王學紅
【教學內容】
蘇教版第九冊第108~109頁《釘子板上的多邊形》。
【教學過程】
一、回顧舊知,激活經(jīng)驗
談話:同學們,我們已經(jīng)學會了一些圖形的面積計算。這些多邊形的面積你會計算嗎?需要知道哪些條件?
出示:
師:看來計算多邊形面積要知道邊的長度。
計算:(補充數(shù)據(jù))學生口答多邊形的面積。
【設計意圖:課始通過出示這4個多邊形,喚醒學生研究多邊形面積的經(jīng)驗。通過補充邊的長度并計算面積,不僅回顧了計算多邊形面積的常用方法,更重要的是引領學生發(fā)現(xiàn)常用的方法都是通過“邊的長度”這一途徑的?!?/p>
二、另辟蹊徑,探索規(guī)律
1.明確探索路徑。
激疑:換個角度,不通過邊的長度來計算多邊形的面積,是否還有別的方法呢?
播放微視頻,介紹皮克定理:1899年,奧地利的數(shù)學家皮克發(fā)現(xiàn)了計算多邊形面積的另一條路徑。他將多邊形放到格點中研究,發(fā)現(xiàn)多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)、邊內釘子數(shù)之間的規(guī)律,并進行了證明。這個規(guī)律被稱為“皮克定理”,被譽為史上“最重要的100個定理”之一。
揭題:多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)、邊內釘子數(shù)到底有什么關系呢?今天這節(jié)課就讓我們共同來探索這其中的奧秘吧?。ò鍟哼厓柔斪訑?shù)、邊上釘子數(shù)、多邊形面積)
2.自主探索內部只有1枚釘子的多邊形。
(1)觀察猜想。
師:(在原來的圖形下出現(xiàn)釘子板)還以剛才的4個圖形為例,換個角度思考,你能從中發(fā)現(xiàn)什么?獨立完成1號研究單。
我發(fā)現(xiàn):()
(2)自主驗證。
師:這個發(fā)現(xiàn)對不對呢?怎么辦?自己再舉幾個這樣的例子驗證驗證!為了研究的方便,我們把釘子板換成點子圖。請同學們在點子圖中再畫幾個這樣的多邊形,數(shù)一數(shù),算一算。
(學生驗證交流)
預設一:學生畫出的是邊內只有1枚釘子的圖形,驗證成立。
預設二:學生畫出的圖形不符合規(guī)律,驗證不了。
觀察比較:(對比兩種情況)這是為什么呢?
完善規(guī)律:邊內只有1枚釘子時,多邊形面積等于邊上釘子數(shù)除以2。
(3)符號表達。
師:如果用S表示多邊形的面積,n表示多邊形邊上的釘子數(shù),這個規(guī)律可以用字母怎么表達?用字母表達感覺怎么樣?
3.分組探究內部有0枚、2枚、3枚、4枚……情況。
過渡:多邊形內不是1枚釘子又會有什么規(guī)律呢?想試一試嗎?小組商量一下,你們想研究哪種情況?
(1)小組合作,探索規(guī)律。(完成2號研究單)
合作要求:①畫一畫:每人畫一個內有()枚釘子的多邊形。
②填一填:算出多邊形面積,數(shù)出邊上釘子數(shù),完成表格。
③說一說:觀察分析,你能從中發(fā)現(xiàn)什么共同之處?
④試一試:再舉幾個例子試一試,是否符合這一規(guī)律?
邊上釘子數(shù)(枚) 多邊形面積(平方厘米)邊內有()枚釘子。2 3 4 3.5
我發(fā)現(xiàn):()
(2)大組交流,合成規(guī)律。
師:要讓自己變聰明,首先,我們要學會由一個想到許多個。例如我們由內部只有1枚釘子,想到了0枚、2枚、3枚、4枚……我們還要學會把許多個變成一個。
(學生分組匯報的過程中比較)這些看似不同的規(guī)律之間有聯(lián)系嗎?
邊內的釘子數(shù)(枚) 邊上釘子數(shù)(枚) 多邊形面積(平方厘米)0 n S=n÷2-1 1 n S=n÷2 2 n S=n÷2+1 3 S=n÷2+2 4 n S=n÷2+3 a n n
師:“換個角度,就有新路”。要求多邊形的面積,現(xiàn)在我們又多了一個途徑。只要知道——?如果用a表示邊內的釘子數(shù),這個多邊形面積S可以怎么表示?
4.應用規(guī)律,體會價值。
運用格點法計算海安七星湖的占地面積,體會其實際應用的價值。
【設計意圖:上述四個活動,是本課的“重頭戲”,圍繞三個問題展開教學:“多邊形面積計算的另一條路徑在哪里?”“這條路徑是什么?”“這一規(guī)律有什么用?”由簡單到復雜,由一般到概括,環(huán)環(huán)相扣,螺旋上升,讓學生在智力沖浪中發(fā)展規(guī)律。當然,作為探索規(guī)律的活動,注重的不僅是結論的得出,更重要的是過程的經(jīng)歷,經(jīng)驗的積累,以及“觀察比較——猜想驗證——得出結論”的科學研究方法的感悟。】
三、總結提煉,深化理解
提問:回顧本課探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程,你有哪些收獲?
小結:通過今天的學習,我們知道多邊形面積的計算不僅可以通過邊的長度來計算,還可以通過邊內、邊上的釘子數(shù)來計算。這兩種方法之間其實是相通的。將來同學們學的數(shù)學知識越來越多,就會明白其中的道理了。
四、拓展延伸,升華主題
【設計意圖:學生在課堂中運用不完全歸納法探索出規(guī)律,為研究多邊形面積又打開了一條新的路徑。從這一角度看,本課的學習價值更加重在對學生進行思維拓展啟迪,用八個字來概括,就是“換個思路,就有新路”。課尾微視頻的播放,讓學生回顧不僅在形的世界里,在數(shù)的世界里也有這樣的例子。從而讓學生真正感受的“換個角度,就有新路”的神奇魅力!綜觀整節(jié)課的教學,力求讓學生在規(guī)律之外感受到探索過程中獲得的方法,及其規(guī)律背后蘊含的思想價值?!?/p>