史 策,周 琳

(1.陜西學(xué)前師范學(xué)院人事處， 陜西西安 710100； 2.空軍工程大學(xué)理學(xué)院數(shù)理系，陜西西安 710051)

■區(qū)域經(jīng)濟社會發(fā)展研究

基于可信性理論下的EPQ問題的期望值模型

史 策1,周 琳2

(1.陜西學(xué)前師范學(xué)院人事處， 陜西西安 710100； 2.空軍工程大學(xué)理學(xué)院數(shù)理系，陜西西安 710051)

基于可信性理論,本文給出了不允許缺貨的經(jīng)濟生產(chǎn)量(EPQ)問題的期望值模型;研究了當(dāng)單位生產(chǎn)準(zhǔn)備費、單位儲存費均為模糊變量且相互獨立的情況下EPQ 問題的最佳期望單位存儲費用、最佳期望單位生產(chǎn)批量及最佳期望生產(chǎn)周期,并得出了一些重要的結(jié)論;特殊情況下,討論了當(dāng)模型中的模糊參數(shù)分別為三角模糊變量、梯形模糊變量及正態(tài)模糊變量情況下的EPQ 問題的最優(yōu)存儲策略;最后,針對上述三種情況本文分別給出了一些數(shù)值例子驗證了模型的有效性和合理性;本文所得到的結(jié)果為求解EPQ 問題設(shè)計算法提供了理論依據(jù).

模糊變量;可信性理論;庫存論;期望值模型

1 引言

庫存控制在運作管理體系有著重要的應(yīng)用,也是運籌學(xué)中一個重要的研究領(lǐng)域. 1913年,Harris[1]給出了允許缺貨情形下EOQ模型. 在不允許缺貨情形下,很多學(xué)者研究了經(jīng)濟生產(chǎn)量問題(EPQ模型)[2-3]. 實際問題中,費用參數(shù)例如準(zhǔn)備費用、庫存持有費用等往往不是確定的,這給實際問題的解決帶來了新的挑戰(zhàn). 對于這種不確定現(xiàn)象的處理,傳統(tǒng)的方法是把這些參數(shù)看作是隨機變量或向量，利用它們的概率分布進行求解的. 使用概率論的前提是通過大量的樣本采集才能得到它們的概率分布. 如果有些問題樣本很少甚至沒有，那么該怎么辦呢？這時候我們根據(jù)管理者的經(jīng)驗或者主觀判斷來估計它們的分布. 這種基于專家估計的方法理論基礎(chǔ)為模糊集方法. 1965年，Zadeh提出了模糊集概念建立了模糊數(shù)學(xué). 隨后，1965年，Zadeh[4]提出了可能性理論建立模糊理論. 事實證明，在有些問題中，基于模糊理論的方法處理不確定性存儲問題比概率論更合適. 例如，在模糊環(huán)境下不允許缺貨的EPQ問題的研究[5-7]. 很多學(xué)者[8-10]進一步發(fā)展了這套理論. 后來研究發(fā)現(xiàn)，基于模糊集理論出現(xiàn)了一個不可能事件它的可能性也可能是1，而一個必然事件的可能性也可能是0，因此基于模糊集理論的目標(biāo)的最大可能性已經(jīng)沒有任何意義。針對這一缺陷，劉寶碇教授[11]于2002年提出了一種新的測度——可信性測度,定義了模糊變量的期望值. 2004年，劉寶碇教授[12]建立了可信性理論的公理化體系,這標(biāo)志著可信性理論已成為處理模糊不確定性的有力的數(shù)學(xué)工具. 于是,基于可信性理論,本文提出了模糊EPQ 問題的期望值模型,并研究了生產(chǎn)準(zhǔn)備費、存儲費為模糊變量的情況下的EPQ 問題最優(yōu)存儲. 最后,對于模糊變量分別為三角模糊變量、梯形模糊變量及正態(tài)模糊變量時,我們討論了最佳存儲策略,并給出了例子驗證了模型的合理性和有效性.

