重慶魯能巴蜀中學(xué)(400025) 鮮智宇

柯西不等式的多種變式及其應(yīng)用

重慶魯能巴蜀中學(xué)(400025) 鮮智宇

柯西不等式以其結(jié)構(gòu)優(yōu)美,應(yīng)用廣泛而引人注目.由于柯西不等式的本質(zhì)含義不容易理解,存在多種變化形式,使得許多數(shù)學(xué)愛(ài)好者望而卻步.本文在給出柯西不等式的幾何含義及常見(jiàn)的5種變式的基礎(chǔ)上,舉例分析柯西不等式及其變式在不等式證明等方面的作用.

1 柯西不等式的及其幾何含義

柯西不等式可以簡(jiǎn)單的表述為:相同項(xiàng)數(shù)的平方和之積大于等于對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積之和的平方.

為了進(jìn)一步理解柯西不等式的本質(zhì),我們先引進(jìn)向量及相關(guān)概念.

定義1 既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模(長(zhǎng)度).在n維坐標(biāo)系下,向量可表示為模.

由此我們給出柯西不等式的幾何含義:兩個(gè)向量模的平方之積大于等于該兩個(gè)向量?jī)?nèi)積的平方,當(dāng)且僅當(dāng)兩向量平行(共線)時(shí)等號(hào)成立.

2 柯西不等式的5種變式

為了更好地運(yùn)用柯西不等式,下面我們用推論的方式給出幾種常見(jiàn)5種變式.

3 柯西不等式及其變式的應(yīng)用

柯西不等式及其推論在不等式證明,求最值等方面有著廣泛的應(yīng)用,下面我們舉例說(shuō)明常見(jiàn)的幾種應(yīng)用方法.

3.1.直接帶入法

例1 設(shè)a,b,x,y∈R+,a+b=1,求證:(ax+by)(bx+ ay)≥xy.

分析:不等式左邊可以看著是兩個(gè)完全平方和之積,可以考慮直接應(yīng)用柯西不等式.

分析:不等式左邊可以看著是一個(gè)完全平方與一個(gè)非負(fù)數(shù)之比的和,分母之和2,可以考慮直接使用推論3.

例3 設(shè)a,b,x,y∈R+,求證:

分析:條件與不等式左邊滿足推論4的情況,可以直接應(yīng)用推論4進(jìn)行驗(yàn)證.

分析:本例結(jié)論中含有常數(shù)項(xiàng)n,可以考慮將不等式左邊變形后,通過(guò)構(gòu)造常數(shù)因子并綜合應(yīng)用柯西不等式及其推論.

證明 將不等式左邊變形后應(yīng)用推論3,可得

3.2構(gòu)造因子法

例5設(shè)x,y,z∈R,x2+4y2+9z2=4,求x?4y+6z的最值,并給出相應(yīng)的x,y,z值.

分析:根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu),需要將所求表達(dá)式與條件中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)聯(lián)系起來(lái),構(gòu)造相應(yīng)的系數(shù)因子.

3.3變量代換法

例6 設(shè)0≤x≤13,求證:

分析:由題意可知,由于根號(hào)下三個(gè)的和不是常數(shù),需要進(jìn)行變量代換,然后可以考慮轉(zhuǎn)化為柯西不等式及其推論的情況進(jìn)行解決.

柯西不等式及其變式在數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛,應(yīng)用方法也十分靈活.一般需要根據(jù)問(wèn)題的條件與結(jié)論,結(jié)合柯西不等式及其變式的特點(diǎn),在類比、聯(lián)想的基礎(chǔ)上,構(gòu)造因子、變量代換等多種方法的組合應(yīng)用,以達(dá)到簡(jiǎn)便快速解題的目的.

致謝 作者衷心感謝姚旭、薛運(yùn)鵬老師在學(xué)習(xí)與寫作方面的指導(dǎo).

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