fig.3 The relative error of the first 20 natural frequencies

3 含裂紋失諧葉輪結(jié)構(gòu)的振動局部化

本節(jié)研究裂紋和失諧對葉輪結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)和振動局部化的影響。離心葉輪在運(yùn)行狀態(tài)下承受著復(fù)雜的氣流激勵，包含了非常豐富的諧波成分，如：轉(zhuǎn)頻及其倍頻成分以及葉片通過頻率及其倍頻成分。

圖4為由縮減模型計算得到的葉片通過頻率激勵下的含裂紋葉片的X向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。各葉片的失諧模式如表1所示，該失諧模式是由正態(tài)分布得到的一組隨機(jī)數(shù)，結(jié)構(gòu)上的裂紋深度為24 mm。由圖可知，在無裂紋情況下，葉片的時域響應(yīng)為一諧波。當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂紋時，由于非線性的裂紋呼吸效應(yīng)的影響，裂紋葉片的響應(yīng)出現(xiàn)三倍頻的幅值調(diào)制現(xiàn)象，且響應(yīng)幅值的變化非常顯著。此外，失諧因素也會導(dǎo)致葉片響應(yīng)幅值的明顯變化，圖中的結(jié)果顯示：失諧使得裂紋葉片的響應(yīng)幅值出現(xiàn)一定的下降，這是與失諧模式的選擇有關(guān)的，有些失諧模式會使得響應(yīng)幅值增加。

圖4 葉片通過頻率激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.4 The forced response of the cracked blade excited byforces of blade passing frequency

葉片δn/%葉片δn/%10.807-2.8221.098-1.893-2.509-2.5841.46101.4453.29113.266-2.41

圖5為葉片通過頻率激勵下各葉片的響應(yīng)幅值，其中菱形對應(yīng)的為含有24 mm裂紋協(xié)調(diào)葉輪葉片的響應(yīng)幅值，倒三角形對應(yīng)的為含有24 mm裂紋且具有如表1所示的失諧模式的葉片響應(yīng)幅值。由圖5可知，葉輪上含裂紋的葉片的響應(yīng)幅值明顯大于其它不含裂紋的葉片，即發(fā)生顯著的振動局部化現(xiàn)象，振動能量在裂紋葉片處的集中又會加快裂紋的擴(kuò)展。此外，失諧會導(dǎo)致葉片響應(yīng)幅值在原有基礎(chǔ)上的一定改變，改變的程度與失諧模式以及失諧水平相關(guān)。

圖5 葉片通過頻率激勵下的葉片響應(yīng)幅值Fig.5 The response amplitudes of each blade excited by forces of blade passing frequency

由于振動局部化會導(dǎo)致循環(huán)對稱類結(jié)構(gòu)發(fā)生高周疲勞失效，因而得到了國內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注。然而，實(shí)際葉輪的失諧模式往往具有隨機(jī)性。在設(shè)計的過程中，更為關(guān)心的是結(jié)構(gòu)在某一失諧水平下響應(yīng)的統(tǒng)計規(guī)律性，以盡量減小結(jié)構(gòu)中的振動局部化問題。因此，在縮減模型的基礎(chǔ)上，采用Monte Carlo方法對具有隨機(jī)失諧的葉輪結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計分析。為描述含裂紋失諧葉輪結(jié)構(gòu)的響應(yīng)的統(tǒng)計規(guī)律，定義無量綱的幅值放大因子為：

(11)

式中：Amis為含裂紋失諧葉輪葉片響應(yīng)幅值的最大值，為諧調(diào)葉輪葉片響應(yīng)幅值。

針對無裂紋、含16 mm裂紋、含32 mm裂紋以及含48 mm裂紋四種情況，分別采用20 000個隨機(jī)失諧模式對結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計分析，失諧參數(shù)服從均值為零標(biāo)準(zhǔn)差為0.02的正態(tài)分布，激勵頻率為葉片通過頻率。分析結(jié)果如圖6所示，其中圖6(a)、6(b)、6(c)和6(d)分別為無裂紋、16 mm、32 mm和48 mm裂紋葉輪結(jié)構(gòu)葉片幅值放大因子的分布規(guī)律。

對于協(xié)調(diào)葉輪結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到理想的階次激勵時，各扇區(qū)葉片在理論上具有完全一致的響應(yīng)幅值。裂紋和失諧都會造成各扇區(qū)葉片響應(yīng)幅值分布的變化，導(dǎo)致葉片偏離協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)的振動幅值。針對圖6(a)所示的無裂紋結(jié)構(gòu)，幅值放大因子主要分布在(1,1.1)的區(qū)間內(nèi)，且始終大于1。因此，由于失諧的存在，葉片的最大響應(yīng)幅值始終大于協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值，失諧使得振動能量在各扇區(qū)的分布不再均勻。

