周紅玲，沈 林

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000)

應(yīng)用型本科院?！段⒎址匠虜?shù)值解》課程教學(xué)改革的若干舉措
——以黃淮學(xué)院為例

周紅玲，沈 林

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000)

針對(duì)黃淮學(xué)院微分方程數(shù)值解課程教學(xué)中存在的一些問(wèn)題， 對(duì)該課程的教學(xué)進(jìn)行了一些大膽的改革.主要介紹了課程在教學(xué)內(nèi)容重組、模塊化教學(xué)、實(shí)驗(yàn)教學(xué)、課程考核方式等方面的改革及其取得的成效.

微分方程數(shù)值解；應(yīng)用型；教學(xué)改革

微分方程數(shù)值解是我校數(shù)學(xué)科學(xué)系信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課程，主要包括有限差分法、有限體積法、有限元法、變分原理和sobolev空間等內(nèi)容的教學(xué).同時(shí)由于其應(yīng)用的廣泛性也是一些院校理工科專業(yè)高年級(jí)學(xué)生的選修課程.

1 我校微分方程數(shù)值解課程教學(xué)中主要面臨的問(wèn)題

自升為本科院校后， 我校數(shù)學(xué)科學(xué)系信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)即開設(shè)了微分方程數(shù)值解課程.2014年前，該課程的教學(xué)主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題：

第一，學(xué)時(shí)少內(nèi)容難。我校信息計(jì)算科學(xué)專業(yè)的微分方程數(shù)值解課程的總授課學(xué)時(shí)為54學(xué)時(shí)，采用教材為李榮華老師、劉播老師編寫的《微分方程數(shù)值解法(第四版)》，按照我校原教學(xué)大綱要求需講授常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法、橢圓型方程的有限差分法、拋物型方程的有限差分法、雙曲型方程的有限差分法、邊值問(wèn)題的變分形式與Ritz-Galerkin法、Galerkin有限元法的教學(xué)內(nèi)容， 而要完成以上內(nèi)容的教學(xué)至少需要96學(xué)時(shí)，因此任課老師在講授時(shí)只能把各章的部分重點(diǎn)講到位，不可能做到面面俱到， 學(xué)生在學(xué)完一章后不能有一個(gè)整體的把握， 只記住了部分的重點(diǎn)，不利于學(xué)生后期的發(fā)展.同時(shí)，由于微分方程數(shù)值解中各種差分格式推導(dǎo)的煩瑣性和各種格式相容性、穩(wěn)定性、收斂性證明的復(fù)雜性，使得微分方程數(shù)值解課程被學(xué)生公認(rèn)為本科階段最難學(xué)的課程之一，大部分學(xué)生反映學(xué)完微分方程數(shù)值解課程后， 只記住了幾個(gè)重要差分格式的收斂性等結(jié)論，而不知道具體怎么得來(lái)的，這有悖于我校現(xiàn)階段“厚基礎(chǔ)、重應(yīng)用”中“厚基礎(chǔ)”的原則.

第二，純理論課程學(xué)習(xí)積極性減弱。我校原微分方程數(shù)值解教學(xué)大綱中設(shè)定54學(xué)時(shí)均為理論學(xué)時(shí)，由于課時(shí)緊張，任課教師在授課時(shí)往往采用“滿堂灌”和“填鴨式”的教學(xué)方式，每一節(jié)課在簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)上一節(jié)課的重點(diǎn)后，馬上進(jìn)入下一節(jié)的講解，一章講解完后，處理一下作業(yè)，緊接著進(jìn)入下一章的講授.學(xué)生在學(xué)完一章后，只記得一些零碎的差分格式及相關(guān)結(jié)論，不知道這些知識(shí)點(diǎn)除了解題外， 還有什么用途，就使得老師教的辛苦，學(xué)生學(xué)得迷茫.這有悖于我?，F(xiàn)階段“厚基礎(chǔ)、重應(yīng)用”中“重應(yīng)用”的原則.

我?，F(xiàn)階段實(shí)行“3+1”的教學(xué)模式，而微分方程數(shù)值解課程開設(shè)于大三下半學(xué)期，也即是學(xué)生在校理論學(xué)習(xí)的最后一個(gè)學(xué)期.不考研的學(xué)生忙著選擇實(shí)習(xí)單位，而考研的學(xué)生忙著復(fù)習(xí)專業(yè)課，對(duì)于純理論課程的學(xué)習(xí)興趣不高，達(dá)不到教學(xué)效果.

