展瑜萌，李翠香

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

跳擴(kuò)散模型下具有信用風(fēng)險(xiǎn)的亞式期權(quán)定價(jià)

展瑜萌，李翠香*

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，交易對(duì)手公司價(jià)值服從跳擴(kuò)散模型，利用測(cè)度變換的方法，推導(dǎo)了具有信用風(fēng)險(xiǎn)的連續(xù)幾何平均亞式看漲與看跌期權(quán)的定價(jià)公式.

信用風(fēng)險(xiǎn)；亞式期權(quán)；跳擴(kuò)散模型；測(cè)度變換

0 引言

期權(quán)[1]是一種衍生金融工具，隨著金融理論的發(fā)展和市場(chǎng)的需求，人們?cè)跇?biāo)準(zhǔn)期權(quán)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出了許多新型期權(quán).亞式期權(quán)[2]就是其中一種具有路徑依賴性的新型期權(quán)，其價(jià)值取決于期權(quán)到期日前一段時(shí)間內(nèi)或整個(gè)期權(quán)期限內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的平均值.相對(duì)于普通歐式期權(quán)，亞式期權(quán)的價(jià)值通常具有較小的波動(dòng)性，因此受到了投資者的廣泛關(guān)注.信用風(fēng)險(xiǎn)也就是違約風(fēng)險(xiǎn)，是指由于合約另一方未履行合約訂立的義務(wù)而導(dǎo)致債券人發(fā)生經(jīng)濟(jì)損失的可能性.隨著期權(quán)在場(chǎng)外交易市場(chǎng)的交易量日漸上升，其遭受到信用風(fēng)險(xiǎn)的可能性增大，并且現(xiàn)實(shí)中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不一定是連續(xù)的，其價(jià)格可能會(huì)因?yàn)槟承┲卮笫录?如金融危機(jī)、自然災(zāi)害等)的出現(xiàn)而發(fā)生間斷性的跳躍，研究跳擴(kuò)散模型下的期權(quán)定價(jià)更具有現(xiàn)實(shí)意義，因此本文將考慮跳擴(kuò)散模型下具有信用風(fēng)險(xiǎn)的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià).

c(ST,T)=[GT-K]+(1{VT≥L}+θ(T)1{VT

p(ST,T)=[K-GT]+(1{VT≥L}+θ(T)1{VT

以下假設(shè)市場(chǎng)是均衡的，完備的，無套利存在，并且Vt，St分別服從如下SDE

(1)

(2)

1 預(yù)備知識(shí)

Ep[X]=EQ[Λ(T)X]，

其中E[·]表示期望.

2 跳擴(kuò)散模型下具有信用風(fēng)險(xiǎn)的亞式期權(quán)定價(jià)

在證明跳擴(kuò)散模型下具有信用風(fēng)險(xiǎn)的亞式期權(quán)定價(jià)之前首先證明下面兩個(gè)引理.

引理2.1 設(shè)

其中

證明 利用伊藤積分的分部積分公式[4]可知

其中

(3)

從而

(4)

(5)

從而

(6)

由全期望公式知

(7)

因?yàn)?/p>

(8)

(9)

Q1(XT>A,YT>B|N(T)=n)=N2(dn,d;ρn).

(10)

聯(lián)合(3)(7)(10)，引理2.1得證.

引理2.2 在引理2.1的條件下，若ZT改為

則

其中ρn由引理2.1給出，

證明 類似于(2.3)并由分部積分公式可得

(11)

其中

EQ[ZT1{XT>A,YT>B}]=Z0eDEQ2[1{XT>A,YT>B}],

(12)

且由引理1.2知

(13)

類似引理2.1的證明可得

(14)

將(14)代入(12)可知引理2.2得證.

定理2.1 設(shè)Vt，St分別服從SDE(1)，(2)，則到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的具有信用風(fēng)險(xiǎn)的幾何平均亞式看漲期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為

其中

證明 由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理知

c(S0,0)=e-rTEQ[c(ST,T)]=e-rTEQ[GT1{VT≥L,GT>K}]-Ke-rTEQ[1{VT≥L,GT>K}]+

(15)

解SDE(1)，(2)可得

(16)

(17)

在引理2.1中，取XT=VT，YT=GT，ZT=GT得

(18)

在引理2.1中，取XT=VT，YT=GT，ZT=0得

(19)

由(16)(17)可得

在引理2.2中，取XT=VT，YT=GT，ZT=GTVT得

(20)

在引理2.2中，取XT=VT，YT=GT，ZT=VT得

(21)

由(15)，(18)-(21)可知，定理2.1得證.

類似定理2.1的證明可得下面定理2.2.

定理2.2 在定理2.1的條件下，具有信用風(fēng)險(xiǎn)的連續(xù)幾何平均亞式看跌期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為

3 總結(jié)

本文在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，交易對(duì)手公司資產(chǎn)服從跳擴(kuò)散過程，公司負(fù)債為常數(shù)的情況下利用測(cè)度變換的方法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理研究了具有信用風(fēng)險(xiǎn)的亞式期權(quán)定價(jià).給出了具有信用風(fēng)險(xiǎn)的連續(xù)幾何平均亞式看漲，看跌期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格.當(dāng)N(t)=0時(shí)，交易對(duì)手公司服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，很容易看出跳擴(kuò)散過程富含了幾何布朗運(yùn)動(dòng)和不規(guī)則的跳躍，因此這種假設(shè)更具有現(xiàn)實(shí)意義.

[1] John C.Hull.Option futures and other derivatives[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011：138-243.

[2] Peter G.Zhang.Exotic options[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2014：75-81.

[3] M.K.Kwok.Mathematical models of financial derivatives[M].Berlin: Spinger Press,2008：188-200.

[4] Fima C.Klebaner.Introduction to Stochastic Calculus with Applications[M].北京:人民郵電出版社,2008：267-280.

[5] 李翠香,石凌.基于隨機(jī)利率下跳-擴(kuò)散過程的復(fù)合期權(quán)定價(jià)[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,29(4):431-436.

[6] 姜博.幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)及參數(shù)敏感性分析[D].石家莊：河北師范大學(xué),2014.

(責(zé)任編輯 鄭綏乾)

Pricing of Asian Options with Default Risks Under Jump-diffusion Models

ZHAN Yu-meng,LI Cui-xiang*

(CollegeofMathematicsandInformationScienceofHebeiNormalUniversity,Shijiazhuang050024,China)

In this paper,we assume the underlying asset prices follow Geometric Brownian process,and the asset value of the counterparty company follow jump-diffusion models.By the help of changing measures,we derive the analytical formulas of continuous geometric average Asian call and put options with default risks.

default risk;asian option;jump-diffusion models;measure transform

2016-12-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(11401159)

展瑜萌(1991-)，女，碩士，研究方向：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，E-mail：1530040347@qq.com.

*通訊作者：李翠香(1971-)，女，博士，教授，研究方向：金融數(shù)學(xué)，E-mail：cuixiang_li@126.com.

O 211.6

A

1000-5846(2017)01-0009-06