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        淺析輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

        2017-04-10 21:10:05吳秀才程慧燕蔣文麗
        課程教育研究·新教師教學 2016年16期
        關(guān)鍵詞:構(gòu)造方法證明

        吳秀才++程慧燕++蔣文麗

        摘要:微分中值定理是高等數(shù)學的一個重要內(nèi)容,它是架起函數(shù)與導數(shù)的一座橋梁,在很多方面都有應(yīng)用,其中證明區(qū)間中值點的存在性是非常重要的應(yīng)用,也是歷年考研經(jīng)常出現(xiàn)的題型之一.這類題需要用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法,本文通過對例題的分析,總結(jié)出常見的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.

        關(guān)鍵詞:微分中值定理;證明;輔助函數(shù);構(gòu)造方法

        G634

        引言

        輔助函數(shù)構(gòu)造法是數(shù)學證明中廣泛使用的一種很有用的方法,輔助函數(shù)是依據(jù)數(shù)學問題的題設(shè)及相關(guān)信息而構(gòu)造的函數(shù),它能將比較抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為比較容易解決的輔助函數(shù)問題,構(gòu)造輔助函數(shù)是一種創(chuàng)造性的思維過程,具有很大的靈活性,下面結(jié)合例題總結(jié)幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.

        一、構(gòu)造輔助函數(shù)的方法

        利用微分中值定理證明中值點存在性問題時,關(guān)鍵是根據(jù)待證結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征來構(gòu)造輔助函數(shù),構(gòu)造輔助函數(shù)最基本的思想就是尋求原函數(shù),而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論結(jié)構(gòu)的不同而不同.

        1. 常數(shù)觀察法

        這種方法是根據(jù)要證結(jié)論的常數(shù)部分揣測輔助函數(shù),適用于常數(shù)規(guī)律性強的題目.

        例1 函數(shù) 在 上連續(xù),在 內(nèi)可導,證明:在 內(nèi)至少存在一點 ,使得 .

        分析:觀察右端常數(shù)部分是函數(shù) 在區(qū)間 兩端點函數(shù)值的差與區(qū)間長度 之商,聯(lián)想到對函數(shù) 使用拉格朗日中值定理.另外本題也可從左側(cè)表達式尋找原函數(shù).

        參考文獻:

        [1]拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)作法的推廣及應(yīng)用.郭芳萍.山西財經(jīng)大學學報[J].2006.4.

        [2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學第七版[M].高等教育出版社.2014.7.

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