鄧 昊， 程 偉

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

沿軸向指數(shù)分布的功能梯度Timoshenko梁的頻率精確解

鄧 昊， 程 偉

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

通過對(duì)狀態(tài)空間變量進(jìn)行變量替換，求得了沿軸向指數(shù)分布的功能梯度Timoshenko梁的狀態(tài)空間傳遞矩陣方程。通過傳遞矩陣法計(jì)算了多種邊界條件下結(jié)構(gòu)固有頻率的精確解，并與解析解進(jìn)行對(duì)比。通過分析梯度參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率與模態(tài)振型的影響，該計(jì)算結(jié)果表明頻率與材料梯度變量之間的關(guān)系曲線是連續(xù)光滑的，并未出現(xiàn)部分文獻(xiàn)中的跳躍現(xiàn)象，并且采用有限元法該計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。通過對(duì)比不同梁理論的計(jì)算結(jié)果，定量的分析了剪切剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。計(jì)算結(jié)果表明，該方法物理概念清晰，降低問題求解難度的同時(shí)可以減少計(jì)算量。

狀態(tài)空間變量；傳遞矩陣法；固有頻率；功能梯度材料；指數(shù)梯度

工程中存在著大量的多相材料，為了使材料的性質(zhì)從一相過渡到另一相，通常在兩相材料之間使用沿軸向變化的功能梯度材料。使用功能梯度材料的優(yōu)點(diǎn)是兩相材料之間不存在明顯的交界面，因而避免了材料受熱或冷卻時(shí)出現(xiàn)的應(yīng)力集中現(xiàn)象。功能梯度材料通常分為兩種，一種是材料性質(zhì)沿厚度方向變化，另一種是材料性質(zhì)沿軸線方向變化。已有大量的研究[1-6]關(guān)于沿厚度方向變化的材料。對(duì)于沿軸線方向變化的材料，ELISHAKOFF[7]通過半逆解法給出了了歐拉伯努利梁的頻率精確解。ECE等[8-9]分析了沿軸向指數(shù)變化的彎曲剛度，材料密度和寬度的歐拉梁在不同邊界條件下的解析解。WANG等[10-11]計(jì)算了軸向?qū)挾戎笖?shù)變化且?guī)в懈郊淤|(zhì)量的歐拉伯努利梁的共振頻率。RAJASEKARAN[12]運(yùn)用微分變換的方法分析了軸向變截面功能梯度梁的動(dòng)力學(xué)特性。ESMAILZADEH等[13]運(yùn)用Frobenius級(jí)數(shù)方法分析了受軸向載荷Timoshenko梁的振動(dòng)特性與穩(wěn)定性，HUANG等[14]運(yùn)用一種新的方法計(jì)算了變截面Timoshenko梁的固有頻率。以上計(jì)算結(jié)構(gòu)固有頻率的方法均屬于數(shù)值方法或近似的解析方法。近年來，LI等[15-16]通過解析的方法得到了材料沿軸向指數(shù)分布的Timoshenko梁的振動(dòng)頻率精確解。但文中的計(jì)算結(jié)果存在一些問題，為了說明上述問題，本文作者采用傳遞矩陣法得到了頻率的精確方程，通過有限元驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性。

1 理論推導(dǎo)

1.1 基本方程

考慮材料沿軸向梯度變化的Timoshenko梁，梁的長(zhǎng)度為，梁的截面慣性矩為，面積為，材料的彈性模量，剪切模量，密度沿梁的軸線方向服從指數(shù)的變化規(guī)律，為了簡(jiǎn)化模型，令

(1)

式中：β為無量綱的梯度系數(shù)，x是沿軸向的坐標(biāo)。其中材料的剪切系數(shù)為K，由式(1)可知，當(dāng)β=0時(shí)，梁為均勻材料。由Timoshenko梁理論，可以得到梁的振動(dòng)微分方程為：

(2)

(3)

式中：ω，φ為梁截面的橫向變形與轉(zhuǎn)角。橫截面彎曲力矩M和剪力Q為

(4)

1.2 傳遞矩陣法

直接由式(2)～式(4)無法得到傳遞矩陣為常數(shù)的狀態(tài)方程，因此對(duì)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)變量進(jìn)行替換，令

(5)

因此

(6)

(7)

由式(6)和(7)可以得到

(8)

(9)

定義函數(shù)f(t)的傅里葉變換為

(10)

因此函數(shù)的傅里葉逆變換為

(11)

對(duì)式(2)～式(4)式兩端同時(shí)對(duì)時(shí)間進(jìn)行傅里葉變換，并將式(8)，(9)代入式(2)～式(4)中并化簡(jiǎn)可以得到關(guān)于的狀態(tài)空間方程：

