秦 棟，陳慧艷

(大唐環(huán)境產(chǎn)業(yè)集團(tuán)股份有限公司大唐(北京)水務(wù)工程技術(shù)有限公司，北京 100097)

空間自回歸模型在水庫(kù)邊坡位移預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

秦 棟，陳慧艷

(大唐環(huán)境產(chǎn)業(yè)集團(tuán)股份有限公司大唐(北京)水務(wù)工程技術(shù)有限公司，北京 100097)

針對(duì)傳統(tǒng)位移監(jiān)測(cè)很少考慮不同測(cè)點(diǎn)之間相互作用的問(wèn)題，基于經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域空間計(jì)量學(xué)基本理論，研究了空間自回歸模型在邊坡位移預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。以某工程高邊坡外觀位移數(shù)據(jù)為例，對(duì)邊坡的位移狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與傳統(tǒng)的自回歸積分滑動(dòng)平均模型相比較。結(jié)果表明：(a)在空間自相關(guān)系數(shù)較為顯著的條件下，運(yùn)用空間自回歸模型可以較為精確地預(yù)測(cè)邊坡變形狀況，且優(yōu)于傳統(tǒng)模型；(b)空間自回歸模型相較于傳統(tǒng)模型參數(shù)更加簡(jiǎn)潔、考慮的影響因素更全面，可以同時(shí)對(duì)空間所有測(cè)點(diǎn)位移進(jìn)行估計(jì)。

空間計(jì)量學(xué)；空間自回歸模型；水庫(kù)邊坡；邊坡位移預(yù)測(cè)；自回歸積分滑動(dòng)平均模型

水庫(kù)邊坡安全關(guān)系到水利工程的根本安全，如果邊坡出現(xiàn)滑坡，后果不堪設(shè)想。歷史上有很多水庫(kù)邊坡滑坡災(zāi)害的實(shí)例，滑坡也因此被稱為世界三大自然災(zāi)害之一。針對(duì)邊坡的安全監(jiān)測(cè)，一般主要進(jìn)行外部的變形監(jiān)測(cè)、內(nèi)部的多點(diǎn)位移計(jì)變形監(jiān)測(cè)、應(yīng)力計(jì)應(yīng)力監(jiān)測(cè)等[1-5]。因?yàn)閮?nèi)觀儀器很容易損壞，因此最為可靠和穩(wěn)定的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為外觀變形數(shù)據(jù)。外觀變形數(shù)據(jù)是了解邊坡變形狀態(tài)的重要參考和依據(jù)。

為了研究外觀變形數(shù)據(jù)和邊坡安全狀態(tài)的關(guān)系，有很多算法被用于邊坡變形的預(yù)測(cè)，以此判斷邊坡的安全變化趨勢(shì)[6-9]。根據(jù)Tobler提出的著名的“地理學(xué)第一定律”：萬(wàn)事萬(wàn)物之間存在廣泛的關(guān)聯(lián)性，并且相近的事物之間關(guān)系更緊密。邊坡作為一個(gè)整體，不同區(qū)域的變形有可能存在很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，但傳統(tǒng)的變形預(yù)測(cè)很少考慮多測(cè)點(diǎn)變形值之間的相互關(guān)系?？臻g自回歸模型是空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的模型之一，主要用來(lái)分析空間不同區(qū)域參數(shù)值之間的關(guān)聯(lián)性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)值的分析和預(yù)測(cè)[10-15]。邊坡的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)也有變形值、測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)、時(shí)間段等多個(gè)維度，本質(zhì)上可以被看作一種面板數(shù)據(jù)。本文基于空間計(jì)量學(xué)基本理論，探討這種空間自回歸模型在邊坡變形面板數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用的可行性，并和傳統(tǒng)的單測(cè)點(diǎn)模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行比較。

1 空間自回歸模型

1.1 空間權(quán)重矩陣

為了衡量不同測(cè)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，有人提出了空間權(quán)重矩陣，這也是空間自回歸模型最基礎(chǔ)的部分，是進(jìn)行空間自相關(guān)分析的基礎(chǔ)。假設(shè)空間有n個(gè)測(cè)點(diǎn)，如果用wij表示測(cè)點(diǎn)i和測(cè)點(diǎn)j之間的距離，定義空間權(quán)重矩陣如下：

