湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院(430062) 張素婷

西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(400715) 鄧伍丹

基于動(dòng)態(tài)幾何軟件的模型教學(xué)—以《直線與平面垂直的判定》的教學(xué)為例

湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院(430062) 張素婷

西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(400715) 鄧伍丹

1 引入

DGS是動(dòng)態(tài)幾何軟件(Dynamic Geometer Software)的簡(jiǎn)稱(chēng),目前使用較廣的有幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板等等,這類(lèi)幾何軟件為學(xué)習(xí)者提供了幾何探究的開(kāi)放性臺(tái).本文圍繞DGS技術(shù),以《直線與平面垂直的判定定理》[1]一課為例,探討如何將傳統(tǒng)的模型教學(xué)與DGS技術(shù)靈活結(jié)合,以減輕學(xué)習(xí)者認(rèn)知過(guò)程的負(fù)擔(dān).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)指出,通過(guò)直觀感知,操作確認(rèn),歸納出直線平面垂直的判定定理[2],故教學(xué)的重點(diǎn)為通過(guò)直觀演示來(lái)探究和理解直線與平面垂直的判定定理.傳統(tǒng)的做法是演示實(shí)物模型,實(shí)物演示固然生動(dòng)形象,但難免有局限性,如材料工具的不足;難以進(jìn)行復(fù)雜的空間形式變換;個(gè)案的演示難以呈現(xiàn)同類(lèi)事物的數(shù)學(xué)本質(zhì);難以避免偶然誤差.這些不足恰好可以由DGS技術(shù)來(lái)彌補(bǔ).將實(shí)物模型借助DGS技術(shù)抽象為幾何模型,是形象思維向抽象思維過(guò)渡的過(guò)程,也是學(xué)生在認(rèn)識(shí)事物時(shí)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的發(fā)展,體現(xiàn)了DGS技術(shù)環(huán)境中幾何教學(xué)從幾何到技術(shù)再到幾何的發(fā)展過(guò)程,是一種促進(jìn)概念理解和思維發(fā)展的過(guò)程[3].下面將對(duì)“直線與平面垂直的判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)中如何直觀構(gòu)建定理來(lái)進(jìn)行探討.

2 傳統(tǒng)模型教學(xué)中學(xué)生可能會(huì)碰到的困難

讓學(xué)生通過(guò)折紙活動(dòng)來(lái)探究直線與平面垂直的判定定理是困難的.皮亞杰說(shuō):知識(shí)、認(rèn)識(shí)來(lái)源于主體和客體之間的交互——活動(dòng).很多教師在處理“折紙實(shí)驗(yàn)”時(shí)并不能清楚認(rèn)識(shí)折紙的目的,未能挖掘其蘊(yùn)含的深層次數(shù)學(xué)思維[4].一位教師曾這樣指導(dǎo)學(xué)生折紙:要讓三角形紙片穩(wěn)當(dāng)?shù)卣玖⒃谧雷由?這樣的處理雖然有意避開(kāi)肉眼難以判斷線面垂直的不足,但是卻忽略了在偏差允許范圍內(nèi),即使折痕不垂直桌面,也能讓三角形紙片立在桌面上,的確有脫離線面垂直的主題之嫌,實(shí)際上“折紙實(shí)驗(yàn)”應(yīng)關(guān)注的焦點(diǎn)不在于鉆牛角尖折痕是否垂直桌面,而在于啟發(fā)學(xué)生為何這樣折能讓折痕垂直桌面,讓學(xué)生解釋折紙方法的理由.然而在學(xué)生還未接觸線面垂直的判定定理之前,學(xué)生并不能解釋其理由,因此在未曾揭開(kāi)直線與平面垂直的判定定理的面紗之前,讓學(xué)生通過(guò)折紙活動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)該定理是不容易的.

