周學(xué)君，陳 丁，黃文雄

(1.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2.黃岡師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北 黃岡 438000)

基于長(zhǎng)程力的SPH方法固壁邊界處理

周學(xué)君1，2，陳 丁1，黃文雄1

(1.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2.黃岡師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北 黃岡 438000)

將近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)(PD)中的長(zhǎng)程力引入光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(SPH)的固壁邊界處理模型中，給出一種適合SPH方法邊界處理的新方法。通過(guò)液柱坍塌、Poiseuille流、水鑄造充型仿真和土體崩塌4個(gè)算例對(duì)該方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明：該方法能很好地解決粒子非物理穿透邊界；能客觀反映真實(shí)的邊界作用；對(duì)于復(fù)雜幾何邊界和具有材料強(qiáng)度的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題也相當(dāng)有效。

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(SPH)；長(zhǎng)程力；近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)(PD)；固壁邊界處理

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(smoothed particle hydrodynamics，簡(jiǎn)稱SPH)是一種純Lagrangian形式的無(wú)網(wǎng)格粒子計(jì)算方法，由Lucy[1]和Gingold等[2]分別獨(dú)立提出。經(jīng)過(guò)不斷地研究和改進(jìn)，SPH方法的應(yīng)用領(lǐng)域已由早期的天體物理學(xué)和流體力學(xué)相關(guān)的問(wèn)題，延伸到具有材料強(qiáng)度的固體力學(xué)和生物力學(xué)等范疇。SPH方法在模擬大變形瞬時(shí)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，不存在網(wǎng)格類算法(如FEM)中因出現(xiàn)網(wǎng)格畸變或纏繞而導(dǎo)致的算法精度降低和失敗等難題[3]。

盡管SPH方法在許多問(wèn)題的應(yīng)用中已經(jīng)取得巨大成功，但對(duì)于邊界條件的處理仍然存在著一定的困難。這是因?yàn)镾PH方法不具有Kronecker性質(zhì)[4]，即在邊界上或者鄰近邊界處進(jìn)行積分時(shí)會(huì)被邊界截?cái)啵瑢?dǎo)致計(jì)算不能完全覆蓋整個(gè)區(qū)域。為了解決SPH方法的邊界處理問(wèn)題，人們基于不同的思路提出了一些解決方案[5-14]。目前，SPH方法施加邊界條件，或是需要在邊界上布置鏡像虛粒子，或是在邊界上布置邊界虛粒子。前者雖然守恒性比較好，但鏡像粒子的生成比較麻煩，特別是固壁邊界形狀不太規(guī)則時(shí)更是不易；后者雖然不受固壁邊界形狀的影響，容易實(shí)現(xiàn)，但虛粒子對(duì)實(shí)粒子的排斥力是人為給定的，沒(méi)有統(tǒng)一的排斥力模型，并且參數(shù)也不好確定。筆者針對(duì)后一種情況，建議在布置邊界虛粒子的基礎(chǔ)上，利用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)(peridynamics，簡(jiǎn)稱PD)中描述物質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的本構(gòu)力概念，將非局部的長(zhǎng)程作用力模型引入到邊界條件中。

PD方法是由美國(guó)Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的Silling[15]提出的一種新興的非局部、無(wú)網(wǎng)格物質(zhì)點(diǎn)類方法[16-17]，已經(jīng)在固體材料和結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力變形以及破壞分析中成功應(yīng)用[18-20]。PD方法中，用來(lái)描述“近場(chǎng)”范圍內(nèi)兩物質(zhì)點(diǎn)間相互作用的長(zhǎng)程力已經(jīng)被眾多學(xué)者進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，已取得一些有效的模型[15，21-24]。另一方面，SPH方法的固壁邊界處理中邊界虛粒子與實(shí)粒子之間的作用力，類似于PD方法中物質(zhì)點(diǎn)間的本構(gòu)力。因此，筆者將長(zhǎng)程作用力的概念和模型引入SPH方法的邊界處理中，并通過(guò)編程和具體算例對(duì)該方法處理SPH固壁邊界的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 SPH方法的基本思想和控制方程

