陳慧

（南京市燕子磯中學(xué)，江蘇南京210000）

“兩角和與差的余弦”的教學(xué)案例與反思

陳慧

（南京市燕子磯中學(xué)，江蘇南京210000）

本節(jié)課是向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，在講述過(guò)程中要體現(xiàn)化歸思想以及數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)向量以及三角函數(shù)的定義得到兩角和與差的余弦公式，并對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行小結(jié)。教師設(shè)置問(wèn)題情境，類比特殊情況，繼續(xù)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，利用已知結(jié)論，鞏固延伸，拓展應(yīng)用。設(shè)置的問(wèn)題要具有啟發(fā)性、層次性、激勵(lì)性、體驗(yàn)性，要給學(xué)生充足的時(shí)間，教師要學(xué)會(huì)傾聽(tīng)，允許不同的聲音存在，營(yíng)造一個(gè)民主寬松的課堂氛圍。

三角函數(shù)；向量應(yīng)用；問(wèn)題情境

一、案例背景

一堂好課即一堂學(xué)生學(xué)得好的課。好的課堂教學(xué)不是結(jié)果的教學(xué)，而是動(dòng)態(tài)的思維活動(dòng)的教學(xué)。教師可以設(shè)置一些好的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑、探究，實(shí)施“問(wèn)題引導(dǎo)探究”，在探究過(guò)程中，讓學(xué)生動(dòng)手操作，生成智慧，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

“兩角和與差的余弦”這節(jié)課是蘇教版《必修4》第三章“三角恒等變換”3.1“兩角和與差的三角關(guān)系”中的第一節(jié)內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)過(guò)第一章“三角函數(shù)”和第二章“平面向量”后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，可以借助三角知識(shí)，利用平面向量這個(gè)工具，加以研究。因?yàn)楹颓懊鎯烧露加芯o密的聯(lián)系，需要用到前面兩章的知識(shí)，所以這節(jié)內(nèi)容的難度大，探究性強(qiáng)，所滲透的數(shù)學(xué)思想方法較多。并且這節(jié)課為后面學(xué)習(xí)“兩角和與差的正弦、正切”打下基礎(chǔ)。

二、案例描述

（一）設(shè)置問(wèn)題情境，實(shí)際背景中感知兩角差的余弦公式形式特征

情境引入：

教師：同學(xué)們，翻到課本P90第22題，解決這個(gè)問(wèn)題。用向量數(shù)量積的兩種形式求a·b，可以得到什么結(jié)論？

學(xué)生：cosθ=cos75°cos15°+cos75°cos15°

教師：向量a，b的夾角是多少呢？（學(xué)生思考）

教師：如果要求兩個(gè)向量的夾角，這兩個(gè)向量要共起點(diǎn)，不妨設(shè)起點(diǎn)為O，設(shè)a=，b=，那么點(diǎn)P，Q在哪里呢？

學(xué)生：75°,15°角與單位圓的交點(diǎn)，夾角為60°。

（學(xué)生回答過(guò)程中，在黑板上畫(huà)出直角坐標(biāo)系和單位圓）

教師：可以得到什么結(jié)論？

學(xué)生：cos（75°-15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°

教師：如果這個(gè)結(jié)論可以推廣到一般的形式，那么一般形式是什么呢？

學(xué)生：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

教師：那這就是我們這一節(jié)的任務(wù)：驗(yàn)證這個(gè)式子是否成立。

（板書(shū)：3.1.1兩角和與差的余弦）

（二）類比特殊情況，繼續(xù)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，探究?jī)山遣畹挠嘞夜?/p>

教師：能不能借助剛才的研究方法來(lái)研究任意角α，β呢？

（學(xué)生自主探究。在探究的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生分兩種情況來(lái)研究：①若α∈[0，2π），β∈[0，2π），不妨設(shè)α＞β；②若α，β是任意角，則存在α0，β0∈[0，2π），使得α=α0+2k1π，β=β0+2k2π，其中k1，k2∈Z）

教師：任意的兩個(gè)角你覺(jué)得在什么范圍內(nèi)可以方便地在單位圓內(nèi)顯示出兩角的大小關(guān)系呢？

學(xué)生：[0，2π）。

教師：回答得很好。那么兩個(gè)角的大小對(duì)他們差的余弦值有沒(méi)有影響？

學(xué)生：沒(méi)有，因?yàn)閏os（α-β）=cos（β-α）。

教師：非常好，試一試能否類比剛才15°,75°角的方法得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

（學(xué)生嘗試得出結(jié)論）

教師：但是角α，β是任意角，如何把剛才的結(jié)論推廣到任意角的范圍呢？

學(xué)生：若α，β是任意角，則存在α0，β0∈[0，2π），使得α=α0+2k1π，β=β0+2k2π，其中k1，k2∈Z，cos（α-β）=cos（α0-β0）最終得出結(jié)論：對(duì)任意角α，β，有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立。

