李娜　孫海燕

【摘要】 本文結(jié)合幾道典型的線性代數(shù)例題，針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中的幾個易錯點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)的分析和研究，并進(jìn)行總結(jié)和歸納.

【關(guān)鍵詞】 線性代數(shù)；范德蒙德行列式；行階梯形；行最簡形

線性代數(shù)是大學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科，這門課的特點(diǎn)是公式多、式子大、符號繁，對相當(dāng)一部分學(xué)生來說入門難，學(xué)起來困難較多.下面就學(xué)生容易出錯的地方做一分析.

乍一看，沒有錯，但仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)用范德蒙德行列式計算該題時，公式中是后項減前項的乘積，而不是前項減后項的乘積. 正解 由范德蒙德行列式

有人會認(rèn)為，兩種做法過程不同，但結(jié)果相同，沒必要過多追究這個細(xì)節(jié).

但是看這個題： 1 1 12 4 54 16 25

（1） 1 1 12 4 54 16 25 =（2-4）（2-5）（4-5）=-6.

（2） 1 1 12 4 54 16 25 =（4-2）（5-2）（5-4）=6.

兩個過程得到的結(jié)果剛好相差一個負(fù)號，這是怎么回事呢？

下面證明一下這個結(jié)論.

證明 用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.當(dāng)n=2時，

所以當(dāng)n=2時（）式成立.

現(xiàn)在假設(shè)（）式對n-1階范德蒙德行列式成立，下證（）式對n階范德蒙德行列式也成立.

2.一個非零矩陣的行階梯形與行最簡形有什么區(qū)別與聯(lián)系？

答：首先，任何一個矩陣都可經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形和行最簡形；

其次，行最簡形一定是行階梯形，但行階梯形不一定是行最簡形.其區(qū)別在于，行最簡形需在滿足行階梯形的基礎(chǔ)上增加兩條：（1）非零行的首非零元為1；（2）首非零元所在列的其他元素為零.

3.在求解關(guān)于矩陣 A 的問題時，什么時候只需化為行階梯形，什么時候需化為行最簡形？

答：一般情況下，在求矩陣 A 的秩和求矩陣 A 的列向量組的最大無關(guān)組時，需要把矩陣 A 化為行階梯形.用初等行變換求矩陣 A 的逆、求矩陣方程 A X= B 、求解線性方程組的通解或基礎(chǔ)解系時，需要把矩陣 A 化為行最簡形.

例如，解線性方程組

在線性代數(shù)這門課的學(xué)習(xí)過程中，若仔細(xì)體會某些基本知識點(diǎn)，雖有一字之差，但含義卻相差甚遠(yuǎn).因此，在學(xué)習(xí)這門課時一定要足夠細(xì)心、足夠認(rèn)真才行.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，工程數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，第六版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]胡顯佑.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]趙樹嫄.線性代數(shù)（第3版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2004.