張宏偉（特級(jí)教師）

“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則是小學(xué)計(jì)算法則推導(dǎo)中的一個(gè)難點(diǎn)。這部分內(nèi)容到底該如何編排和教學(xué)才更為科學(xué)、更為嚴(yán)謹(jǐn)、更為簡(jiǎn)潔，更便于學(xué)生自己研究、理解和掌握呢？筆者對(duì)現(xiàn)行幾種版本的編排進(jìn)行了對(duì)比研究和分析，并找到了一種全新的設(shè)計(jì)方案，經(jīng)過教學(xué)驗(yàn)證，效果非常好?，F(xiàn)把筆者的一些想法和做法寫下來與大家分享和交流，不當(dāng)之處還請(qǐng)各版本教材編者和教師指正。

一、各版本教材編排的對(duì)比和分析

現(xiàn)行教材的編排綜合起來大致有四類不同的編排思路：

第一類是借助解決實(shí)際問題，用“實(shí)證”的方法進(jìn)行推導(dǎo)。代表的版本有北京版教材（六年級(jí)上冊(cè)第 18、19頁(yè)）、人教版教材（六年級(jí)上冊(cè)第31頁(yè)、32頁(yè)）等。下面以北京版教材例題3為例進(jìn)行分析。

該類教材編排的推導(dǎo)過程分為五步：第一步，基于學(xué)過的數(shù)量關(guān)系類推出解決問題的除法算式；第二步，通過畫圖分析把除法應(yīng)用題轉(zhuǎn)換成用連乘法解決的問題；第三步，基于除法算式和連乘算式都是解決同一個(gè)問題，建立除法算式和連乘算式的相等關(guān)系；第四步，利用乘法結(jié)合律把后面兩個(gè)數(shù)相乘，得到除數(shù)的倒數(shù)，實(shí)現(xiàn)“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的轉(zhuǎn)化；第五步，學(xué)生依據(jù)舉的例子類推和驗(yàn)證，進(jìn)行不完全歸納，“發(fā)現(xiàn)”和總結(jié)計(jì)算規(guī)律（法則）。

筆者認(rèn)為這種類推有三點(diǎn)局限：一是特別的“繞”，很多學(xué)生在接近10次的列式、畫圖、分析的迂回中被繞迷糊了，以至于很多學(xué)生理解起來倍感困難。二是第三步“強(qiáng)硬地”使用乘法分配律把后面兩個(gè)數(shù)先相乘，不是學(xué)生內(nèi)心的需要、不是計(jì)算必需的，是為了證明而不得已刻意為之，學(xué)生并不能從心底比較“舒服”“自然”地認(rèn)同，更不是學(xué)生自己的生成，是被強(qiáng)迫地順應(yīng)。三是沒有從數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯地進(jìn)行數(shù)理推理和證明，不符合數(shù)學(xué)“簡(jiǎn)潔”的追求，無(wú)論是教師、還是學(xué)生總有一種不完美、不完善、不透徹的感覺。

第二類是借助“實(shí)證式的具體、形象、真實(shí)的圖形”和類推進(jìn)行證明。代表版本是北師大版教材（六年級(jí)上冊(cè)第57、58頁(yè)）和蘇教版教材（六年級(jí)上冊(cè)第56、57頁(yè)）。

該類教材編排先是讓學(xué)生借助分析實(shí)際問題中的“具體、形象、真實(shí)的圖形（餅、長(zhǎng)方形和條形圖）”“看到”除以幾分之一，就等于乘以幾（即幾分之一的倒數(shù)），然后再直接類推到“除以幾分之幾，也等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。

這種編排也有兩點(diǎn)局限：一是除以幾分之一，還是實(shí)例驗(yàn)證性的研究，沒有從數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯推理和證明“為什么除以幾分之一等于乘以幾”。二是類推到除以幾分之幾，是強(qiáng)行的類推，沒有編排驗(yàn)證這種類推是否正確的環(huán)節(jié)，而數(shù)學(xué)的類推本身也是需要證明的，因?yàn)橛械念愅剖浅闪⒌模械念愅埔部赡懿怀闪ⅰ＿@對(duì)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性而言，是有疏漏、缺憾的?？梢赃@樣補(bǔ)救：比如，編排可以化成小數(shù)計(jì)算的分?jǐn)?shù)除法驗(yàn)證，或者化成同分母分?jǐn)?shù)，以包含分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相除的方式證明這種類推是正確的（見下面浙教版例題1）。

