蔡勇全

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.復(fù)數(shù)z=m-2i1+2i（m∈R，i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能在（）.

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.集合A=x|x<0，B={x|y=

lgxx+1}，若A-B=x|x∈A，且xB，則A-B=（）.

A.x|x<-1B.x|-1≤x<0

C.x|-1

3.已知O是銳角ΔABC的外心，若OC=xOA+yOB（x，y∈R），則（ ）.

A.x+y≤-2B.-2≤x+y<-1

C.x+y<-1D.-1

4.已知在圓x2+y2-4x+2y=0內(nèi)，過點

E1，0的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）.

A.35B.65C.415D.215

5.4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有（ ）.

A.24種B.36種C.48種D.60種

6.某幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖1所示，若該幾何體的各個頂點在同一個球面上，則該球體的表面積是（）.

A.24πB.12π

C.6πD.3π

7.如果當x=π4時，函數(shù)fx=Asinx+φ（A>0）取得了最小值，那么函數(shù)y=fπ4-x是（ ）.

A.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點π2，0對稱

B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=π2對稱

C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=π2對稱

D.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點π2，0對稱

8.某算法的程序框圖如圖2所示，則輸出S的值是（ ）.

A.6

B.24

C.120

D.840

9.設(shè)α為銳角，且2tanπ-α-3cosπ2+β+5=0，tanπ+α+6sin（π+β）=1，則sinα的值是（ ）.

A.355B.377

C.31010D.13

10.甲、乙兩人各自在300米長的直線形跑道上跑步，則在任一時刻兩人在跑道上相距不超過50米的概率是（ ）.

A.16B.13C.1136D.1536

11.過曲線C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點F1做曲線C2：x2+y2=a2的切線，設(shè)切點為M，延長F1M交曲線C3：y2=2px（p>0）于點N，其中C1、C3有一個共同的焦點，若MF1=MN，則曲線C1的離心率為（ ）.

A.5B.5-1C.5+1D.5+12

12.若對于x，y∈0，+∞，不等式4ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立，則實數(shù)a的最大值是（）.

A.14B.1C.2D.12

二、填空題（本題共4小題，每小題5分）

13.A，B，C，D四人猜測自己所買彩票的中獎情況.

A說“如果我中獎了，那么B也中獎了.”

B說“如果我中獎了，那么C也中獎了.”

C說“如果我中獎了，那么D也中獎了.”

結(jié)果三人都沒有說錯，但是只有兩人中獎了，這兩人是.

14.x2+a2x2+2a4展開式的常數(shù)項為280，則正數(shù)a=.

15.在ΔABC中，∠B=45°，D是BC邊上一點，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長為.

16.已知函數(shù)fx=x2+2x，x≤0，fx-1+1，x>0.當x∈0，100時，關(guān)于x的方程fx=x-15的所有解的和為.

三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（本小題滿分12分）在數(shù)列an中，前n項和為Sn，且Sn=nn+12.

（Ⅰ）求數(shù)列an的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)bn=an2n，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍.

18.（本小題滿分12分）甲、乙兩位同學(xué)練習三分球定點投籃，規(guī)定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率為13，乙每次投中的概率為14.

（Ⅰ）求甲投籃三次恰好得三分的概率；

（Ⅱ）假設(shè)甲投了一次籃，乙投了兩次籃，設(shè)X是甲這次投籃得分減圖3去乙這次投籃得分總和的差，求隨機變量X的分布列.

19.（本小題滿分12分）如圖3所示，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=12CD，M是線段AE上的動點.

（Ⅰ）試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

20.（本小題滿分12分）動點Mx，y與定點F1，0的距離和它到直線l∶x=4的距離之比是常數(shù)12，O為坐標原點.

（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程，并說明軌跡E是什么圖形？

（Ⅱ）已知圓C的圓心在原點，半徑長為2，是否存在圓C的切線m，使得m與圓C相切于點P，與軌跡E交于A、B兩點，且使等式AP·PB=OP2成立？若存在，求出m的方程；若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f1x=12x2，f2x=alnx（其中a>0）.

（Ⅰ）求函數(shù)fx=f1xf2x的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)gx=f1x-f2x+a-1x在區(qū)間1e，e內(nèi)有兩個零點，求正實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）求證：當x>0時，lnx+34x2-1ex>0（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

請考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：x-22+y2=4.

（Ⅰ）在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別求圓C1和圓C2的極坐標方程及兩圓交點的極坐標；

（Ⅱ）求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程.

23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)fx=2x+1-x-3.

（Ⅰ）解不等式fx>0；

（Ⅱ）已知關(guān)于x的不等式a-3x-3<

fx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.A2.B3.C4.D5.D6.C7.D8.C9.C10.C11.D12.D

二、填空題

13.C，D 14.2 15.562 16.10000

三、解答題

17. 解（Ⅰ）當n=1時，a1=S1=1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=nn+12-

n-1n2=n，經(jīng)驗證，a1=1滿足上式，故數(shù)列an的通項公式an=n.

（Ⅱ）由題意，易得Tn=12+222+323+…+n2n，則12Tn=122+223+324+…+n2n+1，兩式相減，得Tn-12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，所以Tn=2-n+22n.由于Tn+1-Tn=n+12n+1>0，則Tn單調(diào)遞增，故Tn≥T1=12，又Tn=2-n+222<2，故Tn的取值范圍是12，2.

18.解（Ⅰ）甲投籃三次恰好得三分即1次投中2次未投中，∵甲投籃三次投中的次數(shù)x～B3，13，∴Px=1=C13×13×1-132=49，甲投籃三次恰好得三分的概率為49.

