周學(xué)君，陳 丁，黃文雄

(1.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2.黃岡師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北 黃岡 438000)

基于長程力的SPH方法固壁邊界處理

周學(xué)君1，2，陳 丁1，黃文雄1

(1.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2.黃岡師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北 黃岡 438000)

將近場動力學(xué)(PD)中的長程力引入光滑粒子流體動力學(xué)(SPH)的固壁邊界處理模型中，給出一種適合SPH方法邊界處理的新方法。通過液柱坍塌、Poiseuille流、水鑄造充型仿真和土體崩塌4個算例對該方法的有效性進(jìn)行驗證。結(jié)果表明：該方法能很好地解決粒子非物理穿透邊界；能客觀反映真實的邊界作用；對于復(fù)雜幾何邊界和具有材料強度的動力學(xué)問題也相當(dāng)有效。

光滑粒子流體動力學(xué)(SPH)；長程力；近場動力學(xué)(PD)；固壁邊界處理

光滑粒子流體動力學(xué)(smoothed particle hydrodynamics，簡稱SPH)是一種純Lagrangian形式的無網(wǎng)格粒子計算方法，由Lucy[1]和Gingold等[2]分別獨立提出。經(jīng)過不斷地研究和改進(jìn)，SPH方法的應(yīng)用領(lǐng)域已由早期的天體物理學(xué)和流體力學(xué)相關(guān)的問題，延伸到具有材料強度的固體力學(xué)和生物力學(xué)等范疇。SPH方法在模擬大變形瞬時動力學(xué)問題時，不存在網(wǎng)格類算法(如FEM)中因出現(xiàn)網(wǎng)格畸變或纏繞而導(dǎo)致的算法精度降低和失敗等難題[3]。

盡管SPH方法在許多問題的應(yīng)用中已經(jīng)取得巨大成功，但對于邊界條件的處理仍然存在著一定的困難。這是因為SPH方法不具有Kronecker性質(zhì)[4]，即在邊界上或者鄰近邊界處進(jìn)行積分時會被邊界截斷，導(dǎo)致計算不能完全覆蓋整個區(qū)域。為了解決SPH方法的邊界處理問題，人們基于不同的思路提出了一些解決方案[5-14]。目前，SPH方法施加邊界條件，或是需要在邊界上布置鏡像虛粒子，或是在邊界上布置邊界虛粒子。前者雖然守恒性比較好，但鏡像粒子的生成比較麻煩，特別是固壁邊界形狀不太規(guī)則時更是不易；后者雖然不受固壁邊界形狀的影響，容易實現(xiàn)，但虛粒子對實粒子的排斥力是人為給定的，沒有統(tǒng)一的排斥力模型，并且參數(shù)也不好確定。筆者針對后一種情況，建議在布置邊界虛粒子的基礎(chǔ)上，利用近場動力學(xué)(peridynamics，簡稱PD)中描述物質(zhì)點之間相互作用的本構(gòu)力概念，將非局部的長程作用力模型引入到邊界條件中。

PD方法是由美國Sandia國家實驗室的Silling[15]提出的一種新興的非局部、無網(wǎng)格物質(zhì)點類方法[16-17]，已經(jīng)在固體材料和結(jié)構(gòu)的靜動力變形以及破壞分析中成功應(yīng)用[18-20]。PD方法中，用來描述“近場”范圍內(nèi)兩物質(zhì)點間相互作用的長程力已經(jīng)被眾多學(xué)者進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，已取得一些有效的模型[15，21-24]。另一方面，SPH方法的固壁邊界處理中邊界虛粒子與實粒子之間的作用力，類似于PD方法中物質(zhì)點間的本構(gòu)力。因此，筆者將長程作用力的概念和模型引入SPH方法的邊界處理中，并通過編程和具體算例對該方法處理SPH固壁邊界的有效性進(jìn)行驗證。