1.1 基本思想

SPH方法將問(wèn)題域離散成有限個(gè)具有獨(dú)立質(zhì)量和體積的粒子，每個(gè)粒子都攜帶有速度、密度、應(yīng)力等材料特性，且通過(guò)其影響域(支持域)內(nèi)鄰近粒子進(jìn)行插值近似來(lái)計(jì)算它們的材料特性。SPH方法近似一般分2步進(jìn)行，第1步是將函數(shù)按照積分加權(quán)的形式進(jìn)行積分近似，第2步是將問(wèn)題域和積分進(jìn)行離散化(粒子近似)。

對(duì)于定義在問(wèn)題域Ω內(nèi)任意點(diǎn)x處的場(chǎng)函數(shù)f(x)，采用如下積分表達(dá)：

(1)

其中

式中：x、x′∈Ω——位置坐標(biāo)向量；W——光滑函數(shù)或者核函數(shù)，采用三次樣條函數(shù)[3]為光滑函數(shù)；h——光滑長(zhǎng)度，表征光滑函數(shù)的影響區(qū)域；ad——正則化因子；R——點(diǎn)x和x′處兩粒子之間的相對(duì)距離。

在將問(wèn)題域采用有限個(gè)粒子離散化后，在粒子i處的場(chǎng)函數(shù)f(xi)的SPH積分表達(dá)采用以下離散化后的粒子近似式：

(2)

其中

Wij=W(xi-xj，h)

式中：mj、ρj——粒子j的質(zhì)量和密度；N——粒子i支持域內(nèi)的粒子總數(shù)。

1.2 控制方程

Lagrangian描述下的無(wú)黏性流體動(dòng)力學(xué)控制方程包括連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和運(yùn)動(dòng)方程，應(yīng)用SPH核近似和粒子近似后，離散化的SPH公式為

(3)

其中

式中：v、p[6]——速度和壓力；g——體力；Πij——人工黏度項(xiàng)，它的作用是消除SPH方法在模擬流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生的數(shù)值不穩(wěn)定性，本文算例采用了文獻(xiàn)[25]中建議的人工黏度表達(dá)式；ρ0——流體初始密度；γ——參數(shù)，取7；vmax——流體的最大速度。

SPH方法模擬固體大變形問(wèn)題時(shí)，動(dòng)量方程要采用如下形式：

(4)

式中：σ——總應(yīng)力張量；l——單位張量

對(duì)于土體，采用基于Drucker-Prager失效條件的理想彈塑性本構(gòu)模型描述，SPH離散后的公式為[26]

(5)

其中

2 邊 界 處 理

對(duì)于固壁邊界的處理，先在邊界上布置一定數(shù)量的虛粒子，然后將PD方法中的本構(gòu)力引入模型中，用作邊界虛粒子對(duì)實(shí)粒子的作用力，達(dá)到施加邊界條件的目的。

在PD方法中，為了描述在“近場(chǎng)”范圍內(nèi)物質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力，給出本構(gòu)力的概念。本構(gòu)力是一種非局部長(zhǎng)程作用力，Huang等[23]提出的本構(gòu)力表達(dá)式為

(6)

其中

式中各項(xiàng)意義見(jiàn)文獻(xiàn)[23-24]。

圖1 邊界虛粒子對(duì)實(shí)粒子的作用力

(7)

其中

式中：rij——i與j之間的距離；a——常數(shù)，表征邊界力的作用范圍與光滑長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，常取0.5～1。

式(7)作用力的方向與(ξ+η)相同，固壁邊界虛粒子i的位置可以認(rèn)為保持不變，其位移u=0，所以f的方向?yàn)閇(x′+u′)-x]的方向，如圖1。當(dāng)邊界虛粒子的影響域內(nèi)有多個(gè)實(shí)粒子，它們之間的排斥力可以直接疊加得到。

邊界排斥力的表達(dá)式(式(7))形式簡(jiǎn)單、沒(méi)有過(guò)多的參數(shù)，但傳統(tǒng)SPH方法中邊界條件施加過(guò)程中罰函數(shù)的參數(shù)較多且很難有實(shí)際意義，參數(shù)值的確定受人為因素影響較大。

