鄧琴

【摘要】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，在證明不等式時(shí)也極為有用.本文給出了幾種常用的利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；不等式；函數(shù)

【基金項(xiàng)目】杭州電子科技大學(xué)2014年高等教育研究資助項(xiàng)目（YB1425）

一、五種常用的方法

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，在證明不等式時(shí)也極為有用.那如何利用導(dǎo)數(shù)證明不等式？這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的一個(gè)重要問(wèn)題.本文給出了五種常用的利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法.

1.利用微分中值定理證明不等式.

拉格朗日定理：若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并且在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）.在拉格朗日定理中，若f′（x）在區(qū)間（a，b）上有界，即存在常數(shù)m和M，使m

2.利用單調(diào)性定理證明不等式.

這種方法要求函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)有恒定的單調(diào)性.

3.利用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式證明不等式.

4.利用極值的唯一性證明不等式.

若函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)有唯一的極值，這極值即為最值，這性質(zhì)稱為極值的唯一性.

5.利用凹凸性的定義證明不等式.

二、應(yīng)用舉例

例1設(shè)函數(shù)f（x），φ（x）二階可導(dǎo)，當(dāng)x>0時(shí)f″（x）>φ″（x）且f（0）=φ（0），f′（0）=φ′（0），求證當(dāng)x>0時(shí)f（x）>φ（x）.

分析此例證法很多，利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式等均可獲得證明.

證明1利用微分中值定理.令F（x）=f（x）-φ（x），由條件知F（x）在[0，x]上連續(xù)，在（0，x）內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日定理得F（x）-F（0）x-0=F′（ξ）（0<ξ0，F(xiàn)′（0）=0，F(xiàn)（0）=0，又0<ξ0（x>0）.即f（x）-φ（x）>0（x>0），故當(dāng)x>0時(shí)f（x）>φ（x）.

證明2利用函數(shù)的單調(diào)性.設(shè)F（x）=f（x）-φ（x），于是當(dāng)x>0時(shí)F″（x）=f″（x）-φ″（x）>0.由此可見(jiàn)，當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)′（x）單調(diào)增加；又因F′（0）=f′（0）-φ′（0）=0且F′（x）在[0，+∞）上連續(xù)，于是當(dāng)x>0時(shí)F′（x）>F′（0）=0，由此又推得當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)增加；又因F（0）=f（0）-φ（0）=0，于是，當(dāng)x>0時(shí)，有F（x）>0，即當(dāng)x>0時(shí)f（x）>φ（x）.

證明3應(yīng)用泰勒公式.將函數(shù)F（x）=f（x）-φ（x）在x=0處展開(kāi)得F（x）=F（0）+F′（0）x+F″（ξ）2！x2，ξ落在0與x之間.由條件可知，F(xiàn)（0）=0，F(xiàn)′（0）=0，且當(dāng)x>0時(shí)，f″（ξ）-φ″（ξ）>0，故F（x）=f″（ξ）-φ″（ξ）2！x2>0，因此當(dāng)x>0時(shí)f（x）>φ（x）.

例2證明：當(dāng)x>-1時(shí)，ex≥1+ln（1+x）.

證明利用極值的唯一性.令f（x）=ex-1-ln（1+x），則其定義域?yàn)椋?1，+∞），又由于f′（x）=ex-11+x，f″（x）=ex+1（1+x）2>0.因此，由單調(diào)性定理知f′（x）在（-1，+∞）內(nèi)嚴(yán)格遞增.令f′（x）=0，可得f（x）的唯一駐點(diǎn)x=0.又由于f″（0）=e+1>0，因此，函數(shù)f（x）在x=0處取得唯一極小值f（0）=0，因而對(duì)一切x∈（-1，+∞），f（x）≥0，即，當(dāng)x>-1時(shí)，ex≥1+ln（1+x）.

例3證明：當(dāng)0

arctana+b2.

證明利用凹凸性的定義.設(shè)f（x）=arctanx，則f′（x）=11+x2，f″（x）=-2x（1+x2）2.所以，當(dāng)x>0時(shí)，f″（x）<0，即f（x）在（0，+∞）內(nèi)凸.所以f（a）+f（b）2

三、結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)中適當(dāng)介紹用上述方法證明不等式，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1991.