(1)

關(guān)于wij的最為經(jīng)典的取值方法是根據(jù)不同測(cè)點(diǎn)的鄰近關(guān)系進(jìn)行取值，公式如下：

(2)

1.2 空間自相關(guān)系數(shù)

空間自相關(guān)系數(shù)一般被用來(lái)衡量空間上數(shù)據(jù)的聚集程度。最常用的空間自相關(guān)系數(shù)為莫蘭指數(shù)(I)，其取值一般介于-1～1之間。當(dāng)自相關(guān)系數(shù)大于0，說(shuō)明空間數(shù)值存在高高聚集或低低聚集；當(dāng)自相關(guān)系數(shù)小于0，說(shuō)明空間數(shù)值存在高低聚集或者低高聚集；當(dāng)自相關(guān)系數(shù)接近于0，說(shuō)明空間基本不存在空間自相關(guān)關(guān)系，各測(cè)點(diǎn)的數(shù)值相對(duì)比較獨(dú)立。莫蘭指數(shù)的計(jì)算公式為

(3)

其中

莫蘭指數(shù)I的期望為

(4)

標(biāo)準(zhǔn)化的莫蘭指數(shù)服從漸進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的臨界值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般用p值表示。一般認(rèn)為，當(dāng)p<0.05，莫蘭指數(shù)顯著成立。

1.3 空間自回歸模型的構(gòu)建

因?yàn)檫吰虏煌瑴y(cè)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)具有時(shí)間和測(cè)點(diǎn)2個(gè)維度，所以邊坡監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)從根本上講是一種面板數(shù)據(jù)。因?yàn)闇y(cè)點(diǎn)的位置還具有一定空間特性，所以稱這種數(shù)據(jù)為空間面板數(shù)據(jù)。如果僅僅考慮時(shí)間的一階滯后，則一階動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)的空間自回歸模型為

(5)

其中

如果僅僅針對(duì)橫截面數(shù)據(jù)，由于共時(shí)性的存在，最小二乘法的估算將不會(huì)隨著樣本量的增加而收斂到它們的“真實(shí)”值。相反，在最小二乘形式中被忽略的反饋效應(yīng)或依賴效應(yīng)將增大，因此對(duì)空間自回歸模型一般采用最大似然估計(jì)。

假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)εmt～N(0,σ2Ik)，有樣本對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下：

(6)

對(duì)式(6)的最大化估計(jì)分2步進(jìn)行：(a)在給定λ的情況下，選擇最優(yōu)的β、σ2；(b)根據(jù)最優(yōu)β、σ2，選擇最優(yōu)的λ。

對(duì)于面板數(shù)據(jù)，如果采用固定效應(yīng)模型，可以先做組內(nèi)離差變換，去掉vm，然后采用類似橫截面模型的最大似然估計(jì)得到各系數(shù)；如果采用隨機(jī)效應(yīng)模型，可以通過(guò)廣義離差變換，然后采用最大似然估計(jì)。隨機(jī)模型和固定效益模型的選擇需要通過(guò)豪斯曼檢驗(yàn)(HausmanTest)確定。這樣就可以確定式(5)的參數(shù)，至此完成空間自回歸模型的建立。

1.4 模型運(yùn)作流程

綜上，可以發(fā)現(xiàn)空間自回歸模型僅僅適用于空間自相關(guān)效應(yīng)比較明顯的情況。根據(jù)這點(diǎn)，可以簡(jiǎn)單將空間自回歸模型的運(yùn)作流程歸納如下:(a)收集并整理變形數(shù)據(jù)，剔除錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，插補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)。(b)計(jì)算變形數(shù)據(jù)的空間自相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)其顯著性。(c)如果存在顯著的空間自相關(guān)性質(zhì)，則采用空間自回歸模型；如果不存在顯著的空間自相關(guān)性質(zhì)，則采用傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型。(d)回代各項(xiàng)回歸系數(shù)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度。

