鄭婷婷, 吳化璋

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039)

Bernstein Bezout矩陣與可控制型/可觀測型矩陣之間的聯(lián)系*

鄭婷婷, 吳化璋**

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039)

通過多項式標(biāo)準(zhǔn)冪基與Bernstein基之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系給出了經(jīng)典Bezout矩陣與Bernstein Bezout矩陣之間的相互聯(lián)系；同時,由標(biāo)準(zhǔn)線性控制系統(tǒng)中的可控制型/可觀測型矩陣構(gòu)造出Bernstein基下的線性控制系統(tǒng)理論中的(廣義)可控制型/可觀測型矩陣,并建立Bernstein Bezout矩陣與對應(yīng)的(廣義)可控制型/可觀測型矩陣之間的聯(lián)系，所得結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)冪基下的有關(guān)結(jié)果是平行的.

標(biāo)準(zhǔn)冪基;Bernstein基;Bezout矩陣;Bernstein Bezout矩陣;可控制型/可觀測型矩陣

0 引 言

用Rn[x]表示實數(shù)域R上次數(shù)不超過n-1的線性多項式空間,令

π(x)=(1,x,…,xn-1)T

又設(shè)a(x)和b(x)分別是它們對應(yīng)的關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)冪基的表達(dá)式,即

考察下面分別由a(x)與b(x)生成的關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)冪基的雙線性函數(shù)：

(1)

和f(x)與g(x)生成的關(guān)于Bernstein基的雙線性函數(shù)：

(2)

Bezout矩陣的研究有著悠久的歷史,起初主要用來判斷多項式的求根問題.近些年,由于它在多項式與線性控制系統(tǒng)理論、線性系統(tǒng)的實現(xiàn)理論、結(jié)構(gòu)矩陣?yán)碚摰阮I(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[3-6],從而受到數(shù)學(xué)工作者和工程技術(shù)人員的重視.近些年來,Bezout矩陣被推廣到一些多項式基下進(jìn)行研究[7-12].

在線性控制系統(tǒng)理論中,Bezout矩陣可通過伴侶矩陣、可控制型/可觀測型矩陣等來表示，而這些矩陣在判定一個線性系統(tǒng)是否可控制與是否可觀測中起著非常重要的作用[3].此處主要討論Bernstein基下的Bezout矩陣,并試圖建立與線性控制系統(tǒng)中的(廣義)可控制型/可觀測型矩陣等之間的聯(lián)系.得到的關(guān)系式可以看作是經(jīng)典Bezout矩陣與可控制/可觀測型矩陣之間關(guān)系的一個推廣.

1 經(jīng)典Bezout矩陣與可控制/可觀測型矩陣

令Tn-1是標(biāo)準(zhǔn)冪基向量π(x)與Bernstein多項式基向量B(x)之間的轉(zhuǎn)移矩陣,滿足Tn-1B(x)=π(x).為了方便起見,下面用T來代替Tn-1,即

TB(x)=π(x)

矩陣T=(tij)及其逆矩陣T-1=(sij)可直接算出[2]. 由于f(x)=a(x),g(x)=b(x),根據(jù)以上Bezout矩陣的定義,有如下關(guān)系式成立：

TTB(a,b)T=B(b)(f,g)

(3)

如果g(x)≡b(x)=1,那么

B(b)(f,1)=TTB(a,1)T

(4)

再令S(a)=B(a,1)，S(b)(f)=B(b)(f,1),那么式(4)可簡寫為

S(b)(f)=TTS(a)T

(5)

它的(關(guān)于Bernstein多項式基)廣義伴侶矩陣記為

C(b)(p)=T-1C(p)T

(6)

眾所周知,經(jīng)典Bezout矩陣有如下的Barnett分解.

引理1[4]經(jīng)典Bezout矩陣滿足下列公式：

B(a,b)=S(a)b(C(a)T)

(7)

對于Bernstein Bezout矩陣B(b)(f,g)有如下形式的Barnett型分解公式.

引理2 Bernstein Bezout矩陣滿足下面Barnett型分解公式：

B(b)(f,g)=S(b)(f)g(C(b)(f)T)

其中S(b)(f)=TTS(f)T-1.