1 SPH方法的基本思想和控制方程

1.1 基本思想

SPH方法將問題域離散成有限個具有獨立質(zhì)量和體積的粒子，每個粒子都攜帶有速度、密度、應(yīng)力等材料特性，且通過其影響域(支持域)內(nèi)鄰近粒子進(jìn)行插值近似來計算它們的材料特性。SPH方法近似一般分2步進(jìn)行，第1步是將函數(shù)按照積分加權(quán)的形式進(jìn)行積分近似，第2步是將問題域和積分進(jìn)行離散化(粒子近似)。

對于定義在問題域Ω內(nèi)任意點x處的場函數(shù)f(x)，采用如下積分表達(dá)：

(1)

其中

式中：x、x′∈Ω——位置坐標(biāo)向量；W——光滑函數(shù)或者核函數(shù)，采用三次樣條函數(shù)[3]為光滑函數(shù)；h——光滑長度，表征光滑函數(shù)的影響區(qū)域；ad——正則化因子；R——點x和x′處兩粒子之間的相對距離。

在將問題域采用有限個粒子離散化后，在粒子i處的場函數(shù)f(xi)的SPH積分表達(dá)采用以下離散化后的粒子近似式：

(2)

其中

Wij=W(xi-xj，h)

式中：mj、ρj——粒子j的質(zhì)量和密度；N——粒子i支持域內(nèi)的粒子總數(shù)。

1.2 控制方程

Lagrangian描述下的無黏性流體動力學(xué)控制方程包括連續(xù)性方程、動量方程和運動方程，應(yīng)用SPH核近似和粒子近似后，離散化的SPH公式為

(3)

其中

式中：v、p[6]——速度和壓力；g——體力；Πij——人工黏度項，它的作用是消除SPH方法在模擬流體動力學(xué)問題時產(chǎn)生的數(shù)值不穩(wěn)定性，本文算例采用了文獻(xiàn)[25]中建議的人工黏度表達(dá)式；ρ0——流體初始密度；γ——參數(shù)，取7；vmax——流體的最大速度。

SPH方法模擬固體大變形問題時，動量方程要采用如下形式：

(4)

式中：σ——總應(yīng)力張量；l——單位張量

對于土體，采用基于Drucker-Prager失效條件的理想彈塑性本構(gòu)模型描述，SPH離散后的公式為[26]

(5)

其中

2 邊 界 處 理

對于固壁邊界的處理，先在邊界上布置一定數(shù)量的虛粒子，然后將PD方法中的本構(gòu)力引入模型中，用作邊界虛粒子對實粒子的作用力，達(dá)到施加邊界條件的目的。

在PD方法中，為了描述在“近場”范圍內(nèi)物質(zhì)點之間相互作用力，給出本構(gòu)力的概念。本構(gòu)力是一種非局部長程作用力，Huang等[23]提出的本構(gòu)力表達(dá)式為

(6)

其中

式中各項意義見文獻(xiàn)[23-24]。

圖1 邊界虛粒子對實粒子的作用力

(7)

其中

式中：rij——i與j之間的距離；a——常數(shù)，表征邊界力的作用范圍與光滑長度之間的數(shù)量關(guān)系，常取0.5～1。

式(7)作用力的方向與(ξ+η)相同，固壁邊界虛粒子i的位置可以認(rèn)為保持不變，其位移u=0，所以f的方向為[(x′+u′)-x]的方向，如圖1。當(dāng)邊界虛粒子的影響域內(nèi)有多個實粒子，它們之間的排斥力可以直接疊加得到。

邊界排斥力的表達(dá)式(式(7))形式簡單、沒有過多的參數(shù)，但傳統(tǒng)SPH方法中邊界條件施加過程中罰函數(shù)的參數(shù)較多且很難有實際意義，參數(shù)值的確定受人為因素影響較大。