2 工 程 實(shí) 例

2.1 工程概況

我國(guó)西南某省某電站下游為滿足工程布置需要，開(kāi)挖形成長(zhǎng)約1 530m，最大坡高為230m的人工高邊坡。為保證工程運(yùn)行安全，需要對(duì)高邊坡進(jìn)行安全監(jiān)測(cè)。外觀變形監(jiān)測(cè)共設(shè)有16個(gè)監(jiān)測(cè)剖面，一共布置了94個(gè)變形測(cè)點(diǎn)，實(shí)際觀測(cè)81個(gè)測(cè)點(diǎn)。測(cè)點(diǎn)布置情況如圖1所示。因?yàn)長(zhǎng)11斷面和L12斷面相距較遠(yuǎn)，可以認(rèn)為它們之間基本沒(méi)有相互影響。以L11斷面為界，將邊坡分為L(zhǎng)1～L11和L12～L16兩部分。為方便起見(jiàn)，只研究測(cè)點(diǎn)分布均勻且損壞率較低的L1～L11部分。

圖1 某工程下游人工高邊坡外觀變形測(cè)點(diǎn)布置

圖2 L1～L11斷面區(qū)域測(cè)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系

L1～L11斷面共有49個(gè)有效測(cè)點(diǎn)，將這49個(gè)測(cè)點(diǎn)單獨(dú)提取出來(lái)并對(duì)所有測(cè)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。這里考慮測(cè)點(diǎn)在水平和豎直2個(gè)方向上的臨近關(guān)系，如果兩點(diǎn)有直接的臨近關(guān)系，則認(rèn)為這兩點(diǎn)“相鄰”，反之認(rèn)為“不相鄰”；同時(shí)對(duì)所有測(cè)點(diǎn)之間的相互影響做出假設(shè)：即認(rèn)為測(cè)點(diǎn)對(duì)臨近測(cè)點(diǎn)的影響程度與空間權(quán)重矩陣成正比(空間自回歸模型的基本假設(shè))。如果用連接的直線表示測(cè)點(diǎn)之間的臨近關(guān)系，那不同測(cè)點(diǎn)之間的臨近拓?fù)潢P(guān)系如圖2所示。

根據(jù)圖2的拓?fù)潢P(guān)系圖，可以根據(jù)式(2)得到相應(yīng)的空間權(quán)重矩陣W。進(jìn)一步，對(duì)空間權(quán)重矩陣進(jìn)行“行標(biāo)準(zhǔn)化”操作，便可以得到標(biāo)準(zhǔn)化的空間權(quán)重矩陣。

2.2 自相關(guān)性檢驗(yàn)

為驗(yàn)證空間自回歸模型的適用性，還需要了解邊坡不同測(cè)點(diǎn)測(cè)值的空間自相關(guān)程度。本文截取了邊坡49個(gè)測(cè)點(diǎn)從2010年2月到2013年12月共47個(gè)時(shí)間截面沿左右岸方向(X軸方向)的變形測(cè)值，并根據(jù)式(3)分別計(jì)算每個(gè)截面的空間自相關(guān)系數(shù)。其中部分空間自相關(guān)系數(shù)如表1所示，47個(gè)時(shí)間截面的莫蘭指數(shù)和P的均值分別為0.284、0.088。由表1可知，大部分時(shí)間截面都表現(xiàn)出顯著的空間自相關(guān)性質(zhì)(P<0.05)，所有時(shí)間截面平均莫蘭指數(shù)為0.284，表明L1～L11斷面表現(xiàn)出較強(qiáng)的空間正自相關(guān)性質(zhì)，可以采用空間自回歸模型對(duì)邊坡的變形進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 不同時(shí)間截面的莫蘭指數(shù)

2.3 擬合精度分析

47組數(shù)據(jù)中，用前42組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建模，對(duì)后5組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較。為驗(yàn)證模型的擬合精度，選用傳統(tǒng)的自回歸積分滑動(dòng)平均模型(autoregressive integrated moving average model， ARIMA)對(duì)所有測(cè)點(diǎn)的變形進(jìn)行擬合，并與空間自回歸模型的擬合精度相比較。

