蔣銀山

摘要：等價(jià)無窮小的代換是指在極限運(yùn)算過程中某些無窮小因子用其等價(jià)的無窮小來代替，已達(dá)到簡化計(jì)算的方法。

關(guān)鍵詞：等價(jià)無窮??；極限；麥克勞林公式

“等價(jià)無窮小代換法”是指在極限運(yùn)算過程中某些無窮小因子用其等價(jià)的無窮小來代替，已達(dá)到簡化計(jì)算的方法。在實(shí)際計(jì)算過程中利用“等價(jià)無窮小代換法”與其它方法相結(jié)合，不失為一種行之有效的方法，但并非計(jì)算過程中所有的無窮小都能用等價(jià)的無窮小代替來進(jìn)行計(jì)算。特別是在加減中一般不能用“等價(jià)無窮小代換法”而用麥克勞林公式。

一、等價(jià)無窮小代換定理及推論

為了敘述方便，以下討論中極限過程都是指同一個(gè)變量的變化過程，對于等價(jià)無窮小的代換有：

定理1：設(shè) 若 存在，則 存在，且 。

推論1：設(shè) 若 存在，則 存在，且 。

推論2：設(shè) 若 存在，則 存在，且 。

例1求

解： 時(shí)

例2求

解： 時(shí)

（這是一種典型的錯(cuò)誤）

因?yàn)榈葍r(jià)無窮小的代換在乘除中可以隨便用，加減中要慎用。那么在加減中該如何用等價(jià)無窮小的代換呢？

二、和差運(yùn)算中等價(jià)無窮小代換定理

為了解決這個(gè)問題，下面對 或 中 可以分別作等價(jià)無窮小代的條件進(jìn)行討論。

定理2： 且 ，則

（1）若 ，則 ；

（2）若 ，則 。

和差項(xiàng)并不是絕對不能用等價(jià)無窮小的代換，只須驗(yàn)證條件，原則是代替后的整體與原來整體等價(jià)。

例3求

解：

例4求

解：

三、 且 ，則

（1）若 ，則 與 不等價(jià)；

（2）若 ，則 與 不等價(jià)。

此時(shí)不能用等價(jià)無窮小的代換，需用麥克勞林公式或泰勒公式。

例5：求

解： 不能用

而

例6：

解：

參考文獻(xiàn)：

[1]燕春霞，衛(wèi)艷榮： 等價(jià)無窮小代換定理的補(bǔ)充[J]，濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（9）.

[2]湯家鳳，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義》[M]，中國原子能出版社，2013（2）.