3 數(shù) 值 算 例

通過(guò)4個(gè)算例來(lái)驗(yàn)證本文所討論的邊界處理方法的有效性，其中前3個(gè)算例為流體動(dòng)力學(xué)模型，最后一個(gè)為固體動(dòng)力學(xué)模型。在前3個(gè)流體模型中，假設(shè)流體具有弱可壓縮性，流體密度為103kg/m3，邊界排斥力表達(dá)式(7)中，體積彈性模量K可以通過(guò)式(3)中p的表達(dá)式和Navier-Stokes連續(xù)性方程得到。在固體模型中，以土體崩塌為算例，并與鏡像虛粒子法的模擬結(jié)果比較，此時(shí)式(7)中參數(shù)的取值直接采用土體相關(guān)的材料參數(shù)。4個(gè)算例中，模型均視為平面應(yīng)變問(wèn)題，設(shè)定式(7)中的δ與光滑長(zhǎng)度h、粒子的初始間距相同，時(shí)間積分采用跳蛙法。

眾所周知，SPH方法積分近似在邊界上會(huì)因支持域的截?cái)鄬?dǎo)致計(jì)算精度降低。事實(shí)上，當(dāng)固壁邊界僅采用單層粒子分布時(shí)， 會(huì)造成邊界附近粒子缺失，從而導(dǎo)致積分近似計(jì)算的精度降低；本文采用設(shè)置多層(3層)邊界粒子的辦法來(lái)最大限度地減小其數(shù)值影響，即在邊界粒子的外側(cè)再增加設(shè)置兩排虛粒子，且這些邊界虛粒子的密度、速度等信息，分別通過(guò)其鄰近的實(shí)粒子的信息插值計(jì)算。

3.1 液柱坍塌

為了驗(yàn)證本文提出的邊界處理方法對(duì)阻止粒子非物理穿透固壁時(shí)的表現(xiàn)，選取液柱坍塌算例進(jìn)行模擬研究。如圖2所示，尺寸為0.4 m×0.6 m的液柱放置在無(wú)限長(zhǎng)的邊界上，在自身重力作用下，液柱向下坍塌。流體粒子和邊界粒子的初始間距均為0.02 m，共需要600個(gè)流體粒子，時(shí)間步長(zhǎng)為1×10-5s。因?yàn)橐褐苤亓ψ饔玫淖畲笏俣葀max=3.43m/s，所以參數(shù)B=1.68×105，式(7)中β=1.0、a=1。

圖3展示了t=0.3 s時(shí)的模擬結(jié)果，可以看出坍塌后流體粒子完全附著在邊界之上，未見(jiàn)流體粒子有穿透邊界的情況發(fā)生。在其他的排斥力邊界處理方法中，常用減小邊界虛粒子間距的辦法來(lái)阻止粒子非物理穿透固壁[13]，但在本文所研究的模型中只需要求邊界虛粒子分布與實(shí)粒子的初始粒子分布保持一致，即可保證模擬效果的有效性和正確性，且控制了邊界虛粒子的數(shù)目，提高了運(yùn)算效率。

圖2 液柱坍塌的初始SPH 粒子分布

圖3 t=0.3 s時(shí)液柱坍塌的SPH粒子分布

圖4 Poiseuille流的初始SPH 粒子分布

3.2 Poiseuille流

Poiseuille流是流體動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典模型，可以用來(lái)比較邊界方法中排斥力與真實(shí)邊界力的一致性。如圖4所示，在該模型中，初始靜止的流體受到外力F的作用在2塊間距為l的平行且無(wú)限大的固定平板間流動(dòng)，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。流體的尺寸是0.000 5 m×0.001 m，流體粒子的數(shù)量為20×40。

Poiseuille流任一點(diǎn)的流動(dòng)速度可以通過(guò)求解Navier-Stokes動(dòng)量方程得到，Morris等[27]已經(jīng)推導(dǎo)出Poiseuille流的流體速度的理論級(jí)數(shù)解。由Morris等[27]的數(shù)解可得流體前沿的最大速度vmax=1.25×10-5m/s，于是相應(yīng)的Re=1.25×10-2，B=2.23×10-6，式(7)中β=1.0，a=1。

在SPH模擬中，時(shí)間步長(zhǎng)為1×10-5s，以流體最前端一列間隔選取的20個(gè)粒子的速度為參照，經(jīng)過(guò)5 000步計(jì)算后流體的速度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。圖5給出分別由SPH方法和Morris等[27]的理論級(jí)數(shù)解得到的在t=0.01 s、0.1 s、0.2 s和最終穩(wěn)定狀態(tài)t=∞時(shí)坐標(biāo)y與速度的函數(shù)圖像，可以看出兩者吻合的程度很高，且本文SPH模擬值與理論值的最大相對(duì)誤差為1.8%，比文獻(xiàn)[27]中給出的兩者最大相對(duì)誤差2%略低，表明本文研究的邊界方法中的排斥力模型能客觀地反映真實(shí)邊界力效果，且能有效處理平行于壁面的流動(dòng)問(wèn)題。