2 預(yù)備知識

定義1[13]設(shè)Γ為論域,Pos是定義在冪集ρ(Γ)上的一個集函數(shù). 稱Pos是一個可能性測度,如果它滿足下面的條件

(Pos1)Pos(φ)=0,Pos(Γ)=1,

(Pos2)對任意Ai?Γ,i∈I,都有Pos(∪i∈IAi)=supi∈IPos(Ai).

三元組(Γ,ρ(Γ),Pos)被稱為一個可能性空間, Nahmias稱之為模式空間(Pattern Space). 易知，可能性測度是一個下半連續(xù)的模糊測度[14].

定義2[12]Cr 是定義在冪集ρ(Γ)上的一個集函數(shù),它被稱為是一個可信性測度,如果對任意的A?Γ,有

(1)

稱一個從可信性空間Γ到實數(shù)軸R上的實值函數(shù)為模糊變量. 基于可信性測度,模糊變量的期望值定義如下[12]

(2)

其中等式右端的積分至少有一個有限.

3 不允許缺貨的模糊EPQ 模型

3.1 期望值模型

為了表述方便先給出一些符號和假設(shè):

R——需求速度

P——單位時間內(nèi)的生產(chǎn)量

Q——單位時間內(nèi)的生產(chǎn)量

Q0——最大存儲量

ξ1——單位量的存儲費

ξ2——一個周期內(nèi)的生產(chǎn)準(zhǔn)備費

K——生產(chǎn)產(chǎn)品成本的單價

Rt——t時間內(nèi)的需求量.

假設(shè)條件

(1) 生產(chǎn)問題中缺貨費為無窮大

(2) 生產(chǎn)問題中需求是均勻的

(3) 生產(chǎn)問題中當(dāng)存儲為零時,通過生產(chǎn)速度為p的方式補充

(4)ξi,i=1,2,為定義在可信性空間(Γ,ρ(Γ),Cr)上且相互獨立且同分布的模糊變量.

此模型的補充是由生產(chǎn)物資來實現(xiàn),設(shè)生產(chǎn)批量為Q所需生產(chǎn)時間為Tp,則易知Tp=Q/p,pTp=Rt,R>0，存儲變化如圖1 所示.

圖1 存儲變化

EPQ模型一周期t內(nèi)的費用分三部分:存儲費用c1(t),生產(chǎn)準(zhǔn)備費用c2(t)和生產(chǎn)產(chǎn)品費c3(t).下面逐一分析.

由圖1可知t時間內(nèi)的存儲量為ΔSOt的面積,即

因此

而c2(t),c3(t)分別為ξ2,KpTP=KRt.所以,t時間內(nèi)的平均費用函數(shù)為

于是,可以得到下面的EPQ問題的期望值模型

(3)

3.2 模型的求解

情形一：設(shè)ξi～(ai,bi,ci),即ξi，i=1,2,為三角模糊變量,由(2)式可得

(4)

定理1.對于情形一的模糊EPQ問題,容易求得最佳期望生產(chǎn)時間是

最佳期望循環(huán)周期為

最佳期望生產(chǎn)批量為

最小期望費用為

證明： 對(4)式關(guān)于t求導(dǎo)并等于零得

t(p-R)]=0,

即

所以

又因為Q=RT,所以

而Q=pTp,所以

把t*代人(4) 式并整理易得

注： 從定理1中可以看出,最佳存儲策略Q*,T*均與生產(chǎn)產(chǎn)品成本單價無關(guān),今后無特殊需要就不再考慮它了,于是,規(guī)劃(3)等價于下面的模型

(5)

例1. 假設(shè)一個車間每月需要某種部件100件,其生產(chǎn)率為每月500件,每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本費為1000元,每批裝配費為三角模糊變量(0,1,2),每月每件存儲費為三角模糊變量(2,3,4),求EPQ及最低費用.

解：由題意知：R= 100,p= 500,ξ1～(0,1,2),ξ2～(2,3,4),根據(jù)定理1 可得：最佳期望循環(huán)周期

=0.274(月).