3 幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的策略

在這節(jié)課的設(shè)計(jì)中,許多優(yōu)質(zhì)課均借助各式各樣的生活中的實(shí)物模型來(lái)輔助理解,解釋說(shuō)理,但對(duì)于模型的使用有時(shí)流于表面,不能深層次挖掘模型中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理,這無(wú)異于買(mǎi)櫝還珠.另一方面,實(shí)物模型過(guò)于形象化,有時(shí)難以把實(shí)際問(wèn)題抽象化,這或多或少會(huì)阻礙學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),這時(shí)如果能把實(shí)物模型借助DGS技術(shù)轉(zhuǎn)化為抽象模型,就會(huì)幫助學(xué)生真正透過(guò)現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)本質(zhì).

探究發(fā)現(xiàn)判定定理的策略

正如前文所分析,讓學(xué)生在未嘗理解折紙實(shí)驗(yàn)的意圖之前,通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)來(lái)探究發(fā)現(xiàn)定理是不容易的,僅僅折出三角形紙片的一條高就能揭示出線面垂直的定理顯然不切實(shí)際.因此折紙實(shí)驗(yàn)用來(lái)探究定理操作性較弱,而用于操作認(rèn)證該定理較適宜.

模型教學(xué)最關(guān)鍵的是選取合適的模型,模型越簡(jiǎn)單直觀越能達(dá)到事半功倍的效果.實(shí)物演示可采取傳統(tǒng)的做法,用一本書(shū)來(lái)操作演示.此外,筆者還借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)了長(zhǎng)方體模型,在保證一條側(cè)棱垂直于底面的一條棱、兩條平行的棱、兩條相交的棱這三種情況下,讓長(zhǎng)方體“動(dòng)”起來(lái),觀察其傾斜情況.在長(zhǎng)方體模型這種常見(jiàn)的立體模型中得到了線面垂直的判定定理,實(shí)物模型和幾何畫(huà)板相輔相成,既形象具體,又回歸了數(shù)學(xué)本質(zhì),此時(shí)由學(xué)生之口講出判定定理已是水到渠成.

4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

據(jù)前面所分析,結(jié)合執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)及思考,輔之對(duì)優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)的反思,筆者采用問(wèn)題鏈形式,設(shè)計(jì)了探究定理的教學(xué)過(guò)程.

模型融合DGS,發(fā)現(xiàn)歸納定理

活動(dòng)1教師演示,學(xué)生觀察

(1)如圖1,將一本書(shū)合上,傾斜置于桌面,書(shū)脊垂直于書(shū)的下底邊,即AB⊥BC,此時(shí)可視為書(shū)脊所在的直線垂直于桌面所在平面內(nèi)的一條直線,書(shū)脊一定垂直于桌面嗎?

(2)如圖2,將這本書(shū)按照(1)中擺放,在桌面內(nèi)另取一條平行于書(shū)的下底邊的直線,即AB⊥BC,AB⊥DE,可視為書(shū)脊所在的直線垂直于桌面內(nèi)的兩條平行的直線,書(shū)脊一定垂直于桌面嗎?

(3)如圖3,將這本書(shū)一分為二均勻翻開(kāi),使書(shū)的兩條下底邊與桌面完全接觸,即AB⊥BC,AB⊥BD,此時(shí)可視為書(shū)脊所在的直線垂直于桌面內(nèi)兩條相交的直線,書(shū)脊一定垂直于桌面嗎?

圖1

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】引入這個(gè)實(shí)物模型用于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)判定定理,通俗易懂,易于操作,且與前面引入部分前后呼應(yīng),實(shí)現(xiàn)了一例多用反復(fù)強(qiáng)化的作用.有人曾質(zhì)疑,這個(gè)模型完全可以用一張A4紙來(lái)替代,其實(shí)不然,因?yàn)榧垙堄袕埩?即使不垂直折紙也能讓紙張整體立在桌面上,但用書(shū)本來(lái)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就能巧妙地避開(kāi)這個(gè)問(wèn)題.

幾何畫(huà)板演示1長(zhǎng)方體模型

(1)在幾何畫(huà)板中畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體,保證一條側(cè)棱垂直于底面的一條棱,如圖4,AA1⊥A1B1,點(diǎn)擊“變換”按鈕,觀察側(cè)棱是否仍然垂直于底面?

