阿布力米提·孜克力亞, 楊 凡, 齊秀琴, 馬 麗

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,烏魯木齊 830052)

計算B3-型量子群的Gr?bner-Shirshov基*

阿布力米提·孜克力亞, 楊 凡, 齊秀琴, 馬 麗

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,烏魯木齊 830052)

為了計算出B3型量子群的Gr?bner-Shirshov基，先用有限維代數(shù)表示論中的Auslander-Reiten理論和Hall代數(shù)方法計算出B3型量子代數(shù)根向量之間的擬交換關(guān)系式并驗(yàn)證這些關(guān)系式對合成運(yùn)算封閉，然后給出B3型量子群的一個極小Gr?bner-Shirshov基.

量子群；Gr?bner-Shirshov；擬交換關(guān)系

文獻(xiàn)[1-5]中介紹了代數(shù)學(xué)中特別有用的工具——約化問題(Gr?bner-Shirshov基理論).在文獻(xiàn)[4]中作者給出了構(gòu)造量子包絡(luò)代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基的方法后,人們按照此方法分別計算并構(gòu)造了3個不同(E6,F4,G2)量子包絡(luò)代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基[5-7].

本文先用文獻(xiàn)[8]中提出的Frobenius映射方法算出B3型量子代數(shù)的3個根向量之間的擬交換關(guān)系，再用Ringel介紹的同構(gòu)理論來構(gòu)造出B3型包絡(luò)代數(shù)的正部分和負(fù)部分的Gr?bner-Shirshov基,最后用文獻(xiàn)[4]中的方法構(gòu)造出了整個B3型包絡(luò)代數(shù)的極小Gr?bner-Shirshov基.

1 準(zhǔn)備知識

M=M0?M1?…?Mt-1?Mt=0

其中

?Ni(對所有1≤i≤t)

(dimM,dimN)=〈dimM,dimN〉+〈dimN,dimM〉

其中：

(f,g)ω≡0 mod (S;ω)

2 B3-型量子包絡(luò)代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基

如圖1所示，先選取B3的如下定向：

圖1 B3的Dynkin賦值圖
Fig.1 Dynkin assignment chart of B3

圖1是B3的Dynkin賦值圖及對應(yīng)的極小對稱化子，D和Cartan矩陣A分別為

,

U?U+?U0?U-

B3的Auslander-Reiten箭圖如圖2所示.

圖2 B3的Auslander-Reiten箭圖Fig.2 Auslander-Reiten arrow chart of B3

圖2中,向上箭頭↗的權(quán)值為(1,2),向下箭頭↘的權(quán)值為(2,1).設(shè)

因?yàn)閑1,e2,和e3分別是對應(yīng)于點(diǎn)1,2和3的單模,所以

X1=[e3],X7=[e2],X9=[e1]

令E3=η-1(X1),E233=η-1(X2),E23=η-1(X3)

E1233=η-1(X4),E12233=η-1(X5),E123=η-1(X6)

E2=η-1(X7),E12=η-1(X8),E1=η-1(X9)

和X={E1,E2,E3,E12,E12233,E123,E1233,E23,E223}

選取以下序：

E3>E23>E223>E2>E1233>

E123>E12233>E12>E1

這里的序是單項(xiàng)式集上的一個字典排序,

1≤i≤9}

是Uq(B3)的一組單項(xiàng)式集[9].

為了計算出一切擬交換關(guān)系，首先計算較容易的以下18個關(guān)系式：

E3E1=E1E3

(1)

E2E123=E123E2

(2)

E23E123=E123E23

(3)

E233E3=υ2E3E233

(4)

E1233E3=υ2E3E1233

(5)

E23E233=υ2E233E23

(6)

E1233E233=υ2E233E1233

(7)

E12233E23=υ2E23E12233

(8)

E2E23=υ2E23E2

(9)

E12233E1233=υ2E12233E1233

(10)

E123E1233=υ2E123E1233

(11)

E1E1233=υ2E1233E1

(12)

E123E12233=υ2E12233E123

(13)

E2E12233=υ2E12233E2

(14)

E12E123=υ2E123E12

(15)

E1E123=υ2E123E1

(16)

E12E2=υ2E2E12

(17)

E1E12=υ2E12E1

(18)

其次，通過計算兩個不可分解模之間的Hom空間和Ext空間的維數(shù)得到以下公式：

E2E3=υ-2E3E2+E23

(19)

E12E3=υ-2E3E12+E123

(20)

E1E233=υ-2E233E1+E1233

(21)

E2E1233=υ-2E1233E2+E12233

(22)

E1E2=υ-2E2E1+E12

(23)

E1E23=υ-2E23E1+E123

(24)

最后,“歸納”上面關(guān)系式得到剩下的公式：

E23E3=E3E23+(υ+υ-1)E223

(25)

E123E3=E3E123+(υ+υ-1)E1233

(26)

E123E23=E23E123+(υ+υ-1)E12233.

