胡志增, 楊春花

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

迭代算法求解矩陣方程埃爾米特雙對稱解*

胡志增, 楊春花

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

復(fù)矩陣方程；迭代算法；埃爾米特雙對稱解

1 問題論述

本文主要考慮以下問題.

問題Ⅰ 已知矩陣A1,A2,C1,C2∈Cp×n,B1,B2,D1,D2∈Cn×q,M1,M2∈Cp×q，求矩陣X∈HBSCn×n使得

(1)

2 問題Ⅰ的規(guī)范方程

以下主要給出式(1)的最小F范數(shù)剩余問題規(guī)范方程.

首先，給出推導(dǎo)過程中所用到的一些定義和引理.

定義1 設(shè)S?Cn×n,對于任意矩陣x1,x2∈S，以及任意數(shù)α∈(0,1)，若都有αx1+(1-α)x2∈S，則稱矩陣集S是凸的，用Qc表示Cn×n上的凸子集.

定義2 若對于任意x1,x2∈Qc以及α∈(0,1)，矩陣函數(shù)f均滿足f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f:Qc→C是凸的.

定義3 若f:Qc→C連續(xù)且可微，則f的梯度定義為

引理1 若f:Qc→C是連續(xù)且可微的，則f在Qc是凸的當(dāng)且僅當(dāng)f(y)≥f(x)+〈▽f(x),y-x〉，對于所有x,y∈Qc.

因?yàn)镠BSCn×n是一個(gè)無界的、開的凸集，由式(1)，定義HBSCn×n上的矩陣函數(shù)：

(2)

則函數(shù)F(X)是連續(xù)的、可微的，在HBSCn×n上也是凸的，所以由引理1、引理2，可得出以下引理.

引理3 設(shè)F(X)的定義式為式(2)，則存在X*∈HBSCn×n滿足

當(dāng)且僅當(dāng)▽F(X*)=0

引理4 矩陣X∈HBSCn×n當(dāng)且僅當(dāng)X=XH=SnXSn.

引理5 假設(shè)矩陣X∈HBSCn×n,則X+SnXSn∈HBSCn×n.

引理6 設(shè)矩陣A∈Cn×n,X∈HBSCn×n,則有

由F范數(shù)的基本性質(zhì)以及矩陣內(nèi)積，可知：

(3)

(4)

(5)

又對任意

所以

(6)

同理

(7)

由式(4)，式(6)以及引理6知

(8)

同理

(9)

由泰勒級數(shù)展開式，知道

F(X+δE)=F(X)+δ〈▽F(X)，E〉+°(δ)?X,

E∈HBSCn×n,δ∈R

(10)

代入式(8)、式(9)到式(3)，然后對比式(10)可得到▽F(X).

由引理3可得到以下定理.

(11)

式(11)稱為問題I的規(guī)范方程.

3 問題I的迭代算法

算法1

第1步:輸入矩陣A1,A2,C1,C2∈Cp×n,B1,B2,D1,D2∈Cn×q,M1,M2∈Cp×q,以及任意初始矩陣X0∈HBSCn×n.

第2步:計(jì)算

R0=V-U(X0)，P0=R0,k:=0

第3步: 如果Rk=0,則停止算法，否則令k:=k+1.

第4步:計(jì)算

第5步:回到第3步.

注1 因?yàn)閄0以及U(X)屬于HBSCn×n，所以可知由算法1得到的矩陣序列{Xk},{Rk}和{Pk}均是埃爾米特雙對稱矩陣，其中Rk是規(guī)范方程式(11)的剩余.

為了證明算法1的收斂性，先驗(yàn)證以下一些基本性質(zhì).

引理7 由算法1得到的矩陣序列{Ri}和{Pi},如果存在正整數(shù)k滿足對所有的i=0,1,2,…,k有Ri≠0，則有：

(i) 〈Ri,Rj〉=0，〈Pi,U(Pj)〉=0,(i,j=0，1，2，…,k，i≠j);

(ii) 〈Ri,Pj〉=〈Rj,Pj〉,(0≤i≤j≤k).

