賴劼

（廣東技術(shù)師范學(xué)院天河學(xué)院，廣東廣州 510540）

1948年荷蘭物理學(xué)家亨德里克·卡西米爾提出了Casimir效應(yīng) （卡西米爾效應(yīng)）[1],即兩塊靠得足夠近的金屬板將會(huì)產(chǎn)生相互吸引的現(xiàn)象，這個(gè)吸引力被稱作Casimir力：

它由普朗克常數(shù)?，光速c，和平板間的距離a的關(guān)系式來表示，它是作用于真空中的兩塊平行理想導(dǎo)體板單位面積相互的力,隨后的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該吸引力的存在。Casimir效應(yīng)是一種有關(guān)真空漲落的量子現(xiàn)象，它起源于當(dāng)量子化體積有邊界或者所在的空間為非歐幾里得時(shí)的真空擾動(dòng)振幅的變化[2]。Casimir效應(yīng)應(yīng)用到物理學(xué)各個(gè)方面，包括弦論、基本粒子物理、M理論、宇宙學(xué)、拓?fù)淙毕?、凝聚態(tài)物理的研究領(lǐng)域中都出現(xiàn)了有關(guān)Casimir效應(yīng)的研究工作。

1 額外維對(duì)Casimir力的影響

為了探討額外維的個(gè)數(shù)及尺度對(duì)Casimir力的影響，我們分別就 3+1維、3+2維、3+3維情況下的Casimir力進(jìn)行分析：

應(yīng)用Casimir能量的定義：

由Casimir力等于能量的負(fù)導(dǎo)數(shù)，則Casimir壓強(qiáng)即為對(duì)能量求偏導(dǎo)數(shù)：

為了計(jì)算出Casimir壓強(qiáng)，根據(jù)第三類貝瑟爾函數(shù)的第一種變換式[3]：

我們得到存在1個(gè)額外維Casimir壓強(qiáng)：

存在2個(gè)額外維Casimir壓強(qiáng)：

存在3個(gè)額外維Casimir壓強(qiáng)：

將不同額外維Casimir壓強(qiáng)的計(jì)算結(jié)果式 （5），式（6），式（7）進(jìn)行數(shù)值比較。 得到式（5）、式（6）、式（7）在測量平行理想導(dǎo)體板的實(shí)驗(yàn)誤差范圍在10%之內(nèi)的考慮下，通過將存在額外維的平板計(jì)算的平板的力的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化處理，將得到了在實(shí)驗(yàn)的誤差范圍內(nèi)對(duì)額外維尺度大小的限制。平板間距離與額外維尺度大小的比值μ，通過這個(gè)比值大小的變化，我們可以清楚的得到額外維個(gè)數(shù)的增多，對(duì)額外維尺度大小的影響。在誤差范圍內(nèi)，額外維個(gè)數(shù)對(duì)額外維尺度大小限制的變化。當(dāng)兩個(gè)額外維的尺度不同時(shí)，在誤差范圍內(nèi)，對(duì)額外維尺度大小限制的變化，結(jié)果表明當(dāng)額外維的一個(gè)尺度在變小時(shí)，在實(shí)驗(yàn)的誤差范圍內(nèi)，平板間距和另一個(gè)額外維的尺度的比值在變小，即對(duì)這一個(gè)額外維尺度的限制范圍在變大。也就是說，要使額外維存在的條件滿足，與板間距相比的這一個(gè)額外維的尺度大小可以控制在一個(gè)更大的范圍內(nèi)。并且，我們可以通過觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)額外維的比值為0.2時(shí)，此時(shí)的板間距和其中一個(gè)額外維的比值等于只存在一個(gè)額外維，即5維時(shí)空的情況，也就是說，當(dāng)兩個(gè)額外維的比值為0.2時(shí)，就與只存在一個(gè)額外維的情況沒區(qū)別了，而且，此后板間距同其中一個(gè)額外維的比值將不再發(fā)生變化，此時(shí)與板間距相比的那個(gè)額外維尺度的大小將對(duì)Casimir效應(yīng)起到主導(dǎo)的作用。

我們將（5），式（6），式（7）數(shù)值計(jì)算結(jié)果制成表格1，以便對(duì)額外維尺度的增加，在誤差范圍內(nèi)額外維尺度的限制的變化進(jìn)行直觀的分析（其中= μ）。

