于熙齡

(遼寧大學(xué) 物理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110036)

對(duì)傳播函數(shù)的一個(gè)質(zhì)疑和量子場(chǎng)的漲落

于熙齡

(遼寧大學(xué) 物理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110036)

在量子場(chǎng)論中，利用微擾論處理諸如衰變、散射等粒子反應(yīng)的問(wèn)題時(shí)，‘傳播過(guò)程’是其中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).對(duì)此環(huán)節(jié)進(jìn)行了細(xì)致的考察，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)疑點(diǎn)，經(jīng)過(guò)分析，看到了量子場(chǎng)漲落現(xiàn)象的存在以及它們對(duì)描述粒子反應(yīng)過(guò)程的重要意義.

量子場(chǎng);傳播函數(shù);漲落

1 粒子反應(yīng)的時(shí)空區(qū)域

在目前的量子場(chǎng)理論中，特別是在處理散射問(wèn)題時(shí)，把兩個(gè)不同的時(shí)空點(diǎn)上的場(chǎng)算符的收縮稱為‘傳播函數(shù)’，它所表達(dá)的過(guò)程稱為‘傳播過(guò)程’.對(duì)收縮的數(shù)學(xué)計(jì)算是處理這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)重要環(huán)節(jié).

2 在推導(dǎo)收縮的數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)，對(duì)其中一個(gè)計(jì)算步驟的質(zhì)疑

在以下的理論分析中將渋及數(shù)學(xué)計(jì)算.為了簡(jiǎn)單、明確、突出重點(diǎn)又不失一般性，我們以量子實(shí)標(biāo)量場(chǎng)為例加以說(shuō)明.為了節(jié)省篇幅，我們假定讀者對(duì)這一理論中通用的自然單位制、公式、場(chǎng)量、運(yùn)算符號(hào)以及與之相關(guān)的物理量的意義均已熟知(或完全可以理解)，除了特殊的地方需要注明外，今后對(duì)它們均不再一一說(shuō)明.

(1)

(2)

利用(1)(2)兩式可推得a(k)和a+(k)之間有如下的對(duì)易關(guān)系：

(3)

(4)

或

(5)

(6)

a(k′)a+(k)-a+(k)a(k′)

(7)

到此，我們的問(wèn)題就出來(lái)了：如果需要利用(6)式進(jìn)一步做某個(gè)計(jì)算時(shí)，例如求(6)式在真空態(tài)中的期待值，這時(shí)能用(3)式那樣的表達(dá)式代入其中嗎？

(8)

(9)

一般來(lái)說(shuō)，可認(rèn)為(8)(9)兩式的含意相同，是完全一樣的。如果要計(jì)算(6)式在真空態(tài)|0〉中的期待值時(shí)，則由于(8)(9)兩式中已經(jīng)不含算符a(k′)和a+(k)了，(8)(9)兩式中的最后結(jié)果也就是對(duì)真空態(tài)|0〉的期待值。至此，一切似乎都很圓滿。

在深南大道主與竹子林四路交叉口東進(jìn)口道飽和度為0.90，主輔路合流點(diǎn)距離停止線200 m左右，查表可得建議設(shè)置預(yù)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)輔道進(jìn)入交通主路節(jié)點(diǎn)聯(lián)動(dòng)組織，改善城市干道節(jié)點(diǎn)通行能力.

可是事情果真是這樣的嗎？這樣做能充分細(xì)致地描寫(xiě)量子反應(yīng)過(guò)程中發(fā)生的細(xì)節(jié)嗎？給出的結(jié)果能符合前因后果的因果邏輯嗎？對(duì)此我們暫且不做回答。先讓我們來(lái)做下面的事情。

我們不用(3)式來(lái)替代，直接考察其中含有(7)式的(6)式所蘊(yùn)含的詳細(xì)的物理過(guò)程和應(yīng)該如何給(7)式一個(gè)正確的數(shù)學(xué)表示。

現(xiàn)在讓我們看看在(6)式所表達(dá)的過(guò)程中，按照時(shí)間順序一步一步地都發(fā)生了什么事情。

首先我們來(lái)計(jì)算(6)式在真空態(tài)|0〉的期待值，

(10)

由于a(k′)|0〉=〈0|a+(k)=0，上式變?yōu)椋?/p>

以上就是按照時(shí)間順序?qū)?6)式，這個(gè)動(dòng)態(tài)積分，內(nèi)含的過(guò)程細(xì)節(jié)的簡(jiǎn)述。由于這個(gè)過(guò)程的細(xì)節(jié)與粒子反應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在反應(yīng)域△X內(nèi)，對(duì)粒子反應(yīng)有直接影響，不可忽視。如果忽視了這個(gè)當(dāng)然的因果邏輯，把過(guò)程的細(xì)節(jié)弄混了、弄反了、甚至弄丟了，就會(huì)步入歧途。