3 數(shù) 值 算 例

通過4個算例來驗證本文所討論的邊界處理方法的有效性，其中前3個算例為流體動力學(xué)模型，最后一個為固體動力學(xué)模型。在前3個流體模型中，假設(shè)流體具有弱可壓縮性，流體密度為103kg/m3，邊界排斥力表達(dá)式(7)中，體積彈性模量K可以通過式(3)中p的表達(dá)式和Navier-Stokes連續(xù)性方程得到。在固體模型中，以土體崩塌為算例，并與鏡像虛粒子法的模擬結(jié)果比較，此時式(7)中參數(shù)的取值直接采用土體相關(guān)的材料參數(shù)。4個算例中，模型均視為平面應(yīng)變問題，設(shè)定式(7)中的δ與光滑長度h、粒子的初始間距相同，時間積分采用跳蛙法。

眾所周知，SPH方法積分近似在邊界上會因支持域的截斷導(dǎo)致計算精度降低。事實上，當(dāng)固壁邊界僅采用單層粒子分布時， 會造成邊界附近粒子缺失，從而導(dǎo)致積分近似計算的精度降低；本文采用設(shè)置多層(3層)邊界粒子的辦法來最大限度地減小其數(shù)值影響，即在邊界粒子的外側(cè)再增加設(shè)置兩排虛粒子，且這些邊界虛粒子的密度、速度等信息，分別通過其鄰近的實粒子的信息插值計算。

3.1 液柱坍塌

為了驗證本文提出的邊界處理方法對阻止粒子非物理穿透固壁時的表現(xiàn)，選取液柱坍塌算例進(jìn)行模擬研究。如圖2所示，尺寸為0.4 m×0.6 m的液柱放置在無限長的邊界上，在自身重力作用下，液柱向下坍塌。流體粒子和邊界粒子的初始間距均為0.02 m，共需要600個流體粒子，時間步長為1×10-5s。因為液柱受重力作用的最大速度vmax=3.43m/s，所以參數(shù)B=1.68×105，式(7)中β=1.0、a=1。

圖3展示了t=0.3 s時的模擬結(jié)果，可以看出坍塌后流體粒子完全附著在邊界之上，未見流體粒子有穿透邊界的情況發(fā)生。在其他的排斥力邊界處理方法中，常用減小邊界虛粒子間距的辦法來阻止粒子非物理穿透固壁[13]，但在本文所研究的模型中只需要求邊界虛粒子分布與實粒子的初始粒子分布保持一致，即可保證模擬效果的有效性和正確性，且控制了邊界虛粒子的數(shù)目，提高了運算效率。

圖2 液柱坍塌的初始SPH 粒子分布

圖3 t=0.3 s時液柱坍塌的SPH粒子分布

圖4 Poiseuille流的初始SPH 粒子分布

3.2 Poiseuille流

Poiseuille流是流體動力學(xué)的經(jīng)典模型，可以用來比較邊界方法中排斥力與真實邊界力的一致性。如圖4所示，在該模型中，初始靜止的流體受到外力F的作用在2塊間距為l的平行且無限大的固定平板間流動，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。流體的尺寸是0.000 5 m×0.001 m，流體粒子的數(shù)量為20×40。

Poiseuille流任一點的流動速度可以通過求解Navier-Stokes動量方程得到，Morris等[27]已經(jīng)推導(dǎo)出Poiseuille流的流體速度的理論級數(shù)解。由Morris等[27]的數(shù)解可得流體前沿的最大速度vmax=1.25×10-5m/s，于是相應(yīng)的Re=1.25×10-2，B=2.23×10-6，式(7)中β=1.0，a=1。

在SPH模擬中，時間步長為1×10-5s，以流體最前端一列間隔選取的20個粒子的速度為參照，經(jīng)過5 000步計算后流體的速度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。圖5給出分別由SPH方法和Morris等[27]的理論級數(shù)解得到的在t=0.01 s、0.1 s、0.2 s和最終穩(wěn)定狀態(tài)t=∞時坐標(biāo)y與速度的函數(shù)圖像，可以看出兩者吻合的程度很高，且本文SPH模擬值與理論值的最大相對誤差為1.8%，比文獻(xiàn)[27]中給出的兩者最大相對誤差2%略低，表明本文研究的邊界方法中的排斥力模型能客觀地反映真實邊界力效果，且能有效處理平行于壁面的流動問題。