第三類以青島版教材（六年級(jí)上冊(cè)第 23、24頁(yè)）為代表。

這種教材編排和第一類（北京版）編排類似，也是從解決實(shí)際問題入手，“從生活到數(shù)學(xué)的推導(dǎo)路徑”——共分三個(gè)模塊進(jìn)行。第一個(gè)模塊先解決整數(shù)除以幾分之一，通過對(duì)問題的分析和轉(zhuǎn)換，找到實(shí)際解決這個(gè)除式的乘法算式（整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)），讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)除以幾分之一等于這個(gè)整數(shù)乘以幾（即這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)）。第二個(gè)模塊解決整數(shù)除以幾分之幾，通過對(duì)實(shí)際問題分析和轉(zhuǎn)換，找到解決這個(gè)問題的另一個(gè)算式 a×b÷c，再 b÷c 轉(zhuǎn)化。第三個(gè)模塊讓學(xué)生自己借助統(tǒng)一問題，仿照模塊二分析，導(dǎo)出一個(gè)數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)的算法。

這種編排存在的問題和第一類基本相同（模塊二對(duì)b÷c的處理手法和第一類編排的第三步如出一轍），而且整個(gè)分析和轉(zhuǎn)化的過程更加生澀、難懂。

第四類，以浙教版教材（五年級(jí)下冊(cè)第56、57頁(yè)）為代表。

該教材編排從兩條不同的路徑進(jìn)行了證明：

第一條路徑是結(jié)合解決問題，引導(dǎo)學(xué)生把分?jǐn)?shù)除法先轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)除法，再轉(zhuǎn)化成“包含分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)”相除（即分子相除）；最后再和第二個(gè)因數(shù)是除數(shù)的倒數(shù)的乘法算式比較計(jì)算結(jié)果，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)”和“乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”計(jì)算結(jié)果總是一樣的，得出“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的結(jié)論。

第二條路徑是利用“商不變的性質(zhì)”，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以除數(shù)的倒數(shù)，將除數(shù)轉(zhuǎn)化為1來推導(dǎo)。

筆者感覺這類教材的編排更有新意、更簡(jiǎn)潔，也比較容易理解。但是也有兩點(diǎn)值得商榷：一是第一條路徑還是直接對(duì)比除的結(jié)果、和乘以倒數(shù)的結(jié)果，硬性地給予，不是學(xué)生自己能想到的（大多數(shù)不會(huì)想到和乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的乘法算式對(duì)比）。二是第二條路徑是把整數(shù)商不變的規(guī)律直接強(qiáng)硬地類推到分?jǐn)?shù)除法，沒有證明這種類推是成立的（數(shù)學(xué)的類推本身也需要證明）。三是這種“空降式”類推也是大多數(shù)學(xué)生自己想不到的，不是自己“生長(zhǎng)”的結(jié)果。

二、教學(xué)新設(shè)計(jì)

鑒于以上課程編排存在的問題，筆者對(duì)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的法則推導(dǎo)這部分內(nèi)容的教學(xué)重新進(jìn)行了設(shè)計(jì)和編排，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)了一種新的課程教學(xué)方案——從倒數(shù)的意義和乘除混合運(yùn)算的計(jì)算規(guī)律入手進(jìn)行推導(dǎo)。這是一種非常簡(jiǎn)便而又完備的數(shù)理證明方案。同時(shí)，筆者還保留了通過解決問題進(jìn)行實(shí)證的編排內(nèi)容（如北京版的推導(dǎo)方式），但是筆者把它后置到設(shè)計(jì)的課程之后，成為選學(xué)式的補(bǔ)充內(nèi)容，為學(xué)生提供從另一種角度探索和理解的路徑。把浙教版的第二種路徑編輯為課外拓展閱讀材料，后置到學(xué)生學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)除法計(jì)算之后，并融入到學(xué)生證明整數(shù)、小數(shù)的商不變的性質(zhì)適用于分?jǐn)?shù)除法的發(fā)現(xiàn)之中。

筆者的這個(gè)課程和教學(xué)設(shè)計(jì)，經(jīng)過課堂實(shí)踐，收到非常好的教學(xué)效果。下面，將課程和教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述如下：

模塊一：暢想算法。（單獨(dú)一頁(yè)，第一頁(yè)）

學(xué)生自己想辦法嘗試計(jì)算下面各題，看看能想到多少種不同的算法。（單獨(dú)一頁(yè)，留足空間，讓學(xué)生盡情暢想和創(chuàng)造）

實(shí)際教學(xué)中學(xué)生嘗試結(jié)果如下：

第1題全部學(xué)生都想到了把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，順利完成了計(jì)算。第2、3、4題一部分學(xué)生嘗試把分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)，不能解決；一部分學(xué)生把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，取近似值，算出近似的商。全體學(xué)生遇到“化成小數(shù)不行”這個(gè)障礙后都能正確得出第3題的結(jié)果，并能從里包含里有2個(gè)，或者推出商是2。部分學(xué)生受此啟發(fā)自覺把第2、3題化成同分母分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的相除；沒有學(xué)生使用“把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同倍數(shù)使除數(shù)變成1”的策略；更多的學(xué)生通過提前預(yù)覽教材、父母教學(xué)以及通過其他途徑“知道”除以一個(gè)分?jǐn)?shù)可以變成乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來計(jì)算，但是不能解釋為什么可以這樣算。