表1 額外維尺度的限制的變化

通過表1，我們可以得出結(jié)論：我們發(fā)現(xiàn)板間距同額外維的尺度的比值確實(shí)因?yàn)轭~外維的個(gè)數(shù)的增加而變大，即對(duì)額外維的尺度的限制范圍變小。也就是說，要使額外維存在的條件滿足，額外維的尺度大小需要控制在一個(gè)更小的范圍內(nèi)。這樣我們就可以證明出額外維個(gè)數(shù)的增加反而限制了額外維尺度的大小。

為了對(duì)不同額外維個(gè)數(shù)下Casimir壓強(qiáng)隨板間距離a變化有一個(gè)直觀的比較，我們將這三個(gè)結(jié)果進(jìn)行繪圖分析，為了方便繪圖，我們令額外維的尺度大小都取 R，且 R=1，這樣式（5），式（6），式（7）計(jì)算的數(shù)值作出了以下的圖1。圖1表示出了沿與平板面垂直方向的Casimir壓強(qiáng)，分別在3維時(shí)空，3+1維時(shí)空，3+2維時(shí)空和3+3維時(shí)空尺度當(dāng)R=1時(shí)的變化。

圖1 不同維度Casimir壓強(qiáng)變化趨勢

我們令式（6）中的 R1=R2=R，式(7)中的 R1=R2=R3=R，這樣式（5），式（6），式（7)的結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)三項(xiàng)相同的項(xiàng)，而這三項(xiàng)剛好是式（5）的結(jié)果。為了清楚的得到額外維個(gè)數(shù)以及尺度大小的影響，我們需要從式（5），式（6）和式（7）中將這三項(xiàng)單獨(dú)分析，在跟式(6),式（7）剩余各項(xiàng)的結(jié)果分別進(jìn)行數(shù)值比較，可得出以下結(jié)論：

為便于分析，我們令公式中，則相同的三項(xiàng)為：

我們看到這里的α其實(shí)就是式（5）中的a=1的結(jié)果。

對(duì)于式（6），我們摘除上面的那三項(xiàng)后，同樣取a=1，剩余的各項(xiàng)為：

同理，對(duì)于式（7），我們摘除相同的三項(xiàng)后，取α=1，剩余的各項(xiàng)為：

對(duì)α，β，γ這三個(gè)參數(shù)式分別進(jìn)行數(shù)值分析時(shí)我們?nèi)??=c=1，以及 p′=2，p=3。

表 2 是在分別取 R=1，2，3，4，5 的值時(shí)，α，β，γ 三式的具體對(duì)應(yīng)數(shù)值。

表2 α，β，γ變化數(shù)值

從表2中，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)額外維尺度時(shí)R=1，式（6），式（7）中起主導(dǎo)的項(xiàng)是跟式（5）中相同的那三項(xiàng)α，而當(dāng)額外維尺度R≥2后式（6）和式（7）中除此三項(xiàng)以外的其余各項(xiàng)β，γ也開始發(fā)揮作用，我們看到而當(dāng) R=3時(shí)式（6）和式（7）剩余的項(xiàng) β，γ的數(shù)量級(jí)已經(jīng)跟式（5）中的那三項(xiàng)α的數(shù)量級(jí)相當(dāng)了，當(dāng)R≥4之后，剩余項(xiàng)β，γ的數(shù)值甚至超過了式（5）中那三項(xiàng)α的數(shù)值。

2 結(jié)語

通過表2的縱向比較也表明了隨著額外維個(gè)數(shù)的增加，Casimir吸引力是越來越來大的。并且額外維的尺度的大小對(duì)Casimir力也有影響，當(dāng)額外維尺度R≥1時(shí)，額外維的個(gè)數(shù)幾乎對(duì)Casimir力的大小無影響，當(dāng)R≥2時(shí)，額外維的個(gè)數(shù)才開始對(duì)力的大小發(fā)揮作用。

[1]Casimir HBG.On the attraction between two perfectly conducting plates[J].Proc K Ned Akad Wet，1948（51）:793-795.

[2]J.Strathdee.Kaluza-Klein Theory[J].Mod.Phys.A，1986（1）:1.

[3]王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000.