圖5 Poiseuille流的速度分布(Re=1.25×10-2)

圖6 “弓”字型型腔示意圖(單位：mm)

3.3 水模擬鑄造充型

水模擬鑄造充型來自Schmid等[28]的試驗，用來測試本文邊界施加方法對于復(fù)雜幾何邊界的處理能力。幾何尺寸如圖6所示，整體上來看該型腔為“弓”字型，含有5個直角轉(zhuǎn)角，2個弧形轉(zhuǎn)角，底部入口處有一垂直延伸段以便水能夠被腔壁約束順利入腔。試驗過程中水從型腔底部入口以8.7 m/s的速度充入腔內(nèi)，不計重力影響。

SPH模擬中共需要設(shè)置4 290個虛粒子和27 000個水粒子，粒子的初始間距為0.001 m，時間步長為2×10-7s，參數(shù)B=1.08×106、β=1.0、a=1。

圖7 水鑄造充型模擬的試驗結(jié)果與模擬結(jié)果對比

試驗、文獻(xiàn)[12]模擬和本文SPH模擬結(jié)果如圖7所示，共選取4個時間節(jié)點的型腔內(nèi)的流場形態(tài)進(jìn)行比較，分別是7.15 ms、25.03 ms、39.34 ms和53.64 ms。由圖7可知，雖然腔壁邊界的幾何形狀復(fù)雜，但文獻(xiàn)[12]和本文所研究的邊界處理方法有效地施加了邊界條件，使得流體完全控制在腔內(nèi)沿腔壁運動，未出現(xiàn)流體非物理穿透腔壁的現(xiàn)象。本文SPH模擬結(jié)果比較精確地預(yù)測流體在不同時刻的流動狀態(tài)及各個轉(zhuǎn)角處空腔的形成和消失過程。另一方面，由于試驗與模擬過程中某些客觀條件無法完全一致，如空腔內(nèi)氣體壓力和流體自身重力影響等，所以流體形態(tài)在細(xì)節(jié)方面與試驗存在著一定差異，但是這種差異在其他的邊界處理方法的SPH仿真水模擬鑄造充型結(jié)果中也存在[12，14]。文獻(xiàn)[12]中利用罰函數(shù)施加邊界條件，罰函數(shù)中參數(shù)較多且難以設(shè)定，而本文提出的邊界處理方法中模型簡單且參數(shù)少、易于設(shè)定。

為進(jìn)一步驗證本文邊界處理方法對流場的影響，圖8描述了在SPH模擬水鑄造充型過程中粒子的最大速度隨時間變化的圖像，可以看出全程粒子的最大速度出現(xiàn)在5.7 ms時刻，大致上在水流通過第1個弧形轉(zhuǎn)角后獲得，圖中出現(xiàn)的最大速度峰值幾乎都出現(xiàn)在水流通過轉(zhuǎn)角時刻，這些預(yù)測與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果吻合。

圖8 SPH模擬水鑄造充型過程中的粒子最大速度隨時間變化曲線

3.4 土體崩塌

SPH方法模擬流體動力學(xué)問題時，本文提出的排斥力模型能有效地模擬流體與固壁間的邊界力作用。本算例將該模型應(yīng)用到固體大變形問題上，用來驗證邊界排斥力方法在具有材料強度的動力學(xué)問題的有效性。

土體崩塌是SPH方法應(yīng)用到固體大變形問題的常用模型，Bui等[26]采用文獻(xiàn)[7]中的鏡像虛粒子的方法來處理邊界，其模擬效果已經(jīng)得到廣泛認(rèn)可，這里只需將本文所研究的邊界處理方法的模擬結(jié)果與之作比較即可。