針對含圖6(b)的含16 mm裂紋的葉輪結(jié)構(gòu)，幅值放大因子的分布范圍為(1.2,1.5)，即當(dāng)結(jié)構(gòu)存在一個16 mm裂紋時，葉片的最大響應(yīng)幅值比無裂紋情況出現(xiàn)更明顯的增加。如圖6(c)和6(d)所示，當(dāng)結(jié)構(gòu)存在更大的裂紋時，幅值放大因子又會出現(xiàn)顯著的增大，含32 mm和48 mm裂紋的葉輪葉片的最大響應(yīng)幅值分別約為無裂紋情況的兩倍和三倍。而對于具有260 mm焊縫的葉輪結(jié)構(gòu)，32 mm和48 mm裂紋也僅相當(dāng)于焊縫總長度的12.3%和18.5%。因此，可以看出即使小的和中等的裂紋也會導(dǎo)致顯著的振動局部化問題。

(a) 無裂紋

(b) 16 mm裂紋

(c) 32 mm裂紋

(d) 48 mm裂紋圖6 葉片幅值放大因子的概率密度函數(shù)Fig.6 The probability density function of the amplitudeamplification factors

此外，隨著裂紋深度的增加，葉片響應(yīng)的幅值放大因子的分布范圍也出現(xiàn)明顯的增加。這是由于在無裂紋和小裂紋情況下，結(jié)構(gòu)的振動局部化現(xiàn)象還不是很嚴(yán)重，由于葉輪結(jié)構(gòu)的強(qiáng)結(jié)構(gòu)耦合特性，振動能量可以通過扇區(qū)間的結(jié)構(gòu)耦合傳遞到其它相鄰的扇區(qū)，因而具有較大失諧或含裂紋的葉片的響應(yīng)幅值不會出現(xiàn)異常的增加。而當(dāng)裂紋深度達(dá)到一定程度時，裂紋葉片會出現(xiàn)明顯的彎曲振動，裂紋葉片處的振動能量難以傳遞到其它扇區(qū)，結(jié)構(gòu)振動的局部化問題也較為嚴(yán)重，因此，裂紋處葉片的響應(yīng)更容易受到失諧因素的影響。由于葉輪結(jié)構(gòu)的獨(dú)特的強(qiáng)結(jié)構(gòu)耦合特性，離心葉輪在具有裂紋和失諧情況下的振動局部化現(xiàn)象不同于軸流壓縮機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)。

4 結(jié) 論

本文建立了一種基于三維有限元模型和混合界面模態(tài)綜合法的葉輪結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析方法，該方法通過定義接觸對的形式模擬裂紋的呼吸效應(yīng)并考慮了實(shí)際葉輪可能存在的隨機(jī)失諧因素，解決了采用三維有限元模型分析非線性系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)時存在的計算量大和收斂困難的問題，為對類似于離心葉輪結(jié)構(gòu)的復(fù)雜機(jī)械部件的非線性動力學(xué)分析提供了一種有效的途徑。分析結(jié)果表明：裂紋和失諧都會對結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生顯著的影響，并會導(dǎo)致振動能量的集中和振動局部化現(xiàn)象。通過對葉片響應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，隨著裂紋深度的增加，葉片響應(yīng)的幅值放大因子的分布范圍也出現(xiàn)明顯的增加。本文中裂紋和失諧對葉輪結(jié)構(gòu)振動局部化影響規(guī)律的研究將為葉輪的設(shè)計以及裂紋的診斷提供有益的指導(dǎo)。

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Vibration localization of cracked impellers of centrifugal compressors

WANG Shuai， ZI Yanyang， HE Zhengjia

(State Key Laboratory for Manufacturing and Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049，China)

With regard to the mistuning and crack problems of centrifugal impellers operating under complex conditions, the effects of crack and mistuning on the forced response and vibration localization of centrifugal impellers were investigated. 3D finite element models of impellers were established for the dynamic analysis of complex impellers. Several contact pairs were defined on the crack surfaces to simulate the nonlinear crack breathing effects. Then, the hybrid interface component mode synthesis method was employed to reduce the number of degrees of freedom of the system. The method can reply the chanllenges of huge computation requirment and convergence in the dynamic response computation of nonlinear system by using directly 3D finite element models. The Monte Carlo method was employed to statistically study the effects of random mistuning and crack fault on the vibration localization of impellers. The results show that both the crack and mistuning will significantly affect the dynamic response of impellers and will lead to the localization of energy on certain blades.

centrifugal impeller; vibration localization; crack; mistuning; component mode synthesis method

國家自然科學(xué)基金(51275384)

2015-11-20 修改稿收到日期： 2016-02-17

王帥 男，博士生，1989年9月生

訾艷陽 男，教授，1971年9月生

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TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.016