根據(jù)上面的物理分析，不用(3)式代入，直接計(jì)算上述的期待值，按時(shí)間順序依次積分，可得到如下的結(jié)果：

(11)

這個(gè)結(jié)果顯然與(8)、(9)兩式的結(jié)果不同，(11)式所表達(dá)的結(jié)果既符合前因后果的因果邏輯還體現(xiàn)了過(guò)程的細(xì)節(jié)，而(8)式的作法是逆時(shí)序而行、丟了細(xì)節(jié)、只完成一個(gè)積分；(9)式的作法時(shí)序正確，但是它是一步跨越，也丟了細(xì)節(jié)、只完成一個(gè)積分。

對(duì)(5)式進(jìn)行計(jì)算，有類(lèi)似結(jié)果：

到此，我們已經(jīng)清楚地看到(8)、(9)兩式是不符合物理實(shí)際的。

怎么辦？我們知道(8)、(9)兩式存在問(wèn)題的根源是把(3)式和(7)式混為一談了，解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)辦法就是把(7)式與(3)式區(qū)別開(kāi)來(lái)，根據(jù)得到(11)式的計(jì)算過(guò)程和步驟，我們可把(7)式寫(xiě)成下面的形狀：

(12)

在下面的示意圖中，上圖給出了在任意等時(shí)的時(shí)空點(diǎn)上對(duì)易關(guān)系(3)式作用于真空態(tài)上的情形。下圖是不同時(shí)間點(diǎn)的(12)式在△X區(qū)域內(nèi)作用于真空態(tài)上的情形，它們之間存在的差別、因而不能相互替代的情景，是一目了然的。

圖1

十分明顯，在漲落因子中已不含積分運(yùn)算，現(xiàn)在它只是四維時(shí)空坐標(biāo)之差的函數(shù)，式中漲落態(tài)|q〉里的四維動(dòng)量q是個(gè)參數(shù)，它的物理意義將在后面通過(guò)對(duì)一個(gè)躍遷矩陣元的計(jì)算顯現(xiàn)出來(lái)。

漲落因子已經(jīng)與現(xiàn)行理論的‘傳播函數(shù)’完全不是一回事了。有了漲落因子，今后在那些包含收縮的運(yùn)算中，就可以用它來(lái)代替‘傳播函數(shù)’所占據(jù)的位置。沒(méi)有了‘傳播函數(shù)’也就消除了由它給量子場(chǎng)理論帶來(lái)的許多尷尬和無(wú)奈，例如：量子反應(yīng)的非局域性、用能量不守恒的，因而不存在的‘虛過(guò)程’來(lái)描寫(xiě)實(shí)過(guò)程、以及在微擾展開(kāi)的高級(jí)近似中起因于它的一系列‘發(fā)散困難’等等問(wèn)題。

3 其它量子場(chǎng)場(chǎng)量的收縮

現(xiàn)在，利用(12)式不難得到其它量子場(chǎng)場(chǎng)量的收縮，這里我們只給出后面要用到的場(chǎng)量的分解式和收縮的表達(dá)式。

1)電磁場(chǎng)場(chǎng)量的收縮

電磁場(chǎng)場(chǎng)量的分解式和收縮分別為

(13)

(14)

2)旋量場(chǎng)場(chǎng)量的收縮

旋量場(chǎng)場(chǎng)量的分解式和收縮分別為

(15)

(16)

(17)

(17)式中最后結(jié)果有不同的表達(dá)，可根據(jù)計(jì)算的需要選用。式中Λ+是投影算符

(18)

4 漲落態(tài)|q〉和其中參數(shù)q的物理意義

現(xiàn)在我們利用本文的理論來(lái)計(jì)算一個(gè)躍遷矩陣元，它取自人們熟知的康普頓散射。我們知道在相互作用表象中S矩陣的展開(kāi)式為

(19)

式中的H(x)是電磁相互作用的哈密頓密度，

(20)

(21)

(22)

康普頓散射是光子被電子散射的過(guò)程，為了使兩種粒子有明顯區(qū)別，我們用字母p表示電子的四維動(dòng)量,k表示光子的四維動(dòng)量。題設(shè)條件是：靶粒子初態(tài)的四維動(dòng)量和自旋為(p,r)，末態(tài)為(p′,r′)，入射光子的四維動(dòng)量和極化為(k,σ)，出射光子為(k′,σ′)。