圖5 Poiseuille流的速度分布(Re=1.25×10-2)

圖6 “弓”字型型腔示意圖(單位：mm)

3.3 水模擬鑄造充型

水模擬鑄造充型來(lái)自Schmid等[28]的試驗(yàn)，用來(lái)測(cè)試本文邊界施加方法對(duì)于復(fù)雜幾何邊界的處理能力。幾何尺寸如圖6所示，整體上來(lái)看該型腔為“弓”字型，含有5個(gè)直角轉(zhuǎn)角，2個(gè)弧形轉(zhuǎn)角，底部入口處有一垂直延伸段以便水能夠被腔壁約束順利入腔。試驗(yàn)過(guò)程中水從型腔底部入口以8.7 m/s的速度充入腔內(nèi)，不計(jì)重力影響。

SPH模擬中共需要設(shè)置4 290個(gè)虛粒子和27 000個(gè)水粒子，粒子的初始間距為0.001 m，時(shí)間步長(zhǎng)為2×10-7s，參數(shù)B=1.08×106、β=1.0、a=1。

圖7 水鑄造充型模擬的試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果對(duì)比

試驗(yàn)、文獻(xiàn)[12]模擬和本文SPH模擬結(jié)果如圖7所示，共選取4個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的型腔內(nèi)的流場(chǎng)形態(tài)進(jìn)行比較，分別是7.15 ms、25.03 ms、39.34 ms和53.64 ms。由圖7可知，雖然腔壁邊界的幾何形狀復(fù)雜，但文獻(xiàn)[12]和本文所研究的邊界處理方法有效地施加了邊界條件，使得流體完全控制在腔內(nèi)沿腔壁運(yùn)動(dòng)，未出現(xiàn)流體非物理穿透腔壁的現(xiàn)象。本文SPH模擬結(jié)果比較精確地預(yù)測(cè)流體在不同時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)及各個(gè)轉(zhuǎn)角處空腔的形成和消失過(guò)程。另一方面，由于試驗(yàn)與模擬過(guò)程中某些客觀條件無(wú)法完全一致，如空腔內(nèi)氣體壓力和流體自身重力影響等，所以流體形態(tài)在細(xì)節(jié)方面與試驗(yàn)存在著一定差異，但是這種差異在其他的邊界處理方法的SPH仿真水模擬鑄造充型結(jié)果中也存在[12，14]。文獻(xiàn)[12]中利用罰函數(shù)施加邊界條件，罰函數(shù)中參數(shù)較多且難以設(shè)定，而本文提出的邊界處理方法中模型簡(jiǎn)單且參數(shù)少、易于設(shè)定。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文邊界處理方法對(duì)流場(chǎng)的影響，圖8描述了在SPH模擬水鑄造充型過(guò)程中粒子的最大速度隨時(shí)間變化的圖像，可以看出全程粒子的最大速度出現(xiàn)在5.7 ms時(shí)刻，大致上在水流通過(guò)第1個(gè)弧形轉(zhuǎn)角后獲得，圖中出現(xiàn)的最大速度峰值幾乎都出現(xiàn)在水流通過(guò)轉(zhuǎn)角時(shí)刻，這些預(yù)測(cè)與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果吻合。

圖8 SPH模擬水鑄造充型過(guò)程中的粒子最大速度隨時(shí)間變化曲線

3.4 土體崩塌

SPH方法模擬流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，本文提出的排斥力模型能有效地模擬流體與固壁間的邊界力作用。本算例將該模型應(yīng)用到固體大變形問(wèn)題上，用來(lái)驗(yàn)證邊界排斥力方法在具有材料強(qiáng)度的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有效性。

土體崩塌是SPH方法應(yīng)用到固體大變形問(wèn)題的常用模型，Bui等[26]采用文獻(xiàn)[7]中的鏡像虛粒子的方法來(lái)處理邊界，其模擬效果已經(jīng)得到廣泛認(rèn)可，這里只需將本文所研究的邊界處理方法的模擬結(jié)果與之作比較即可。

