劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

雙正態(tài)正態(tài)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的拓廣

劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文給出雙正態(tài)獨(dú)立總體下區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的拓廣，主要推廣了總體均值的線性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)和方差比不是1的假設(shè)檢驗(yàn)方法.

正態(tài)分布；獨(dú)立性；區(qū)間估計(jì)；假設(shè)檢驗(yàn)；數(shù)學(xué)期望；方差

一般的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材[2][3][4]，都給出兩個(gè)正態(tài)總體下，均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn).現(xiàn)在將它們拓廣為一個(gè)數(shù)學(xué)期望是另一個(gè)的線性函數(shù)和兩個(gè)方差比不是1的情況的，給出置信區(qū)間估計(jì)和顯著性假設(shè)檢驗(yàn)的方法.

多數(shù)教材上給出的兩個(gè)正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量的基本性質(zhì)是：

引理1（兩正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量的基本性質(zhì)）假定X，Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)總體,且

總體X～N(μ1,σ12),樣本為(X1,X2,…,Xn1),

總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn1).

那么：

其中（1）是在已知方差，估計(jì)和檢驗(yàn)均值差時(shí)用的.（2）是在未知方差，估計(jì)和檢驗(yàn)均值差時(shí)用的,但是已知σ1=σ2=σ.（3）[2]是在未知方差，估計(jì)和檢驗(yàn)均值差時(shí)用的,但是已知σ12≠σ22.（4）是在已知均值，估計(jì)和檢驗(yàn)方差比時(shí)用的.（5）是在未知均值，估計(jì)和檢驗(yàn)方差比時(shí)用的.

定理1假定X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)總體,且

總體X～N(μ1,σ12),樣本為(X1,X2,…,Xn1),

總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn1)，a,b∈R.

那么：在σ12，σ22已知時(shí)：

證明由于假定X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)總體,且總體X～N(μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1).總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R.

相應(yīng)地，容易得到μ1-aμ2-b在1-α置信水平下的置信區(qū)間為

根據(jù)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系，可以得到原假設(shè)：

H0：μ1=aμ2+b的顯著性假設(shè)檢驗(yàn).

定理2假定X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)總體,且

總體X～N(μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),

總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R.

那么：在σ12,σ22未知時(shí)，在σ12=σ22=σ2下，有

μ1-aμ2-b在1-α置信水平下的置信區(qū)間為

證明由于假定X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)總體,且總體X～N(μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R.

設(shè)Z=aY+b，那么，X,Z也獨(dú)立.

由于方差未知，那么：

根據(jù)引理1之（4）、（5），容易得到：

引理2假定X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)總體,且總體X～N (μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).那么：

在μ1,μ2已知時(shí)，方差比在1-α置信水平下的置信區(qū)間為：

在μ1,μ2未知時(shí)，方差比在1-α置信水平下的置信區(qū)間為：

關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)，一般文獻(xiàn)都給出σ12=σ22，或者說的檢驗(yàn).那么我們?nèi)绻獧z驗(yàn)=a，未見文獻(xiàn)論述.下面拓廣假設(shè)檢驗(yàn)的應(yīng)用.

定理3假定X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)總體,且總體X～N (μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R+.那么：

關(guān)于原假設(shè)H0：σ12=aσ22，或者

在μ1,μ2已知時(shí)，如果1屬于置信區(qū)間（10），則，接受原假設(shè)，否則就拒絕.

在μ1,μ2未知時(shí)，如果a屬于置信區(qū)間（11），則，接受原假設(shè)，否則就拒絕.

根據(jù)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系，可以證明[3]，這里略去.

關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體的單側(cè)區(qū)間估計(jì)和單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的相應(yīng)結(jié)論，容易列出.

例 1[5]甲種產(chǎn)品長度X～N(μ1,5),乙種產(chǎn)品長度Y～N (μ2,1),甲乙獨(dú)立.現(xiàn)在在甲種產(chǎn)品中抽取4只，測得長度分別是：4.0,4.2,4.6,5.0.在乙種產(chǎn)品中抽取5只，測得長度分別是：2.0,2.3,2.1,2.5,2.8.能否認(rèn)為甲種產(chǎn)品長度是乙種產(chǎn)品長度的2倍？顯著水平α=0.05.

這是兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)問題，已知方差σ12=5,σ22=1.

根據(jù)定理1，提出原假設(shè)和備選假設(shè)H0：μ1-2μ2=0,H1：μ1-2μ1≠0.

所以接受原假設(shè)，也就是可以認(rèn)為甲種產(chǎn)品長度是乙種產(chǎn)品長度的2倍.

相應(yīng)地，容易得到μ1-2μ2在1-α=1-0.05=0.95置信水平下的置信區(qū)間為

1∈(-3.04,2.58)，所以可以認(rèn)為μ1-2μ2=0,或者說μ1=2μ2.

注意，這里置信區(qū)間比較大的原因是題目中數(shù)學(xué)期望比較小，而方差比較大的緣故.

例2[4]某自動機(jī)床加工同類型套筒，假設(shè)套筒的直徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)在從兩個(gè)班次的產(chǎn)品中個(gè)抽檢5個(gè)套筒，測量它們的直徑，得如下數(shù)據(jù)：

A班：2.066,2.063,2.068,2.060,2.067.

B班：2.058,2.057,2.063,2.058,2.060.

這就是（11）的情況，計(jì)算得：

這個(gè)問題改為，其它條件不變，問在α=0.10時(shí)，

能否接受σ12=0.5σ22？，0.5∈(0.316,12.901)，當(dāng)然接受.

能否接受σ12=σ12？，1∈(0.316,12.901)，當(dāng)然接受.

能否接受σ12=5σ22？，5∈(0.316,12.901)，當(dāng)然接受.

能否接受σ12=10σ22？，10∈(0.316,12.901)，當(dāng)然接受.

能否接受σ12=20σ22？，20∈(0.316,12.901)，當(dāng)然不能接受.

一般情況下，方差和方差比的變動都比較大，出現(xiàn)這樣結(jié)果不奇怪.

〔1〕劉國祥，張曉麗，楊永霞,等.應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程改革探索與實(shí)踐[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014（12）.

〔2〕賈俊平，何曉群.統(tǒng)計(jì)學(xué)（第六版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2015.160-189.

〔3〕浙江大學(xué)，盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.192-193.

〔4〕武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，齊民友，劉祿勤，龔小慶，王文祥.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2002.190-193.

〔5〕碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)命題研究中心，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)輔導(dǎo)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2010.128.

〔6〕劉國祥，楊永霞,張曉麗，等.基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下的貝葉斯公式教學(xué)[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015（01）.

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