（三）利用已知結(jié)論，探究?jī)山呛偷挠嘞夜?/p>

教師：能否利用剛才推出的兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式呢？

（學(xué)生思考，探究推導(dǎo)）

學(xué)生：cos（α+β）=cos[α-（-β）]

（四）鞏固延伸，拓展應(yīng)用

例1：利用兩角和（差）的余弦公式，求

（1）cos15°

目的：正用公式，解決前面不能解決的問(wèn)題。

例2：化簡(jiǎn)

（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°

（2）sin25°cos115°-sin65°sin115°

目的：逆用公式，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的靈活性。

三、案例反思

（一）設(shè)置的問(wèn)題要具有啟發(fā)性、層次性、激勵(lì)性、體驗(yàn)性

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟?！庇行У膯?wèn)題設(shè)置至少要符合四個(gè)基本特征：一要有啟發(fā)性，設(shè)置的問(wèn)題要能夠啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴，讓他們積極去尋找解決辦法或答案。二要有層次性，問(wèn)題的設(shè)置要由易到難，引導(dǎo)學(xué)生一步步走向目標(biāo)，達(dá)到一節(jié)課的目的。三要有激勵(lì)性，設(shè)置的問(wèn)題要能夠激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，調(diào)動(dòng)他們的思維，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。四要有體驗(yàn)性，問(wèn)題的設(shè)置應(yīng)該顧及全班不同層次的學(xué)生，讓每一位學(xué)生都能參與到學(xué)習(xí)中，體驗(yàn)知識(shí)形成的過(guò)程。

但是，本節(jié)課雖然經(jīng)過(guò)精心的準(zhǔn)備，還是有瑕疵，需要提醒各位同仁注意。比如，在最開(kāi)始引入的時(shí)候，因?yàn)楹颓懊嫒呛瘮?shù)知識(shí)相距較遠(yuǎn)，學(xué)生一時(shí)反應(yīng)不過(guò)來(lái)，對(duì)點(diǎn)P，Q應(yīng)該在單位圓上什么地方有些不清楚，這是課前預(yù)習(xí)工作沒(méi)有做好。應(yīng)該先提前復(fù)習(xí)一下三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，或者提前用幾個(gè)問(wèn)題慢慢引導(dǎo)。

（二）給學(xué)生合適的時(shí)間

課堂的主體是學(xué)生。教師給出的每一個(gè)問(wèn)題，都需要給學(xué)生一段時(shí)間思考，甚至要給學(xué)生小組交流合作討論的時(shí)間，這樣他們才不會(huì)感覺(jué)到知識(shí)產(chǎn)生得突兀和生硬。在這個(gè)過(guò)程中，教師的作用是引導(dǎo)，引導(dǎo)他們探究出正確結(jié)果。學(xué)生有了自己的思考，又有教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥，思維才會(huì)更加活躍，產(chǎn)生智慧的火花。所以，教師要杜絕害怕“冷場(chǎng)”的心理，尤其是公開(kāi)課的時(shí)候更是要敢于給學(xué)生冷靜的思考時(shí)間。

（三）允許不同的聲音存在

世界上沒(méi)有哪兩片葉子是完全一樣的，學(xué)生也是如此。不可能每個(gè)人都按照教師的預(yù)定安排思考，在上課的過(guò)程中肯定會(huì)對(duì)同一個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生不同的答案，有些是教師希望得到的答案，但有些是偏離了“軌道”的答案，這個(gè)時(shí)候我們應(yīng)該耐心傾聽(tīng)學(xué)生的想法。因?yàn)椴煌季S方法和觀點(diǎn)的激勵(lì)碰撞才是課堂教學(xué)的精髓所在，這個(gè)過(guò)程也是師生互相了解、互相學(xué)習(xí)的過(guò)程。不能把課堂教學(xué)的目的定位為得到正確答案，這是最狹隘的教育。教師傾聽(tīng)完學(xué)生的想法后要做一些適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)，一方面可以糾正學(xué)生思考中存在的問(wèn)題，另一方面可以鼓勵(lì)學(xué)生積極思考。教師要鼓勵(lì)學(xué)生這種樂(lè)于表達(dá)的做法，讓更多的學(xué)生向他們學(xué)習(xí)，主動(dòng)思考，積極探索。

（四）營(yíng)造一個(gè)民主寬松的課堂氛圍

學(xué)生雖然是坐在講臺(tái)下面聽(tīng)教師講課，但是要把他們的地位和教師等同。因?yàn)樗麄円彩亲鳛楠?dú)立的個(gè)體存在，每一個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的思維方式。這就需要在課堂教學(xué)中，做到師生融洽、感情交流，充分尊重學(xué)生人格，關(guān)心學(xué)生的發(fā)展，營(yíng)造一個(gè)民主、平等、和諧的氛圍，及時(shí)恰當(dāng)?shù)丶?lì)學(xué)生，使學(xué)生在認(rèn)知和情意兩個(gè)領(lǐng)域有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

責(zé)任編輯范 李杰杰

陳慧（1972—），女，江蘇句容人，南京市燕子磯中學(xué)，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。