證明 (i) 對任意矩陣X1,X2∈HBSCn×n,由引理6以及本文所用到的內(nèi)積，容易驗(yàn)證〈X1,U(X2)〉=〈U(X1),X2〉,又因?yàn)椤碅,B〉=〈B,A〉對所有A,B∈Cm×n均成立，所以對于(i)中的性質(zhì)只需證明對所有的0≤i

當(dāng)k=1時(shí)，〈R0,R1〉=〈R0,R0-t0U(P0)〉=

〈P0,U(P1)〉=〈U(P0),P1〉=

假定當(dāng)0≤s

當(dāng)s

〈Rs,Rj〉-〈Rs,tjU(Pj)〉=-tj〈Rs,U(Pj)〉=

-tj〈U(Rs),Pj〉=-tj〈U(Ps+Ls-1Ps-1),Pj〉=

-tj[〈U(Ps),Pj〉+Ls-1〈U(Ps-1),Pj〉]=0

〈Ps,U(Pj+1)〉=〈U(Ps),Pj+1〉=

〈U(Ps),Rj+1-LjPj〉=

當(dāng)s=j時(shí)〈Rs,Rs+1〉=〈Rs,Rs-tsU(Ps)〉=

〈Rs,Rs〉-〈Rs,tsU(Ps)〉=

〈Rs,Rs〉-ts〈Rs,U(Ps)〉=

〈Ps,U(Ps+1)〉=〈U(Ps),Ps+1〉=

所以由歸納法證明了性質(zhì)(i)的成立.

(ii) 證明 由算法1以及引理7可知

Ri=Ri+1+tiU(Pi)=Ri+2+ti+1U(Pi+1)+tiU(Pi)=

…=Rj+tj-1U(Pj-1)+…+tiU(Pi)

所以〈Ri,Pj〉=〈Rj,Pj〉+tj-1〈U(Pj-1),Pj〉+…+

ti〈U(Pi),Pj〉=〈Rj,Pj〉 (0≤i≤j≤k)

注2 因?yàn)樗惴?中得到的矩陣序列{Ri}是彼此正交的，而在有限維矩陣空間HBSCn×n中基一定是有限的，所以總存在正整數(shù)r使得Rr=0,所以該迭代算法一定會(huì)在有限步內(nèi)停止，從而得到迭代解.

4 數(shù)值試驗(yàn)

例 對于問題I給定矩陣A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2,M1,M2如下:

取初始矩陣X0=0∈HBSC5×5,應(yīng)用算法1經(jīng)過14步迭代，得到方程組的迭代解.

5 結(jié)束語

[1] HUANG N,MA C.The Modified Conjugate Gradient Methods for Solving a Class of Generalized Coupled Sylvester-Transpose Matrix Equations[J].Computers and Mathematics with Applications,2014,67(8): 1545-1558

[2] LIU A,CHEN G,ZHANG X.A New Method for the Bisymmetric Minimum Norm Solution of the Consistent Matrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2013(3)

[3] DUAN X,LI C.A New Iterative Algorithm for Solving a Class of Matrix Nearness Problem[J].ISRN Computational Mathematics,2012

[4] LIN Y,WANG Q W.Generalized Reflexive and Generalized Antireflexive Solutions to a System of Matrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2014(3):1-9

[5] CHEN D Q,YIN F,HUANG G X.An Iterative Algorithm for the Generalized Reflexive Solution of the Matrix EquationsAXB=E,CXD=F[J].Journal of Applied Mathematics,2012(9):701-708

[6] Zhou Z,Huang G.An Iterative Algorithm for the Reflexive Solution of the General Coupled Matrix Equations[J].The Scientific World Journal,2013(1)

[7] XIE Y J,MA C F.The Matrix Iterative Methods for Solving a Class of Generalized Coupled Sylvester-Conjugate Linear Matrix Equations[J].Applied Mathematical Modelling,2015,39(16):4895-4908

[8] LIANG K,LIU J.Iterative Algorithms for the Minimum-Norm Solution and the Least-Squares Solution of the Linear Matrix Equations[J].Applied Mathematics and Computation,2011,218(7):3166-3175

[9] CAI J,CHEN G.An Iterative Algorithm for the Least Squares Bisymmetric Solutions of the Matrix EquationsA1XB1=C1,A2XB2=C2[J].Mathematical and Computer Modelling,2009,50(7):1237-1244

[10] 周金華,劉建州.矩陣方程ATXB-BTXTA=D的最小二乘解[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003(2):19-21

ZHOU J H,LIU J Z.The Least-square Solution of Matrix EquationATXB-BTXTA=D[J].Journal of Chongqing Technology and Business University (Natural Science Edition),2003(2):19-21

責(zé)任編輯：羅姍姍

An Iterative Algorithm for the Hermite Bisymmetric Solution to A Class of Complex Matrix Equations

HU Zhi-zeng, YANG Chun-hua

(School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University, Hunan Xiangtan 411105, China)

complex matrix equations; iterative algorithm; Hermite bisymmetric solution

2016-09-14；

2016-10-23.

湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015JT2134).

胡志增(1991-),男,河南安陽人,碩士研究生,從事最優(yōu)控制理論與計(jì)算研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.002

O151.24

A

1672-058X(2017)02-0006-06