王朝祥

(北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

導(dǎo)數(shù)在高中物理中的應(yīng)用*

王朝祥

(北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

函數(shù)對(duì)自變量的瞬時(shí)變化率，稱為導(dǎo)數(shù).在日常教學(xué)中將導(dǎo)數(shù)思想滲透入物理課堂，能深化對(duì)物理概念和規(guī)律的理解，把握物理知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)引入導(dǎo)數(shù)，能有效解決物理量的非均勻變化問(wèn)題、極值問(wèn)題，有利于提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力.

導(dǎo)數(shù) 瞬時(shí)變化率 極值問(wèn)題

微積分的創(chuàng)立為人們研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.

人教版高中數(shù)學(xué)教材選修2-2講授了導(dǎo)數(shù)的概念，介紹了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，這為高中物理學(xué)習(xí)提供了全新的數(shù)學(xué)方法.筆者在日常教學(xué)中嘗試著將導(dǎo)數(shù)思想滲透到物理課堂，教學(xué)效果良好，現(xiàn)與讀者分享.

1 導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義

函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率，稱為函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)，即

導(dǎo)數(shù)f′(x0)反映函數(shù)y=f(x)在x=x0處的增減趨勢(shì)和變化快慢.在圖像中，導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為：曲線y=f(x)在x=x0處切線的斜率.

2 結(jié)合導(dǎo)數(shù)思想深化對(duì)物理概念和規(guī)律的理解

高中物理中，很多物理量都是通過(guò)變化率定義的，如：速度是位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度是速度對(duì)時(shí)間的變化率，力是動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，功率是能量對(duì)時(shí)間的變化率，電流是電荷量對(duì)時(shí)間的變化率，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是磁通量對(duì)時(shí)間的變化率.

學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)以后，學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)對(duì)自變量的瞬時(shí)變化率.教師不妨引導(dǎo)學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的角度重新認(rèn)識(shí)瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、瞬時(shí)功率、瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等物理量，這樣能深化學(xué)生對(duì)物理概念、物理規(guī)律的理解，把握物理知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)方法與物理思想的完美結(jié)合.

例如，在高中物理教材中，法拉第電磁感應(yīng)定律的呈現(xiàn)形式為

在學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算法則后，可以將定律拓展到磁感應(yīng)強(qiáng)度B與有效面積S都隨時(shí)間變化的復(fù)雜問(wèn)題，此時(shí)磁通量

Φ=B(t)S(t)

代入法拉第電磁感應(yīng)定律可得

然后分3種情況討論：

(1)若磁場(chǎng)恒定，即

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

這種由于回路面積變化而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).

(2)若回路的面積保持不變，即

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

這種由于磁感應(yīng)強(qiáng)度變化而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱感生電動(dòng)勢(shì).

(3)若B和S都隨時(shí)間變化，此時(shí)既有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)又有感生電動(dòng)勢(shì)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是二者的疊加.(參見(jiàn)2003年高考江蘇卷第18題)

上述拓展在借助數(shù)學(xué)方法打開(kāi)學(xué)生思路的同時(shí)不忘回扣課本知識(shí)，有助于學(xué)生準(zhǔn)確地理解法拉第電磁感應(yīng)定律的內(nèi)涵.

3 利用導(dǎo)數(shù)思想拓展解決問(wèn)題的思路

分析和解決實(shí)際物理問(wèn)題的過(guò)程離不開(kāi)數(shù)學(xué)方法.將導(dǎo)數(shù)思想引入物理教學(xué)，能有效拓寬學(xué)生的思路，并能化解僅用初等數(shù)學(xué)知識(shí)難以解決的問(wèn)題，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力.現(xiàn)結(jié)合一些常見(jiàn)問(wèn)題舉例說(shuō)明.

3.1 利用導(dǎo)數(shù)描述和研究物理量的非均勻變化

【例1】如圖1所示，A，B兩物體通過(guò)不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩跨過(guò)定滑輪相連，物體A在拉力F作用下沿水平地面勻速向右運(yùn)動(dòng)，判斷繩子彈力大小的變化情況.

圖1 例1題圖

分析：將物體A的速度記為vA，當(dāng)右側(cè)繩子與豎直方向夾角為θ時(shí)，根據(jù)速度的合成與分解求得，物體B的速度大小vB=vAsinθ.

將vB對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得物體B的加速度大小

aB=vB′=vAωcosθ

分析物體B的受力情況，由牛頓第二定律得，繩子彈力T=mB(g+aB).

由題意，物體A向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，繩子與豎直方向的夾角θ增大，繩子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω減小，物體B的加速度aB減小， 因此繩子的彈力T逐漸減小.

點(diǎn)評(píng)：本題中物體B的速度vB隨時(shí)間非均勻變化，利用初等數(shù)學(xué)方法難以計(jì)算其加速度，引入導(dǎo)數(shù)后，其加速度的計(jì)算迎刃而解.

3.2 利用導(dǎo)數(shù)研究物理極值問(wèn)題

【例2】如圖2所示，真空中相距為2r的M，N兩點(diǎn)處分別放置等量的正點(diǎn)電荷，電荷量大小為Q，求兩電荷連線的中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的極大值.

圖2 例2題圖

分析：取兩電荷連線的中垂線上任意點(diǎn)A，將AM與MN的夾角記為θ，A點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為

將E對(duì)θ求導(dǎo)

點(diǎn)評(píng)：若函數(shù)在某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)在該點(diǎn)取極小值；若函數(shù)在某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)在該點(diǎn)取極大值.本題中，場(chǎng)強(qiáng)E是以θ為自變量的函數(shù)，請(qǐng)讀者自行計(jì)算E對(duì)θ的二階導(dǎo)數(shù)，體會(huì)函數(shù)的極值條件.

*北京市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“高中創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班物理與數(shù)學(xué)課程整合實(shí)踐研究”成果之一，項(xiàng)目編號(hào)：DBB15072

王朝祥(1977- )，男，中教高級(jí)，主要從事中學(xué)物理教學(xué)及研究.

2016-10-26)