針對(duì)我校微分方程數(shù)值解課程教學(xué)中存在的一些問(wèn)題，團(tuán)隊(duì)以堅(jiān)持“特色鮮明的應(yīng)用型本科高校”的辦學(xué)定位為指導(dǎo)思想，對(duì)我校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的微分方程數(shù)值解課程教學(xué)進(jìn)行了大膽改革.

2 我校微分方程數(shù)值解教學(xué)改革措施

2.1 重組教學(xué)內(nèi)容實(shí)行模塊化教學(xué)

由于我校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)大三上學(xué)期開設(shè)的計(jì)算方法課程中已經(jīng)詳細(xì)講解了常微分方程初邊值問(wèn)題的處理方法.因此，新的教學(xué)大綱中不在體現(xiàn)常微分方程初邊值問(wèn)題的數(shù)值解法.同時(shí)，在原有的54個(gè)學(xué)時(shí)中，團(tuán)隊(duì)拿出36個(gè)學(xué)時(shí)進(jìn)行理論教學(xué)，那么再按教材講解已無(wú)法完成教學(xué)任務(wù).因此，團(tuán)隊(duì)對(duì)剩余教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重組，并分5個(gè)教學(xué)單元進(jìn)行教學(xué).其中，教學(xué)單元1和5采用傳統(tǒng)教學(xué)方式，教學(xué)單元1主要講授微分方程數(shù)值解課程研究?jī)?nèi)容與考核方法；回顧常微分方程初邊值問(wèn)題的數(shù)值解法和偏微分方程等相關(guān)知識(shí)，為學(xué)生學(xué)好該課程打好基礎(chǔ).在教學(xué)單元5的教學(xué)中，團(tuán)隊(duì)弱化了教材中第5章邊值問(wèn)題的變分形式與Ritz-Galerkin法的講解，重點(diǎn)讓學(xué)生掌握變分原理和一些簡(jiǎn)單的sobolev空間， 為學(xué)生的深造打下基礎(chǔ).重組后，團(tuán)隊(duì)主要講授3種方法：有限差分法(教學(xué)單元2)、有限體積法(教學(xué)單元3)、有限元法(教學(xué)單元4)，其中重點(diǎn)講授有限差分方法，具體課時(shí)分配及教學(xué)單元內(nèi)容見表1.

表1 微分方程數(shù)值解教學(xué)單元及理論教學(xué)學(xué)時(shí)分配

為了適應(yīng)現(xiàn)階段應(yīng)用型教學(xué)需求，有限差分法、有限體積法、有限元法采用模塊化教學(xué).例如有限差分法，主要從拋物型方程的有限差分法、橢圓型方程的有限差分法、雙曲型方程的有限差分法等3個(gè)模塊開展教學(xué)，每個(gè)模塊的教學(xué)都設(shè)置了4個(gè)相同的教學(xué)過(guò)程：區(qū)域剖分、方程離散、初始和邊界處理、性態(tài)研究，通過(guò)4個(gè)過(guò)程的學(xué)習(xí)，完成模塊的學(xué)習(xí)(圖1).對(duì)于各過(guò)程的教學(xué)，團(tuán)隊(duì)也作了詳細(xì)的設(shè)置，區(qū)域剖分重點(diǎn)讓學(xué)生學(xué)會(huì)矩形網(wǎng)的剖分和三角網(wǎng)的剖分；方程離散重點(diǎn)讓學(xué)生掌握向前差分格式、向后差分格式、Crank-Nicolson差分格式；初始和邊界處理主要講授Dirichlet邊界、Neumann邊界、混合邊界以及初始條件的處理.性態(tài)研究主要讓學(xué)生了解各種差分格式穩(wěn)定性、收斂性、收斂速度、誤差分析(表2).由于3個(gè)模塊的教學(xué)過(guò)程完全一致，因此只需將第1個(gè)模塊的過(guò)程講透徹， 剩下的2個(gè)項(xiàng)目的教學(xué)就比較容易了.

圖1 有限差分法模塊化教學(xué)安排結(jié)構(gòu)

表2 模塊化教學(xué)各過(guò)程知識(shí)點(diǎn)安排

教學(xué)過(guò)程知識(shí)點(diǎn) 區(qū)域剖分方程的離散初始和邊界的處理性態(tài)研究1矩形網(wǎng)向前、向后差分格式Dirichlet邊界穩(wěn)定性2三角網(wǎng)Richardson差分格式Neumann邊界收斂性3正六邊形網(wǎng)Crank-Nicolson差分格式混合邊界收斂速度4DuFort-Frankel差分格式初始條件誤差分析

2.2 理論教學(xué)中融入實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)