對(duì)于康普頓散射，最低級(jí)近似應(yīng)由S矩陣展開(kāi)式中的S(2)描述：

(23)

這個(gè)選取意味著指定了x1為初態(tài)的時(shí)空點(diǎn)，H(x1)中的算符只能在此處起作用或者進(jìn)入收縮；x2為末態(tài)的時(shí)空點(diǎn)，H(x2)中的算符只能在此處起作用或者進(jìn)入收縮。

我們的討論只是為了闡明漲落態(tài)|q〉及其中參數(shù)q的物理意義，為此只要計(jì)算一個(gè)躍遷矩陣元就足夠了。滿足題設(shè)條件的一項(xiàng)是

(24)

將(20)和(24)式代入(23)式，矩陣元變?yōu)?/p>

(25)

(25)式中各量均為已知，利用(13)(15)(16)(17)代入運(yùn)算，化簡(jiǎn)后有

這已經(jīng)是可以說(shuō)明問(wèn)題的結(jié)果了。

此外，通過(guò)上述的計(jì)算我們還可以看到q粒子不是參與反應(yīng)的粒子的構(gòu)成成分，它隨著量子反應(yīng)的始終而生滅，只存在于量子反應(yīng)的過(guò)程當(dāng)中。它的作用是在量子反應(yīng)的全過(guò)程當(dāng)中保證守恒定律不被破壞，它的質(zhì)量、能量、動(dòng)量、電荷等物理情況，將因量子反應(yīng)的情況不同而不同。它的壽命應(yīng)與量子反應(yīng)的特征時(shí)間同數(shù)量級(jí)。

到此，漲落態(tài)|q〉及其中參數(shù)q的物理意義和重要作用已經(jīng)完全展示出來(lái)了。

5 結(jié)語(yǔ)

本文指出了現(xiàn)行的量子場(chǎng)論中對(duì)‘傳播函數(shù)’計(jì)算的一個(gè)錯(cuò)誤，給出了量子場(chǎng)量收縮的一個(gè)新的表達(dá)式，我們稱它為‘漲落因子’。對(duì)量子場(chǎng)論中的微擾論來(lái)說(shuō)，用漲落因子取代傳播函數(shù)，無(wú)疑將使微擾論的公式結(jié)構(gòu)發(fā)生重大而又意義深遠(yuǎn)的改變。

在各種量子反應(yīng)的過(guò)程中q粒子的存在對(duì)我們加深對(duì)基本粒子的認(rèn)識(shí)也具有一定的意義。

[1] 朱洪元.量子場(chǎng)論[M].北京：科學(xué)出版社，1960.

[2] 辛忠政，宮學(xué)惠.量子場(chǎng)論簡(jiǎn)明教程[M].沈陽(yáng)：遼寧大學(xué)出版社，1992.

[3] 殷鵬程.量子場(chǎng)論綱要[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社,1986.

[4] 程國(guó)均，楊守智.量子場(chǎng)論引論[M].成都：四川大學(xué)出版社，1980.

[5] 何寶鵬，熊鈺慶.量子場(chǎng)論導(dǎo)論[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，1990.

[6] J.D.Bjorken & S.D.Drell.Relativistic Quantum Fields[M].McGraw-Hill Book-Company,1965.(中譯本：相對(duì)論量子場(chǎng)，科學(xué)出版社，1984).

[7] 陳亞孚.量子電動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論——光子學(xué)導(dǎo)引[M].北京：兵器工業(yè)出版社，1992.

[8] C.Itzykson & J.B.Zuber.Quantum Field Theory[M].McGraw-Hill Inc,1980.

[9] 羅長(zhǎng)勛.量子場(chǎng)論引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社.

[10] 楊炳麟.量子場(chǎng)論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，1988.

(責(zé)任編輯 鄭綏乾)

A Query on the Propagation Function and the Fluctuation of the Quantum Field

YU Xi-ling

(CollegeofPhysics,LiaoningUniversity,Shenyang110036,China)

In quantum field theory,by using the perturbation theory to deal with the problem of particle reaction such as decay and scattering,the 'propagation process' is one of the most important part.A detailed investigation of this part has been carried out,and a doubtful point has been found.Through the analysis,the existence of the phenomenon of quantum field fluctuations and their importance to describe the process of particle reaction has been seen.

quantum field;propagation function;fluctuation

2016-09-18

于熙齡(1937-)，男，沈陽(yáng)人，滿族，教授，從事理論物理研究.

O 413.2

A

1000-5846(2017)01-0018-07