不同模型的回歸結(jié)果及擬合精度見(jiàn)表2。因?yàn)榭臻g自回歸模型在邊坡監(jiān)測(cè)領(lǐng)域的應(yīng)用較少，這里分別采用了隨機(jī)效應(yīng)模型和固定效應(yīng)模型進(jìn)行建模。可以看出，空間自回歸模型(包含隨機(jī)效應(yīng)模型和固定效應(yīng)模型)的擬合精度要明顯高于傳統(tǒng)時(shí)間序列模型。

表2 空間自回歸模型和ARIMA模型擬合精度比較

注：d1、W1、W2為模型系數(shù)；R為相關(guān)系數(shù)；RSQ為殘差平方和；AIC、BIC為信息準(zhǔn)則;S為Spatial空間自相關(guān)系數(shù)。

2.4 預(yù)測(cè)精度分析

運(yùn)用隨機(jī)效應(yīng)模型、固定效應(yīng)模型、ARIMA模型對(duì)變形數(shù)值預(yù)測(cè)進(jìn)行，預(yù)測(cè)時(shí)如果沒(méi)有實(shí)測(cè)值可以將預(yù)測(cè)值作為實(shí)測(cè)值代入下一步預(yù)測(cè)之中。模型的最后預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表3。從表3可知，隨著時(shí)間的推移，3種模型的精度都出現(xiàn)了下降的情況；但是整體來(lái)看，隨機(jī)效應(yīng)模型和固定效應(yīng)模型的精度相當(dāng)，其中固定效應(yīng)模型的精度要更高一些，但都明顯高于傳統(tǒng)單測(cè)點(diǎn)的ARIMA模型。

3 結(jié) 語(yǔ)

基于空間計(jì)量學(xué)基本理論，將空間自回歸模型引入邊坡位移預(yù)測(cè)的研究當(dāng)中，計(jì)算簡(jiǎn)單，原理清晰。研究結(jié)果表明：對(duì)于整體性較好的邊坡，可以用空間自相關(guān)系數(shù)驗(yàn)證其整體性；在空間自相關(guān)系數(shù)較為顯著的條件下，運(yùn)用空間自回歸模型可以較為精確地預(yù)測(cè)邊坡變形狀況，且優(yōu)于傳統(tǒng)單測(cè)點(diǎn)模型；空間自回歸模型相較于傳統(tǒng)模型參數(shù)更加簡(jiǎn)潔，可以同時(shí)對(duì)空間所有測(cè)點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)；空間自回歸模型還可以在一定程度上揭示邊坡的空間變形性質(zhì)，值得進(jìn)一步研究和推廣。

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Application of spatial autoregressive model in prediction of high slope deformation

QIN Dong,CHEN Huiyan

(Datang(Beijing)WaterEngineeringTechnologyCo.,Ltd.,DatangEnvironmentIndustryGroupCo.,Ltd.,Beijing100097,China)

In consideration of the fact that the interaction between different monitoring points is seldom considered in traditional displacement monitoring, the application of the spatial autoregressive model in the prediction of high slope deformation was examined based on the basic theory of spatial econometrics. Using a high slope as an example, the results of displacement prediction based on the monitoring data of exterior deformation were compared with those from the traditional autoregressive integrated moving average model. The results show that, with a significant spatial autocorrelation coefficient, the spatial autoregressive model is more accurate than the traditional model in prediction of slope deformation, and that, compared with the traditional model, the spatial autoregressive model has more concise parameters, considers the factors more comprehensively, and can perform displacement prediction at different monitoring points at the same time.

spatial econometrics; spatial autoregressive model; reservoir slope; slope deformation prediction; autoregressive integrated moving average model

10.3876/j.issn.1000-1980.2017.02.002

2016-06-13

秦棟(1986—)，男，山東萊州人，博士研究生，主要從事水工結(jié)構(gòu)安全監(jiān)控研究。E-mail：qind@dteg.com.cn

TV698.1

A

1000-1980(2017)02-0104-05