由于微分方程數(shù)值解課程理論性較強(qiáng)，為了使學(xué)生更好地掌握各教學(xué)過(guò)程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，新教學(xué)大綱中，設(shè)置了18個(gè)學(xué)時(shí)的實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)(實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)安排見表3).實(shí)驗(yàn)教學(xué)分為熱傳導(dǎo)方程數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)、Poisson方程數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)、波動(dòng)方程數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)3個(gè)單元，每個(gè)實(shí)驗(yàn)單元6個(gè)學(xué)時(shí).例如，在熱傳導(dǎo)方程數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置的實(shí)驗(yàn)題目是：

求解一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題[1]141

ux(0,t)=ux(1,t)=0,t>0,

u(x,0)=cosπx,0

表3 微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)分配

通過(guò)設(shè)置的實(shí)驗(yàn)可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)熱傳導(dǎo)方程有限差分法、有限體積法、有限元法的掌握.同時(shí)，也使得學(xué)生能夠系統(tǒng)的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

2.3 完善課程考核方式

課程的考核在教學(xué)環(huán)節(jié)中至關(guān)重要.課程考核不僅是檢驗(yàn)學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的程度，也是考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的手段[2]5.我校微分方程數(shù)值解課程為考試課程，考核方式采用“6+2+2”方式.即“期終考試成績(jī)+實(shí)驗(yàn)成績(jī)+作業(yè)考勤成績(jī)”，各自的比重60%、20%、20%.

期終考試是評(píng)估教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)水平的重要手段之一.根據(jù)課程的教學(xué)性質(zhì)、教學(xué)目的、教學(xué)要求，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基本概念、常用差分格式和差分格式分析的掌握情況，特別對(duì)差分格式的應(yīng)用性進(jìn)行考核，以促進(jìn)學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識(shí)并強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[3]29， [4]124-125.我校微分方程數(shù)值解課程期終考試的題型一般有選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題、綜合分析題等五種題型，試卷整體綜合性強(qiáng)且考察知識(shí)面廣.

實(shí)驗(yàn)成績(jī)主要取決于學(xué)生上交的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，根據(jù)實(shí)驗(yàn)大綱中各個(gè)實(shí)驗(yàn)的要求，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，論文撰寫能力，程序編寫能力等[5]96-97， [6]91-92.同時(shí)，任課老師通過(guò)作業(yè)的批閱和平時(shí)課堂考勤可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題， 并予以糾正，達(dá)到敦促學(xué)生學(xué)習(xí)的目的.

3 結(jié)語(yǔ)

近兩年的教學(xué)改革和實(shí)踐，得到了學(xué)生和院系的認(rèn)可.學(xué)生們感覺采用這種教學(xué)模式不僅有利于學(xué)習(xí)微分方程數(shù)值解的各種差分格式，而且對(duì)實(shí)際問(wèn)題處理的能力也有所提高， 激發(fā)了他們學(xué)習(xí)該課程的興趣，同時(shí)拓展了他們的數(shù)學(xué)視野.院系老師也一致認(rèn)為微分方程數(shù)值解課程在教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)教學(xué)、考核方式等方面進(jìn)行了大膽的改革與實(shí)踐， 并取得了一定的成效.在后期的教學(xué)實(shí)踐中團(tuán)隊(duì)將進(jìn)一步完善模塊化教學(xué)，利用學(xué)校資源實(shí)現(xiàn)教學(xué)手段現(xiàn)代化，努力使我校微分方程數(shù)值解的教學(xué)改革更徹底、更完善.

[1] 李榮華， 劉 播.微分方程數(shù)值解法[M].4版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 張宏偉.注重培養(yǎng)研究能力的《微分方程數(shù)值解法》課程教學(xué)研究與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22(06).

[3] 廉海榮，趙琳琳， 陳瑞閣，等.關(guān)于“微分方程數(shù)值解”課研究型教學(xué)模式的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28(05).

[4] 楊 韌，楊光崇，謝海英.“微分方程數(shù)值解”的教學(xué)研究與實(shí)踐[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(01).

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[6] 王保軍，王景泉，徐國(guó)東.微分方程數(shù)值解教學(xué)實(shí)踐的探究[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，09(12).

[責(zé)任編輯 梧桐雨]

2016-08-09

河南省教育廳教師教育課程改革研究項(xiàng)目“中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開發(fā)設(shè)計(jì)與實(shí)施策略研究”(2016-JSJYYB-185)

周紅玲(1981- )，女，河南西平人，黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，碩士，主要從事偏微分方程及其可視化研究。

G642;O241.8

A

1671-8127(2017)01-0085-04