模塊二：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找證明途徑。（單獨(dú)一頁(yè)，第二頁(yè)）

激勵(lì)性過渡導(dǎo)語(yǔ)：完成下面的這個(gè)“發(fā)現(xiàn)”項(xiàng)目，你就能解釋為什么“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)可以變成乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。

1.下面的題目除了按照從左到右的順序外，你還可以怎樣計(jì)算？

78×5÷5 43×24÷12

32×1÷0.517×1÷0.25

39×1÷10

2.你有什么發(fā)現(xiàn)？

（先乘后除的混合運(yùn)算，可以先除后乘，結(jié)果不變）

3.自己舉例試一試。

4.變式應(yīng)用。

14÷0.5還可以怎樣計(jì)算？為什么？31÷0.1呢？1.1÷0.2呢？

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生都能正確轉(zhuǎn)化成乘法進(jìn)行計(jì)算，并能條理正確地解釋和闡述自己的推導(dǎo)過程：如14÷0.5=14×2，因?yàn)?4÷0.5=14×1÷0.5=14×（1÷0.5）=14×2。

模塊三：證明一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的統(tǒng)一算法。（第三頁(yè)）

1.根據(jù)上一頁(yè)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律想一想，如果把1.1÷0.2改成，你還可以怎么算？

3.思考：甲÷乙 =？（乙≠0）可以怎樣算？

學(xué)生順利完成自己的一般化的推理過程：甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）=甲×乙的倒數(shù)（乙≠0）。

模塊四：自主研究或者自學(xué)其他推導(dǎo)方案。

學(xué)生可以根據(jù)自己的情況自己選擇完成拓展探究：

1.自由研修：嘗試獨(dú)立探索其他能證明“甲÷乙=甲×乙的倒數(shù)（乙≠0）”的方法。

2.必選研修：提供“北京版教材（六年級(jí)上冊(cè)第18、19頁(yè)）和浙教版教材（五年級(jí)下冊(cè)第56、57頁(yè)）的復(fù)印頁(yè)，學(xué)生自選一種版本（或兩種都選），自學(xué)這種版本教材的推導(dǎo)方案，并能給同學(xué)們講明白。

三、課后反思與評(píng)價(jià)

經(jīng)過課后反思，筆者認(rèn)為這個(gè)課程和教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了以下五點(diǎn)預(yù)期目標(biāo)：

1.學(xué)生在模塊一中，自己暢想和嘗試多種算法，親身經(jīng)歷和體驗(yàn)了算法的多樣化，他們能從不同的算法中得到智慧的啟迪，增強(qiáng)了從不同的角度解決問題的意識(shí)和能力，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，同時(shí)各種方法之間又能互相證明。

2.這個(gè)課程和教學(xué)設(shè)計(jì)真正打通了除法運(yùn)算和倒數(shù)意義的內(nèi)在關(guān)系。倒數(shù)的意義是“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”，即“1除以任何不為零的數(shù)就得到這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）正是對(duì)學(xué)生前面學(xué)習(xí)倒數(shù)的真正充分的應(yīng)用。加深了對(duì)倒數(shù)意義和學(xué)習(xí)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系與和諧之美。

3.這個(gè)課程和教學(xué)設(shè)計(jì)真正實(shí)現(xiàn)了——利用數(shù)學(xué)內(nèi)在概念和規(guī)律（倒數(shù)的意義、乘除混合運(yùn)算順序的規(guī)律），從數(shù)理的角度（即從“數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)”的角度）進(jìn)行簡(jiǎn)潔、完備、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗妥C明。它和后置的從實(shí)際問題出發(fā)的實(shí)證，即從“生活→數(shù)學(xué)”互相補(bǔ)充和印證，形成了一個(gè)完整的證明系統(tǒng)，讓學(xué)生對(duì)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則有了更為立體、完整的全景認(rèn)識(shí)和理解。

4.這個(gè)課程和教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)明易懂，教學(xué)中有利于學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去推導(dǎo)，學(xué)生理解也更深刻，掌握也更扎實(shí)。

5.模塊四提供了可選擇的拓展課程，讓學(xué)生在從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的推理證明的基礎(chǔ)上，又明晰了兩種教材上的“從生活到數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)化過程”，進(jìn)一步體會(huì)到可以從不同的路徑證明和研究“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，體驗(yàn)到多角度地刻畫和思考的分散和統(tǒng)一之美，感悟到數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性。同時(shí)，也能在一定程度上實(shí)現(xiàn)“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展”的理念，在一定程度上關(guān)照到了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的個(gè)性。