周亞輝

（遼寧軌道交通職業(yè)學院，遼寧沈陽 110023）

機械制圖課程中橢圓弧長度的計算方法與應用

周亞輝

（遼寧軌道交通職業(yè)學院，遼寧沈陽 110023）

為解決機械制圖中橢圓弧長度計算問題，利用橢圓的參數(shù)方程和定積分計算弧長的方法，得到了橢圓弧長度計算的數(shù)學模型。該數(shù)學模型是非初等函數(shù)積分，所以使用了定積分近似計算方法中的梯形法實現(xiàn)了長度計算。在編程軟件中編寫了計算程序，生成了橢圓弧長度計算器。最后用工程實例，詳細講解了計算器中各參數(shù)的輸入方法，由計算結(jié)果可知該計算器具有較好的實用性。

橢圓；定積分；梯形法；計算器

職業(yè)教育是現(xiàn)代國民教育體系的重要組成部分，在實施科教興國戰(zhàn)略和人才強國戰(zhàn)略中具有特殊的地位。機械制圖是研究閱讀和繪制機械圖原理和方法的一門實踐性較強的課程，是高職機械類專業(yè)的專業(yè)核心基礎課程，其學習效果的好壞將直接影響到學生對后續(xù)專業(yè)課程和實踐操作的學習。橢圓是現(xiàn)實生活中常見的幾何圖形，在數(shù)學（制圖）、天文（軌道分析）、藝術(shù)和建筑（如石拱門）設計中曾有廣泛應用[1]，但橢圓弧的長度沒有現(xiàn)成的計算公式，所以筆者提出了一種算法，并依靠軟件編制計算器，實現(xiàn)了橢圓弧長度的計算。

一、數(shù)學模型

在自變量的某個變化過程中，對應的函數(shù)值無限接近某個確定的數(shù)，那么這個確定的數(shù)就叫做該函數(shù)的極限。我國古代就是利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算面積——當圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，正多邊形面積就越接近于圓的面積[2]?，F(xiàn)在用類似的方法來建立平面的連續(xù)曲線弧長的概念，從而應用定積分來計算弧長。

設A、B是曲線弧的兩個端點，在弧AB上任取n個分點，并依次連接相鄰的分點得一折線。當分點的數(shù)目無限增加時，那么曲線弧AB就是可求長的。若曲線由參數(shù)方程

給出，計算它的弧長時，則將弧微分寫成

的形式，從而有

橢圓是到兩個定點等于定長的曲線，參數(shù)方程[3]為

代入得橢圓周長：

二、計算器

求解定積分時候，當能找到原函數(shù)時，利用牛頓—萊布尼茲公式就可以精確地求出數(shù)值，但是當原函數(shù)不易求得時，便可借助數(shù)值方法近似地求出數(shù)值[4]。橢圓弧長定積分是非初等函數(shù)，所以需要借助數(shù)值方法計算。

用數(shù)值方法計算定積分有兩個關(guān)鍵點：一是將連續(xù)的對象分割為易于求解的一些子對象；二是用迭代法對迭代表達式反復操作。梯形法就是把曲邊分成若干窄小曲邊梯形，然后用相應的窄小梯形來近似代替窄小曲邊梯形，以窄小梯形的面積之和作為曲邊梯形的近似值。當分割數(shù)目趨于無窮大的時候就能準確地求出定積分：

橢圓弧長計算程序如下：

在對象窗口添加6個文本框，其中4個為輸入文本框，分別輸入橢圓弧的長半軸長、短半軸長、起始角度值和終止角度值，另兩個文本框為輸出文本框，分別輸出橢圓弧的長度值和計算迭代次數(shù)；添加了兩個命令按鈕，分別為計算和結(jié)束按鈕。

由于程序計算中角度值為弧度制，所以將輸入的角度值轉(zhuǎn)化為相應的弧度值。計算次數(shù)n一定要為整數(shù)，設置初始步長為0.000001時，很難保證n是整數(shù)，所以對n做了取整計算，并計算了實際的步長值。利用For循環(huán)語句完成了多次相加運算，完成了橢圓弧的長度計算。編制的計算器如圖1所示。

圖1 編制的計算器界面

三、工程應用

機械制圖是裝備制造領(lǐng)域的通用語言[5]，其中展開是工程施工常見的方法，即是將復雜的圖形展開，以獲取長度等數(shù)據(jù)。如圖2所示保護罩，由一塊寬30mm薄壁板彎曲而成的，在彎曲處板料厚度發(fā)生變化，外部變薄，內(nèi)部變厚[6]，為了簡化板料尺寸計算，假設板厚的平均值為原來板料的厚度，則按體積不變條件，可以認為板料的長度等于彎曲后的長度。

圖2 零件圖

為了便于計算，按薄壁板厚中線畫一個圖3所示的草圖，是由三條線段和一段橢圓弧組成。?

圖3 計算圖

其中橢圓弧長沒有現(xiàn)成計算公式，可在生成的計算器中輸入橢圓長半軸長a=30，短半軸長b=18，弧起始角度α=－90°，終止角度β=90°，點擊計算按鈕，計算結(jié)果如圖4所示。經(jīng)過3 141 593次迭代計算，橢圓弧長為76.581mm。

圖4 計算結(jié)果

板料長度尺寸為：36+50+50+76.581=212.581mm，即彎曲加工成一個保護罩需長為212.581 mm，寬為30 mm，厚為2mm的板料。

四、結(jié)束語

橢圓是現(xiàn)實生活中常見的幾何圖形，機械制圖課程中對橢圓的畫法和性質(zhì)做了詳細的介紹。本文利用數(shù)學和軟件編程的方法，實現(xiàn)了橢圓弧長度的計算，通過工程實例說明了該計算器的實用性，使學生掌握了橢圓弧長的計算方法，同時也為學生求其它曲線的長度提供了一種思路。

[1]周亞輝.基于牛頓迭代法的橢圓近似畫法誤差分析[J].圖學學,2016(37):189-192.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,2014: 27-34.

[3]高存明.數(shù)學[M].北京:人民教育出版社,2007:30-45.

[4]譚浩強,張基溫.C語言程序設計教程[M].北京:高等教育出版社,2006:103-105.

[5]殷紅.機械制圖正五邊形畫法及證明[J].遼寧高職學報,2015 (7):88-89.

[6]鐘毓斌.沖壓工藝與模具設計[M].北京:機械工業(yè)出版社, 2012:173-176.

[責任編輯，撫順職院：陳輝]

The Calculation of Elliptical Arc Length in Mechanical Draw ing and Its Application

ZHOU Ya-hui
(Guidao Jiaotong Polytechnic Institute,Shenyang 110023,China)

To solve the problem of elliptical arc length calculation in mechanical draw ing,it uses the parameter equation of ellipse and the definite integral calculation of arc length method to get the math model of elliptical arc calculation.The mathematical model is the non-elementary function integral,so it uses the trapezoid method in the approximate calculation method of definite integral to calculate the length.It w rites calculation program in the programm ing software and generates the elliptical arc length calculator.In the end,w ith engineering examples,it explains the input method of each parameter,and the result shows the practicability of the calculator.

ellipse;definite integral;trapezoid method;calculator

G712

A

1009—7600（2017）01—0063—02

2016-11-03

周亞輝（1978—），女，遼寧沈陽人，講師，碩士。