(12)

式中ω為圓頻率。式(12)可以寫成如下形式

(13)

式中X為狀態(tài)向量，A為傳遞矩陣。由式(13)可以得到

X=eAx·X0

(14)

式中X0為結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)向量。其中

(15)

對(duì)于固支邊界條件，簡(jiǎn)支邊界條件和自由邊界條件依次有

w=0,φ=0

(16)

w=0,M=0

(17)

Q=0,M=0

(18)

根據(jù)式(5)可以得到

W=0,ψ=0

(19)

W=0，M=0

(20)

Q=0，M=0

(21)

長(zhǎng)度為L(zhǎng)的材料性質(zhì)沿軸向指數(shù)變化的功能梯度Timoshenko梁的傳遞矩陣為

T=eAL

(22)

式中T為4×4矩陣。且傳遞矩陣T滿足：

(23)

式中()l表示梁左端，()r表示梁的右端。

兩端簡(jiǎn)支邊界條件：

Wl=Wr=Ml=Mr=0

(24)

兩端固支邊界條件：

Wl=Wr=ψl=ψr=0

(25)

兩端自由邊界條件：

Ml=Mr=Ql=Qr=0

(26)

式中()l表示梁左端，()r表示梁的右端。由式(23)和(24)可以得到兩端簡(jiǎn)支的頻率方程：

(27)

式中Tij為矩陣T中的元素。兩端固支邊界條件：

(28)

兩端自由邊界條件：

(29)

其余邊界條件可以類似得到。可以運(yùn)用Newton-Raphson對(duì)頻率方程進(jìn)行求解。

1.3 解析方法

考慮鐵木辛柯梁作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，令

w(x,t)=W(x)sin(ωt),φ(x,t)=ψ(x)sin(ωt)

(30)

式中W(x)為振動(dòng)的幅值，ω為振動(dòng)的圓頻率，將式(30)代入式(2)和(3)可以得到

(31)

彎矩M和剪力Q可以表示為

(32)

式中

(33)

令

U(ξ)=Ceλξ,ψ(ξ)=Heλξ

(34)

式中,C,H,λ為待定的常數(shù)，將式(34)代入式(31)可以得到關(guān)于λ的四次方程

λ4+2βλ3+[β2+(r2+s2)Ω2]λ2+β(r2+s2)Ω2λ+(r2s2Ω2-1)Ω2=0

(35)

求解上述方程可以得到關(guān)于λ的四個(gè)根，將λ的四個(gè)根代入式(34)可以得到模態(tài)振型的解析表達(dá)式，由邊界條件，可以確定出結(jié)構(gòu)的固有頻率與振型。由于推導(dǎo)過程較為繁瑣，具體過程可以參見文獻(xiàn)[16]。當(dāng)固有頻率在不同頻段內(nèi)時(shí)，頻率方程與振型表達(dá)式形式并不相同。由于解析方法過于復(fù)雜，且不同頻段內(nèi)的固有頻率表達(dá)式并不相同，因此不便于實(shí)際中的應(yīng)用。

1.4 數(shù)值方法

ATTARNEJAD等[17]通過有限元法建立了功能梯度Timoshenko梁的形狀函數(shù)，從而得到了結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)剛度矩陣，由此可以數(shù)值求解結(jié)構(gòu)的固有頻率。將材料的性質(zhì)用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行展開

(36)

其中ξ為無量綱的坐標(biāo)

(37)

根據(jù)式(2)和(3)，可以取

(38)

式中wi,φi為系數(shù)。將式(38)代入式(2)和(3)化簡(jiǎn)后可以得到關(guān)于wi,φi的遞推公式。

θi+2=Fθ(θi+1,θi,…θ0)，wi+2=Fw(wi+1,wi,…w0)

(39)

由此可以得到

(40)

w0,φ0,w1,φ1為常數(shù)且可以由邊界條件得到。由有限元理論可知單元位移函數(shù)可以表示為

w(x)=ψΔ,φ=φΔΔ=[wi,φi,wj,φj]T,ψ=[ψψψψ]φ=[φ1φ2φ3φ4]

(41)

式中wi,ωi為節(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)，φ,ψ為形函數(shù)矩陣。由最小總勢(shì)能原理有

(42)

單元的一致質(zhì)量矩陣為

(43)

由單元?jiǎng)偠染仃嚳梢缘玫娇傮w剛度矩陣，因此結(jié)構(gòu)的頻率與模態(tài)可以通過式(42)求得

Kx=ω2Mx

(44)