(27)

E12233E3=E3E12233+(υ2-υ-2)E23E1233

(28)

E12E23=E23E12+(υ2-υ-2)E123E2

(29)

E123E233=E233E123+(υ2-υ-2)E1233E23

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

E12E233=υ-2E233E12+(2υ-1-υ+υ-3)E123E23+(υ-4-υ-2-1)E12233-υ-4E1233E2

(36)

下面給式(36)的推導(dǎo)過程說明所說的“歸納”法,式(22)的兩邊乘E1得到：

E1E2E233=υ-2E2E1E233+E12E233

(37)

對式(37)用式(31),式(20)得到：

υ-4E2E233E1+υ-2E2E1233+E12E233

υ-4E2E233E1+υ-2E2E1233+E12E233

再分別用式(23),式(27)得到：

υ-2E12233+E12E233=

υ-4E233[υ2(E2E1-E12)] +

(υ-3-υ-5)E23[υ2(E1E23-E123)] +

υ-4E123E2+υ-2E12233+E12E233

最后等式兩邊整理得到：

E12E233=υ-2E233E12+(2υ-1-υ+υ-3)E123E23+

(υ-4-υ-2-1)E12233-υ-4E1233E2

那么就有S+?S+c.顯然,里面的單項(xiàng)式都不可約，因此根據(jù)文獻(xiàn)[3]中的鉆石引理,得到以下結(jié)果.

F1=ω(E1)

F2=ω(E2)

F3=ω(E3)

F12=ω(E12)

F123=ω(E123)

F1233=ω(E1233)

F12233=ω(E12233)

F23=ω(E23)

F223=ω(E223)

那么就得到關(guān)于子代數(shù)Uq(B3)-的生成元：

Y={F1,F2,F3,F12,F12233,F123,F1233,F223,F23}

用R′(1)來表示關(guān)于Fij的以上關(guān)系的集合.顯然R′(1)包含定義關(guān)系集S-,因此如果J是由R′(1) 生成的理想,那么Uq(B3)-可以看成商代數(shù)Q(υ)〈Y>/J.

選取序

F3>F23>F223>F2>F1233>

F123>F12233>F12>F1

則此序單項(xiàng)式集的一個字典排序.同樣，用S-c(1≤i≤36)來表示R′(1)中的多項(xiàng)式,令

S-c={ω

那么就有S-?S-c，同理得到以下定理.

如果選取序

E3>E23>E223>E2>E1233>E12233>

E3>F23>F223>F2>F1233>

F12233>F12>F1

這時根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的定理，敘述下面主要結(jié)論.

定理3 量子包絡(luò)代數(shù)Uq(B3)的極小Gr?bner-Shirshov基是集合S-c∪K∪T∪S+c.

[1] BUCHBERGER B. An Algorithm for Finding a Basis for the Residue Class Ring of a Zero-Dimensional Ideal[M].Innsbruck:University of Innsbruck,1965

[2] BERGMAN G M. The Diamond Lemma for Ring Theory[J].Advances in Mathematics,1978,29(3):178-218

[3] SHIRSHOV A I. Some Algorithmic Problems for Lie Algebras[J].Siberian Mathematical Journal,1962,3(5):292-296

[4] BOKUT L A,MALCOLMSON P. Grobner-Shirshov Basis for Quantum Enveloping Algebras[J].Israel Journal of Mathematical,1996,96(2):97-113

[5] 艾尼·吾司塔,阿布都卡的·吾甫.G2型量子群表示的Gr?bner-Shirshov基[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,11(1):1-5

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[9] DENG B M,DU J,Parshal B,et al.Finite Dimensional Algebra and Quantum Groups[M].Soc Providence:Mathematical Surveys and Monographs,2008

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[11] RINGEL C M. PBW-bases of Quantum Groups[J].Jreine Angew Math,1996,470(7):51-88

責(zé)任編輯：羅姍姍

Calculation of Grobner-Shirshov Basis of Quantum Group of TypeB3

Ablmit Zikerya, YANG Fan, QI Xiu-qin, MA Li

(School of Mathematics and Physics, Xinjiang Agricultural University, Urumqi 830052, China)

In order to calculate Grobner-Shishov basis of quantum groupB3, firstly Auslander-Reiten theory and Hall algebraic method in finite dimension algebraic expression are used to calculate skew-commutators between algebraic root vectors of quantum group ofB3, and their composition operation closure of these commutators is tested, then the minimal Grobner-Shirshov basis of the quantum groupB3is given.

quantum group; Grobner-Shirshov; skew commutator

2016-10-13；

2016-11-14.

新疆維吾爾自治區(qū)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項(xiàng)目(201610758186).

阿布力米提·孜克力亞(1987-)，男，新疆烏魯木齊人，助教，碩士，從事代數(shù)表示論研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.005

O152.8

A

1672-058X(2017)02-0022-05