(2)保證一條側(cè)棱垂直于底面的兩條平行的棱,如圖5,AA1⊥A1B1,AA1⊥C1D1,點(diǎn)擊“變換”按鈕,觀察側(cè)棱是否仍然垂直于底面?

(3)保證一條側(cè)棱垂直于底面兩條相交的棱,如圖6,AA1⊥A1B1,AA1⊥A1D1,點(diǎn)擊“變換”按鈕,觀察側(cè)棱是否仍然垂直于底面?

圖4

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)環(huán)節(jié)是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中最關(guān)鍵之處,在已有書(shū)本的實(shí)物演示之后,再引入幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示,并非畫(huà)蛇添足,實(shí)際上這兩個(gè)演示過(guò)程實(shí)質(zhì)是相同的,只是后者將實(shí)物模型抽象為典型的長(zhǎng)方體模型,再次對(duì)定理的兩個(gè)關(guān)鍵條件“雙垂直”和“相交”進(jìn)行理解和確認(rèn),一目了然,是形(實(shí)形物體)—型(數(shù)學(xué)模型)—質(zhì)(數(shù)學(xué)本質(zhì))的自然過(guò)渡,這也是學(xué)習(xí)空間幾何元素的關(guān)系的重要方法之一.用好這種方法對(duì)空間觀念的形成、幾何概念的把握都十分有效,這實(shí)際上是抽象概念與實(shí)際事物間的一種橋梁.

【歸納】線不在多,相交則靈.

【反思】探究式學(xué)習(xí)的基本方式之一就是在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并進(jìn)行歸納總結(jié)[5].在定理的探究過(guò)程中,學(xué)生通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)操作,思維上經(jīng)歷了“直覺(jué)—直觀—矛盾—思考—猜想—?dú)w納”的過(guò)程[6],DGS技術(shù)將數(shù)學(xué)現(xiàn)象更直觀地展現(xiàn),從而清晰明了地直指矛盾,給學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)掃清障礙,這不是剝奪和削弱學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),而是更高層次地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),處理好了直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系.

5 教學(xué)反思——實(shí)物模型結(jié)合DGS技術(shù)對(duì)教學(xué)效率的影響

在立體幾何的教學(xué)中,實(shí)物模型不可或缺,它是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)本質(zhì)的實(shí)體媒介,然而僅僅停留在媒介上就事論事就是功虧一簣.DGS技術(shù)的參與使幾何問(wèn)題具體化、模型化、直觀化,對(duì)啟發(fā)學(xué)生思維起到了推波助瀾的作用.在本節(jié)課中,實(shí)物模型經(jīng)歷了動(dòng)態(tài)演示過(guò)程,再借助幾何畫(huà)板將其抽象為只含有圖形和符號(hào)的數(shù)學(xué)模型,極大地發(fā)揮了信息技術(shù)“動(dòng)態(tài)性、交互性”的優(yōu)勢(shì),不少的難點(diǎn)用信息技術(shù)做個(gè)動(dòng)畫(huà)就解決了[7].當(dāng)然,若想學(xué)生達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果,模型的選擇至關(guān)重要,既要通俗易懂,又要深入淺出,更要凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì),這是本節(jié)課還可繼續(xù)再斟酌的課題.

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?數(shù)學(xué)2必修[M].北京:人民教育出版社(A版),2004.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[S].北京:人民教育出版社,2003

[3]尚曉青等.基于DGS技術(shù)環(huán)境的教學(xué)過(guò)程及其實(shí)現(xiàn)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2010,19(6):94-97

[4]張曜光.從有效教學(xué)看數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)—以人教A版“直線與平面垂直的判定”為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2008,47(5):18-21

[5]徐章韜,梅全雄.論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2013,22(6):1-4

[6]宋建輝.芻議高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的幾個(gè)視角[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2015,54(1):9-13

[7]張景中,彭翕成.深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2009,18(5):1-7