式中ω為圓頻率，x為振型向量。

2 算例

由表1～表3可知本文所提出的方法的計(jì)算精度與解析解相當(dāng)，且對(duì)于不同的邊界條件均適用，計(jì)算效率高。圖1和圖2為梁兩端為固支或自由邊界條件下頻率參數(shù)α與β梯度參數(shù)的關(guān)系，由于邊界條件的對(duì)稱性，因此曲線也存在對(duì)稱性，且由圖象可知當(dāng)β=0時(shí)梁的各階頻率均達(dá)到最小值。

表1 不同邊界條件無量綱α的計(jì)算結(jié)果Tab. 1 Calculation results of dimensionless α under different boundary conditions

表 2 不同邊界條件無量綱α的計(jì)算結(jié)果Tab. 2 Calculation results of dimensionless α under different boundary conditions

表3 不同邊界條件無量綱α的計(jì)算結(jié)果Tab. 3 Calculation results of dimensionless α under different boundary conditions

圖1 兩端固支邊界條件下β對(duì)頻率參數(shù)α的影響表Fig.1 EFfects of β on the natural frequency parameter α for clamped-clamped beams

圖2 兩端自由邊界條件下β對(duì)頻率參數(shù)α的影響Fig.2 Effects of β on the natural frequency parameter α for free-free beams

圖3為左端固支右端自由邊界條件下β對(duì)頻率參數(shù)α的影響，由圖3可知隨著β的增加梁的各階頻率依次單調(diào)遞減。梁的二階頻率與梯度參數(shù)β的關(guān)系近似線性。圖4為兩端簡(jiǎn)支條件下β對(duì)頻率參數(shù)的影響，由于邊界條件的對(duì)稱性，圖4也存在對(duì)稱性，且注意到一階頻率隨著β的增加而反向遞減，但二階以上頻率隨著的增加而遞增。圖5為左端固支右端簡(jiǎn)支邊界條件下β對(duì)頻率參數(shù)α的影響，結(jié)構(gòu)的一階頻率呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)，二階以上頻率隨著β的增加呈現(xiàn)先減后增的變化趨勢(shì)。圖6和圖7表示梯度β對(duì)一階頻率參數(shù)的影響，瑞利梁理論忽略梁的剪切剛度，即認(rèn)為梁的剪切剛度無窮大。剪切梁理論忽略了梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響。而歐拉梁理論同時(shí)忽略了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切剛度對(duì)頻率的影響，不同梁理論的計(jì)算結(jié)果如圖所示。由圖6～圖9可知剪切梁的計(jì)算結(jié)果最接近Timoshenko梁的計(jì)算結(jié)果，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)梁的固有頻率影響較小，而瑞利梁的計(jì)算結(jié)果誤差較大，說明剪切剛度對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響較大。有限元法的計(jì)算結(jié)果如圖中黑線所示，有限元法的計(jì)算精度接近剪切梁的計(jì)算精度。由圖可知隨著β的變化無量綱的頻率參數(shù)α為連續(xù)變化的函數(shù)，并未出現(xiàn)文獻(xiàn)[16]中的不連續(xù)跳躍現(xiàn)象。

圖3 固支-自由邊界條件下β對(duì)頻率參數(shù)α的影響Fig.3 Effects of β on the natural frequency parameter α for clamped-free beams

圖4 兩端簡(jiǎn)支邊界條件下β對(duì)頻率參數(shù)α的影響Fig.4 Effects of β on the natural frequency parameter α for pinned-pinned beams

圖5 固支-簡(jiǎn)支條件下β對(duì)頻率參數(shù)α的影響Fig.5 Effects of β on the natural frequency parameter α for clamped-pinned beams

圖6 基于不同的梁理論的參數(shù)α對(duì)兩端簡(jiǎn)支梁的一階頻率參數(shù)β影響的比較Fig.6 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for pinned-pinned beams using different beam theories

圖7 比較基于不同的梁理論的參數(shù)α對(duì)兩端固支梁的一階頻率參數(shù)β的影響Fig.7 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for clamped-clamped beams using different beam theories.

圖8 比較基于不同的梁理論的參數(shù)α對(duì)固支-自由梁的一階頻率參數(shù)β的影響Fig.8 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for clamped-free beams using different beam theories

圖9 比較基于不同的梁理論的參數(shù)α對(duì)固支-簡(jiǎn)支梁的一階頻率參數(shù)β的影響Fig.9 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for clamped-pinned beams using different beam theories