同樣,最佳期望生產(chǎn)批量

=27.38(件).

于是,該車間大約每9天(0.274×30=8.22) 生產(chǎn)一次,每次最佳生產(chǎn)量約為28件,而每月最小期望費用約為

情形二：設(shè)ξi～(ai,bi,ci,di),即ξi,i=1,2,為梯形模糊變量,那么,由(2)式容易計算出

(6)

定理2. 對于情形二的模糊EPQ問題,最佳期望生產(chǎn)時間為

最佳期望循環(huán)周期為

最佳期望生產(chǎn)批量為

最小期望費用為

Proof. 類似于定理1的證明方法對(6)式關(guān)于t求導(dǎo)并等于零,整理后最終容易得到上述結(jié)果.

情形三：設(shè)ξi,i=1,2,是正態(tài)模糊變量,其可能性分布函數(shù)定義如下

那么,由(2)式容易計算出

(7)

定理3.對于情形三的模糊EPQ問題,最佳期望生產(chǎn)時間是

最佳期望循環(huán)周期

最佳期望生產(chǎn)批量

最小期望費用:

Proof.類似于定理1的證明方法對(7)式關(guān)于t求導(dǎo)并等于零,整理后容易得到定理內(nèi)容.

例2.假設(shè)某一生產(chǎn)車間每周需要零件32箱,每周生產(chǎn)60箱,存儲費每箱每周的費用為正態(tài)模糊變量ξ1,其可能性分布函數(shù)如下：

每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費也為正態(tài)的模糊變量ξ2,其可能性分布函數(shù)如下

在不允許缺貨的情況下,求最優(yōu)存儲策略.

解： 由題意知：p= 60;R= 32,σ1= 5;σ2= 6. 由定理3知：最佳期望循環(huán)周期

=0.4(周)≈3(天).

最佳期望生產(chǎn)批量

=12.83(箱)≈13(箱).

4 結(jié)束語

本文主要研究了在生產(chǎn)準(zhǔn)備費用、存儲費用均為模糊變量的情況下的EPQ問題的期望值模型,尤其是當(dāng)不確定參數(shù)分別為三角模糊變量、梯形模糊變量及正態(tài)模糊變量時模型的求解,并給出了嚴格的推導(dǎo). 同時,給出了幾個數(shù)值例子驗證了模型的有效性和合理性. 本文所得到的結(jié)果為求解模糊存儲問題設(shè)計算法提供了理論依據(jù).

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[學(xué)術(shù)編輯 趙大洲]

[責(zé)任編輯 朱毅然]

A Study on the Expected Value Model of EPQ Problem Based on Credibility Theory

SHICe1，ZHOULin2

(1.ShaanxiXueqianNormalUniversity,Xi'an710100,China;2.AirForceEngineeringUniversity,Xi'an710051,China)

Based on the credibility theory,this paper has presented the expected value model of EPQ (economic production quantity) problem without production shortage cost. Furthermore,the cost of optimal expectation holding,production-preparing cost per unit and the optimal expectation production cycle are also discussed when the holding cost and production-preparing cost are independent fuzzy variable. Especially,this paper talks about the optimal inventory strategies if the fuzzy parameters are triangular fuzzy variable,trapezoidal fuzzy variable and normal fuzzy variable. Finally,some numerical examples are given under the three cases,by which demonstrate the effectiveness and rationality of the model proposed above. The results obtained in this paper can provide the theoretical basis as we designed the algorithm to solve the EPQ problem.

fuzzy variable;credibility theory;invenory theory;expected value model

2016-08-03;

2017-02-22

史策，男，陜西咸陽人，計算數(shù)學(xué)碩士，陜西學(xué)前師范學(xué)院人事處工程師.

O22

A

2095-770X(2017)03-0032-05

http://sxxqsfxy.ijournal.cn/ch/index.aspx

10.11995/j.issn.2095-770X.2017.03.008