土體的原始尺寸為4 cm×6 cm，需要2 400個土體粒子，在邊界上布置共計795個虛粒子，粒子的初始間距為0.001 m，粒子的密度為1 850 kg/m3。土體泊松比為0.3，內(nèi)摩擦角φ=27.5°，剪脹角ψ=0，式(5)中其他參數(shù)K=8.3×105Pa、G=3.9×105Pa、αφ=0.15；式(7)中β=0.1、a=0.5；時間步長設(shè)為2×10-6s。

為了更好地觀察模擬結(jié)果的細(xì)節(jié)，將土粒子平均分成3層，分別用不同顏色標(biāo)注。圖9給出了2種邊界處理方法的土體崩塌最終效果，土塊在歷時0.4 s后完全停止運動，2種模擬結(jié)果土體崩塌后的形態(tài)相似，上端自由表面基本一致，靜止角的大小幾乎相等，均略小于內(nèi)摩擦角φ，這也與文獻(xiàn)[26]中的結(jié)論吻合。另外，從圖9(b)來看，未見土體粒子非物理穿透邊界，且土體實粒子分布規(guī)則有序，充分說明本文研究的邊界處理方法對于土體的變形問題是有效的。

圖9 SPH模擬土體崩塌

在鏡像虛粒子法中，虛粒子的生成比較麻煩，特別是對于具有復(fù)雜幾何形狀的邊界，計算量大，難以推廣到2種變形體之間的邊界力處理，而本文提出的邊界處理方法易于實施，且預(yù)測效果真實，具有很好的推廣性。

4 結(jié) 語

利用SPH方法模擬流體和固體大變形，重點研究固壁邊界處理問題。在固壁上布置邊界虛粒子的基礎(chǔ)之上，考慮利用PD中描述物質(zhì)點之間相互作用的本構(gòu)力概念，將非局部的長程作用力模型引入到邊界條件中。以液柱坍塌、Poiseuille流、水鑄造充型仿真和土體崩塌為算例，驗證本文所研究的固壁邊界處理方法的有效性。

PD方法中的長程作用力與SPH方法中虛、實粒子的邊界排斥力所需要滿足的條件相似，且其表達(dá)式簡單，含有的參數(shù)數(shù)目較少且易于給定。從數(shù)值模擬的結(jié)果來看，本文所采用的邊界處理模型能夠很好地解決粒子非物理穿透邊界，能較客觀地反映真實的邊界作用，對于復(fù)雜幾何邊界和具有材料強度的動力學(xué)問題也相當(dāng)有效。理論的契合和仿真的吻合，同時說明長程力作為SPH固壁邊界處理的新思路是切實可行的，值得推廣。

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Solid boundary treatment for SPH method based on long-range force

ZHOU Xuejun1，2， CHEN Ding1， HUANG Wenxiong1

(1.CollegeofMechanicsandMaterials,HohaiUniversity,Nanjing210098,China;2.CollegeofMathematicsandPhysics,HuanggangNormalUniversity,Huanggang438000,China)

A new method for boundary treatment of the smoothed particle hydrodynamics (SPH) method is presented through introduction of the long-range force in peridynamics (PD) to the solid boundary treatment of SPH. The reliability of the method is verified by four numerical simulation examples, including a liquid column break, Poiseuille flow, water casting filling, and soil collapse. The results show that the method can solve the problem of non-physical particle penetration boundary and objectively reflect actual boundary action, and is effective for dynamic problems with complex geometric boundies and material strength.

smoothed particle hydrodynamics (SPH); long-range force; peridynamics (PD); solid boundary treatment

10.3876/j.issn.1000-1980.2017.02.009

2016-04-13

國家自然科學(xué)基金(11172088)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(KYZZ16_0268)；黃岡師范學(xué)院高級別培育項目(201617603)

周學(xué)君(1981—)，男，湖北黃岡人，講師，博士，主要從事計算力學(xué)與工程仿真研究。E-mail：zhouxj@hhu.edu.cn

O242

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1000-1980(2017)02-0153-08