圖10～圖12為梯度參數(shù)β對(duì)梁的模態(tài)振型的影響，由圖中可以看出材料的梯度對(duì)結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)影響顯著，而對(duì)結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)影響相對(duì)較小。對(duì)于簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件，材料均勻的Timoshenko梁模態(tài)振型關(guān)于結(jié)構(gòu)中線對(duì)稱，而對(duì)于梯度β非零的功能梯度Timoshenko梁，模態(tài)振型不存在對(duì)稱，當(dāng)梯度β為正數(shù)時(shí)，β對(duì)梁結(jié)構(gòu)的右側(cè)模態(tài)影響顯著，而當(dāng)β為負(fù)數(shù)時(shí)，參數(shù)β對(duì)梁結(jié)構(gòu)的左側(cè)模態(tài)影響顯著，圖13為梁結(jié)構(gòu)左右兩端簡(jiǎn)支時(shí)材料梯度參數(shù)β對(duì)振型相關(guān)系數(shù)MAC的影響。定義振型相關(guān)系數(shù)：

(45)

圖10 固支-自由邊界條件下梯度參數(shù)β對(duì)梁的模態(tài)振型影響Fig.10 Effects of β on the mode shapes for clamped-free beams

圖11 自由-自由邊界條件下梯度參數(shù)β對(duì)梁的模態(tài)振型影響Fig.11 Effects of β on the mode shapes for free-free beams

圖12 簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下梯度參數(shù)β對(duì)梁的模態(tài)振型影響Fig.12 Effects of β on the mode shapes for pinned-pinned beams

圖13中的MAC為不同參數(shù)β的模態(tài)振型與時(shí)模態(tài)振型的振型相關(guān)系數(shù)。由圖13可知梯度參數(shù)β對(duì)一階模態(tài)振型的影響較小，當(dāng)時(shí)，振型相關(guān)系數(shù)仍然接近0.95，而對(duì)于二階以上的振型，β的影響相對(duì)較大，當(dāng)β=6時(shí)振型相關(guān)系數(shù)已經(jīng)接近0.6，相關(guān)程度低。且由圖像可知，二階以上模態(tài)的變化曲線相似程度高，即參數(shù)β對(duì)于二階以上頻率的影響程度接近。

圖13 簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下梯度參數(shù)β對(duì)梁的振型相關(guān)系數(shù)MAC影響Fig.13 Effects of β on the mode shape correlation coefficient MAC for pinned-pinned beams

3 結(jié) 論

本文通過變量替換得到了一組新的狀態(tài)空間變量，通過傳遞矩陣法求解結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)振型。

(1) 本文所使用的傳遞矩陣法物理概念清晰，通過狀態(tài)空間變量的替換，不但降低了問題的求解難度，而且減少了計(jì)算量。本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的解析解精度相當(dāng)，且計(jì)算效率高。

(2) 本文全面分析梯度變量β對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，研究了不同邊界條件下隨著參數(shù)的變化結(jié)構(gòu)各階頻率的變化趨勢(shì)，狀態(tài)空間變量傳遞矩陣法和有限元法的計(jì)算結(jié)果均表明頻率曲線是連續(xù)光滑的曲線，并未出現(xiàn)跳躍突變現(xiàn)象。

(3)本文進(jìn)一步分析了參數(shù)β對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的影響，通過振型相關(guān)系數(shù)MAC與參數(shù)β之間的曲線關(guān)系，得出參數(shù)對(duì)一階振型的影響較小，而對(duì)二階以上振型影響較大的結(jié)論。

(4)本文通過對(duì)比不同梁理論的計(jì)算結(jié)果表明：對(duì)于深梁，剪切剛度對(duì)于結(jié)構(gòu)的固有頻率影響較大，而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于結(jié)構(gòu)固有頻率的影響較小。忽略梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量仍然可以得到較高的計(jì)算精度。

(5)通過分析參數(shù)對(duì)不同模態(tài)參數(shù)β的影響，可以通過對(duì)梯度參數(shù)β進(jìn)行優(yōu)化而實(shí)現(xiàn)某一特定要求的功能梯度材料。

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Exact solution of the free vibration of exponentially non-uniform functionlly graded Timoshenko beams

(DENG HAO, CHENG WEI)

(School of Aeronautic Science and Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191,China)

Based on the state space variable replacement, the transfer matrix equation of a Timoshenko beam with axially exponential distributed functional gradation was derived. The exact solution of natural frequencies of the structure with multiple boundary conditions was obtained by the transfer matrix method and compared with the available analytical solution. The results show that the relation curve between the frequency and the gradient of the material is continuous and smooth, and there is no jumping phenomenon. Meanwhile the finite element method was used to verify the results. The effects of shear stiffness and moment of inertia on the natural frequencies of the structure were analyzed by comparing the results according to different beam theories. The calculation results show that the method presented is clear in physical concept and can reduce the computational complexity and the amount of computation.

state space variable; transfer matrix method; natural frequency; functionally graded materials; exponential gradient

2015-08-11 修改稿收到日期： 2016-01-15

鄧昊 男，碩士生，1991年10月生

程偉 男，博士后，教授，1961年4月生

TV312

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.013