土體的原始尺寸為4 cm×6 cm，需要2 400個(gè)土體粒子，在邊界上布置共計(jì)795個(gè)虛粒子，粒子的初始間距為0.001 m，粒子的密度為1 850 kg/m3。土體泊松比為0.3，內(nèi)摩擦角φ=27.5°，剪脹角ψ=0，式(5)中其他參數(shù)K=8.3×105Pa、G=3.9×105Pa、αφ=0.15；式(7)中β=0.1、a=0.5；時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為2×10-6s。

為了更好地觀察模擬結(jié)果的細(xì)節(jié)，將土粒子平均分成3層，分別用不同顏色標(biāo)注。圖9給出了2種邊界處理方法的土體崩塌最終效果，土塊在歷時(shí)0.4 s后完全停止運(yùn)動(dòng)，2種模擬結(jié)果土體崩塌后的形態(tài)相似，上端自由表面基本一致，靜止角的大小幾乎相等，均略小于內(nèi)摩擦角φ，這也與文獻(xiàn)[26]中的結(jié)論吻合。另外，從圖9(b)來(lái)看，未見(jiàn)土體粒子非物理穿透邊界，且土體實(shí)粒子分布規(guī)則有序，充分說(shuō)明本文研究的邊界處理方法對(duì)于土體的變形問(wèn)題是有效的。

圖9 SPH模擬土體崩塌

在鏡像虛粒子法中，虛粒子的生成比較麻煩，特別是對(duì)于具有復(fù)雜幾何形狀的邊界，計(jì)算量大，難以推廣到2種變形體之間的邊界力處理，而本文提出的邊界處理方法易于實(shí)施，且預(yù)測(cè)效果真實(shí)，具有很好的推廣性。

4 結(jié) 語(yǔ)

利用SPH方法模擬流體和固體大變形，重點(diǎn)研究固壁邊界處理問(wèn)題。在固壁上布置邊界虛粒子的基礎(chǔ)之上，考慮利用PD中描述物質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的本構(gòu)力概念，將非局部的長(zhǎng)程作用力模型引入到邊界條件中。以液柱坍塌、Poiseuille流、水鑄造充型仿真和土體崩塌為算例，驗(yàn)證本文所研究的固壁邊界處理方法的有效性。

PD方法中的長(zhǎng)程作用力與SPH方法中虛、實(shí)粒子的邊界排斥力所需要滿足的條件相似，且其表達(dá)式簡(jiǎn)單，含有的參數(shù)數(shù)目較少且易于給定。從數(shù)值模擬的結(jié)果來(lái)看，本文所采用的邊界處理模型能夠很好地解決粒子非物理穿透邊界，能較客觀地反映真實(shí)的邊界作用，對(duì)于復(fù)雜幾何邊界和具有材料強(qiáng)度的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題也相當(dāng)有效。理論的契合和仿真的吻合，同時(shí)說(shuō)明長(zhǎng)程力作為SPH固壁邊界處理的新思路是切實(shí)可行的，值得推廣。

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Solid boundary treatment for SPH method based on long-range force

ZHOU Xuejun1，2， CHEN Ding1， HUANG Wenxiong1

(1.CollegeofMechanicsandMaterials,HohaiUniversity,Nanjing210098,China;2.CollegeofMathematicsandPhysics,HuanggangNormalUniversity,Huanggang438000,China)

A new method for boundary treatment of the smoothed particle hydrodynamics (SPH) method is presented through introduction of the long-range force in peridynamics (PD) to the solid boundary treatment of SPH. The reliability of the method is verified by four numerical simulation examples, including a liquid column break, Poiseuille flow, water casting filling, and soil collapse. The results show that the method can solve the problem of non-physical particle penetration boundary and objectively reflect actual boundary action, and is effective for dynamic problems with complex geometric boundies and material strength.

smoothed particle hydrodynamics (SPH); long-range force; peridynamics (PD); solid boundary treatment

10.3876/j.issn.1000-1980.2017.02.009

2016-04-13

國(guó)家自然科學(xué)基金(11172088)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(KYZZ16_0268)；黃岡師范學(xué)院高級(jí)別培育項(xiàng)目(201617603)

周學(xué)君(1981—)，男，湖北黃岡人，講師，博士，主要從事計(jì)算力學(xué)與工程仿真研究。E-mail：zhouxj@hhu.edu.cn

O242

A

1000-1980(2017)02-0153-08