證明 利用式(4)—(6)和引理2得到：

B(b)(f,g)=TTB(a,b)T=

TTS(a)b(C(a)T)T=

TTS(f)T-1Tg(C(f)T)T=

S(b)(f)g(C(b)(f)T)

在線性控制系統(tǒng)中,經(jīng)典Bezout矩陣有著重要應(yīng)用,通?？捎煽煽刂菩?可觀測型矩陣和它們的逆來表示.事實上,考慮下面可控制/可觀測的單輸入系統(tǒng)：

,y=MTw

(8)

(9)

其中，

并且，

,…,anbn-1-an-1bn)T

其中ai和bj分別是a(x)和b(x)的系數(shù).假設(shè)式(8)和式(9)分別是完全可觀測的和完全可控制的系統(tǒng),那么根據(jù)對偶性原則,它們的兩個可控制型矩陣定義為

CI≡C(C(a)T,D)=(D,C(a)TD,…,(C(a)T)n-1D)

CII≡C(C(a),M)

(10)

兩個可觀測型矩陣定義為

OII≡O(shè)(C(a),DT)

(11)

這兩類矩陣滿足下列關(guān)系式

(12)

另一方面，很容易推斷等式(13)成立:

(13)

因此,根據(jù)引理2以及B(f,g)的對稱性，很容易得到下列經(jīng)典Bezout矩陣關(guān)于可控制性與可觀測性矩陣的表示.

引理3[3]沿用上面記號，并設(shè)a(x)和b(x)互素.那么Bezout矩陣B(a,b)有如下表示:

B(a,b) = (CI)-1OI=CII(OII)-1=

(OII)-1OI=CII(CI)-1

(14)

2 Bernstein Bezout矩陣與可控制型/可觀測型矩陣

本節(jié)將考慮Bernstein Bezout矩陣B(b)(f,g)的一個關(guān)于(廣義)可控制型/可觀測型矩陣類似表示.為此,考慮一般的可控制型/可觀測型的單輸入系統(tǒng):

(15)

(16)

其中Db=TTDT,Mb=T-1MT.分別構(gòu)造兩個廣義可控制型矩陣和廣義可觀測型矩陣如下：

CI(b)≡Cb(C(b)(f)T,Db)=

(Db,C(b)(f)TDb,…,(C(b)(f)T)n-1Db)

CII(b)≡Cb(C(b)(f),Mb)

(17)

(18)

容易驗證這兩類矩陣之間存在以下關(guān)系:

(19)

下面給出Bernstein Bezout矩陣B(b)(f,g)關(guān)于(廣義)可控制型/可觀測型矩陣(17)和(18)的表示定理.

定理1 沿用上面記號，并設(shè)f(x)和g(x)互素，那么Bernstein Bezout矩陣有如下的矩陣表示:

B(b)(f,g)=(CI(b))-1OI(b)=CII(b)(OII(b))-1=

(OII(b))-1OI(b)=CII(b)(CI(b))-1

(20)

證明 先證第一個等式.根據(jù)式(10)(11)和式(17),有

CI(b)=(Db,C(b)(f)TDb,…,(C(b)(f)T)n-1Db)=(TTDT,TTC(f)TT-tTTDT,…,TT(C(f)T)n-1T-tTTDT)=

TT(D,C(f)TD,…,(C(f)T)n-1D)T=TTCIT

(21)

又

(22)

式(21)、(22)結(jié)合,有

T-1B(f,g)T-T=B(b)(f,g)

因此,式(20)中的第一個等式得證.

剩下的可根據(jù)式(17)(18)(19)以及Bernstein Bezout矩陣的對稱性得到.

從定理1證明過程和等式：

容易得到下面的公式.

推論1 設(shè)記號如前,則式(23)成立

(23)

注釋:從推論1不難看出,定理1是Bernstein Bezout矩陣B(b)(f,g)的一種廣義Barnett型分解公式.因為從定理1的第一個等式和推論1可得：

B(b)(f,g)=(CI(b))-1OI(b)=S(b)(f)g(C(b)(f)T)

(24)

式(24)與引理2完全一致.

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責(zé)任編輯：羅姍姍

Connections between Bernstein Bezout Matrix and Generalized Controllability/Observability-type Matrices

ZHENG Ting-ting, WU Hua-zhang

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230039, China)

The relationships between the classical Bezout matrix and Bernstein Bezout matrix are given by the transformation matrix of the standard power basis and Bernstein polynomial basis. Meanwhile, a generalized linear control system for the Bernstein polynomial basis is established from the classical one, and a kind of generalized controllability/observability-type matrices is constructed correspondingly. Finally, connections between Bernstein Bezout matrix and generalized controllability/observability-type matrices are discussed. The results obtained are parallel to the previous ones for the standard power basis.

standard power basis; Bernstein basis; Bezout matrix; Bernstein Bezout matrix; controllability/observability-type matrix

2016-06-07;

2016-07-05.

安徽省自然科學(xué)基金(1208085MA02)；安徽大學(xué)大學(xué)生科研訓(xùn)練項目(A01414110).

鄭婷婷(1997-),女,陜西西安人,從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

**通訊作者：吳化璋 (1966-),男,安徽全椒人,教授,博士,從事矩陣與算子理論研究. E-mail:wuhz@ahu.edu.cn.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.003

O151

A

1672-058X(2017)02-0012-04