（Ⅱ）設(shè)甲投中的次數(shù)為m，乙投中的次數(shù)為n，則

①當m=0，n=2時，X=-6，PX=-6=23×C22×142=124；

②當m=1，n=2或m=0，n=1時，X=-3， PX=-3=13×142+23×C12×14×34=1348 ；

③當m=1，n=1或m=0，n=0時，X=0，PX=0=13×C12×14×34+23×C02×342=12.

④當m=1，n=0時，X=3，PX=3=13×C02×342=316.

∴X的分布列為

X-6-303

P124

134812

316

19. 解（Ⅰ）當M是線段AE的中點時，AC∥平面DMF.證明如下：

如圖4，連接CE，交DF于N，連接MN，由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，由于MN平面DMF，又AC平面DMF，所以AC∥平面DMF.（Ⅱ）方法一如圖5，過點D做平面DMF與平面ABCD的交線l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，過點M做MG⊥AD于G.

因為平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，則平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，過G做GH⊥l于H，連接MH，則直線l⊥平面MGH，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角.設(shè)AB=2，則DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×25=25，MG=12DE=1，則MH=252+12=35，故cos∠MHG=GHMH

=25÷35=23，即所求銳二面角的余弦值為23.

方法二因為平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，分別以DA，DC，DE的方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.如圖6所示.

設(shè)AB=2，則M1，0，1，F(xiàn)0，4，2，DM=1，0，1，DF=0，4，2，設(shè)平面MDF的法向量為n1=x，y，z，則n1·DM=0，n1·DF=0，即x+z=0且4y+2z=0，令y=1，得平面MDF的一個法向量n1=2，1，-2，取平面ABCD的法向量n2=0，0，1，由n1·n2=|n1||n2|cos可以得到cos=23.故所求銳二面角的余弦值為23.

20.解（Ⅰ）由題意得，x-12+y2x-4=12，化簡得x24+y23=1，即軌跡E為焦點在x軸上的橢圓.

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.∵OA·OB=OP+PA·OP+PB=OP2+OP·PB+PA·OP+PA·PB，由題意知，OP⊥AB，故OP·PB=0，PA·OP=0，∴OA·OB=OP2+PA·PB=

OP2-AP·PB=0.

假設(shè)滿足條件的直線m存在，①當直線m的斜率不存在時，則m的方程為x

=±2，代入橢圓x24+y23=1，得y=±62，∴OA·OB=x1x2+y1y2=2-64

≠0，這與OA·OB=0矛盾，故此時m不存在. ②當直線的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y=kx+b，∴OP=b1+k2=2，即b2=2k2+2.聯(lián)立x24+y23=1與y=kx+b可得3+4k2x2+8kbx+4b2-12=0，∴x1+x2=-8kb3+4k2，x1x2=

4b2-123+4k2，y1y2=kx1+bkx2+b=k2x1x2+kbx1+x2+b2=3b2-12k23+4k2，∴OA·OB=x1x2+y1y2=4b2-123+4k2+3b2-12k23+4k2=0，∴7b2-12k2-12=0，又∵b2=2k2+2，∴2k2+2=0，該方程無解，即此時直線m也不存在.

綜上所述，不存在滿足條件的直線m.

21.解（Ⅰ）∵fx=12ax2lnx，∴f ′x=axlnx+12ax=12ax2lnx+1（x>0，a>0），由f ′x>0得x>e-12；由f ′x<0，得0

0，e-12上單調(diào)遞減，在e-12，+∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)fx的極小值為fe-12=-a4e，無極大值.

（Ⅱ）gx=12x2-alnx+a-1x，則g′x=x-ax+a-1=x2+a-1x-ax=x+ax-1x，令g′x=0，∵a>0，解得x=1或x=-a（舍去），當01時，g′x>0，gx在1，+∞上單調(diào)遞增.函數(shù)gx在區(qū)間1e，e內(nèi)有兩個零點，只需g1<0，g1e>0，ge>0，∴a>2e-12e2+2e，a<12，a>2e-e22e-2，故實數(shù)a的取值范圍為2e-12e2+2e，12.

（Ⅲ）問題等價于x2lnx>x2ex-34，由（Ⅰ）知

fx=x2lnx的最小值為-12e.

設(shè)hx=x2ex-34，h′x=-xx-2ex，易知hx在0，2上單調(diào)遞增，在2，+∞上單調(diào)遞減，

∴hxmax=h2=4e2-34.

∵-12e-4e2-34

=34-12e-4e2

=3e2-2e-164e2=3e-8e+24e2>0，

∴fxmin>

hxmax，x2lnx>x2ex-34，故當x>0時，lnx+34x2-1ex>0.

22.解（Ⅰ）圓C1的極坐標方程為ρ=2，圓C2的極坐標方程為ρ=4cosθ，由ρ=2，ρ=4cosθ得ρ=2，θ=2kπ±π3，其中k∈Z，故圓C1與圓C2交點的極坐標為

2，2kπ+π3，2，2kπ-π3，其中k∈Z.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圓C1與圓C2的交點在直角坐標系下的坐標為1，3，1，-3，故圓C1與圓C2公共弦的參數(shù)方程為x=1，y=t（-3≤t≤3）.

23.解（Ⅰ）不等式fx>02x+1>x-3，兩邊平方得4x2+4x+1>x2-6x+9，即3x2+10x-8>0，解得x<-4或x>23，所以原不等式的解集為x|x<-4或x>23.

（Ⅱ）不等式a-3x-3

（收稿日期：2016-12-12）