婁榮蘭

一、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

練習(xí)環(huán)節(jié)有一道改錯(cuò)題：教師隨堂搜集學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤（圖1），讓學(xué)生找出錯(cuò)誤并改正。

錯(cuò)誤①十位上的1和32乘得32個(gè)十即320，3應(yīng)該和百位對(duì)齊。錯(cuò)誤②十位上的1和個(gè)位上的6乘得6個(gè)十，不能寫(xiě)在百位上，應(yīng)和前一步計(jì)算進(jìn)位的1相加得7。錯(cuò)誤③兩層積是相加而不是相乘，通過(guò)讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)算理，再添加運(yùn)算符號(hào)“+”來(lái)提醒自己兩層積的關(guān)系，就可以避免此類錯(cuò)誤（圖2）。錯(cuò)誤④乘的時(shí)候沒(méi)有按一定的順序，乘之前用畫(huà)箭頭的方法明確計(jì)算順序可避免重復(fù)及遺漏（圖3）。

師生都找不到錯(cuò)誤⑤的錯(cuò)誤原因，只好請(qǐng)做錯(cuò)題的學(xué)生敘述他的計(jì)算過(guò)程。這時(shí)，教師恍然大悟：“你乘法口訣背錯(cuò)了，課后好好背下來(lái)?！比缓蟊氵M(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)。

二、問(wèn)題研討

課后研討主要集中在兩點(diǎn)：一是對(duì)改錯(cuò)環(huán)節(jié)的評(píng)價(jià)，對(duì)于不會(huì)口訣的學(xué)生的指導(dǎo)要更有針對(duì)性；二是待改進(jìn)之處：如何處理計(jì)算課型的鞏固練習(xí)，才能讓學(xué)生在形成計(jì)算技能、提高正確率與速度的同時(shí)，避免計(jì)算練習(xí)的枯燥與單調(diào)？

（一）要點(diǎn)評(píng)析

1. 改錯(cuò)環(huán)節(jié)存在的必要性。

第一，這些錯(cuò)誤不及時(shí)反饋改正，學(xué)生就容易形成錯(cuò)誤認(rèn)知，不利于形成正確算法。第二，在找錯(cuò)和改錯(cuò)的過(guò)程中，能進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)算理及算法的理解，最終形成正確的算法及計(jì)算技能。第三，從技能形成和知識(shí)建構(gòu)角度看，有正例有反例，正例示范算理及算法，反例強(qiáng)化算理及算法，讓學(xué)生明確應(yīng)該怎樣、不能怎樣，這樣的技能形成與知識(shí)建構(gòu)才全面。第四，在糾錯(cuò)的過(guò)程中，有學(xué)生找到了加箭頭提示有序計(jì)算，添加號(hào)表示兩層積的相加關(guān)系的技巧，有效解決了部分學(xué)生因不熟練導(dǎo)致的注意廣度不夠而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，是提高正確率的有效辦法。

2. 改錯(cuò)環(huán)節(jié)處理不當(dāng)之處。

教師對(duì)背錯(cuò)乘法口訣的學(xué)生只說(shuō)了“課后好好背”，這并不是有效的指導(dǎo)。如果是正常遺忘，課后鞏固一下是可以的，可如果有的學(xué)生因機(jī)械記憶欠缺，而無(wú)法正確背出口訣呢？

3. 改錯(cuò)環(huán)節(jié)改進(jìn)的可能性。

對(duì)機(jī)械記憶口訣有困難的學(xué)生，是否有改進(jìn)教學(xué)的可能性？以下是筆者和這個(gè)班里一個(gè)小組的課后對(duì)話。

師：如果計(jì)算乘法時(shí)背錯(cuò)口訣該怎么辦呢？

生■：背很多遍自然就記住了。

師：可是有的同學(xué)背很多遍還是記不住呢？

生■：他可以用加法計(jì)算。

師：能舉例解釋一下嗎？

生■：剛才做錯(cuò)的27×46，可以把27一直加46次。

師：根據(jù)乘法意義，是一個(gè)解決的方法。

生（其他組員）：太麻煩了！

生■：簡(jiǎn)單點(diǎn)，先用加法算27×6，再用加法算27×4。

生■：也可以每一步乘法都用加法計(jì)算，6×7就用7個(gè)6連加，6×2就用2個(gè)6連加。

生■：可以畫(huà)圖找每次乘法的計(jì)算結(jié)果，比如6×7，每行畫(huà)7個(gè)圓點(diǎn)，畫(huà)6行，就是6×7的結(jié)果。（圖4）

筆者思考：用加法和畫(huà)圖的方法來(lái)計(jì)算乘法，這對(duì)幫助那位背錯(cuò)口訣的學(xué)生來(lái)說(shuō)是有效的方法，雖說(shuō)麻煩，但比教師的應(yīng)對(duì)更有針對(duì)性。再者，雖然用口訣計(jì)算是最簡(jiǎn)單的，但對(duì)機(jī)械記憶有困難的學(xué)生，不用計(jì)算器該如何既正確又有效地計(jì)算乘法呢？

（二）改進(jìn)建議

前文中，生4能想到用數(shù)形結(jié)合計(jì)算乘法，說(shuō)明用該方法畫(huà)出乘法結(jié)果不但可行，而且可以幫助學(xué)生理解乘法計(jì)算的本質(zhì)?；诖?，筆者建議：在計(jì)算練習(xí)之后加以拓展，介紹畫(huà)線乘法。

【教學(xué)片段1】

1. 方法示范。

師：除了豎式計(jì)算，還可以畫(huà)出乘法結(jié)果呢！

教師演示21×13的畫(huà)圖法，分步驟講解。

師：看明白了嗎？是怎么畫(huà)的呢？讓學(xué)生完整說(shuō)出畫(huà)圖法的過(guò)程（圖5）。

21×13=273

師：三位數(shù)乘三位數(shù)一樣能方便畫(huà)出計(jì)算結(jié)果。

演示123×321的計(jì)算過(guò)程，每一步讓學(xué)生試著說(shuō)出畫(huà)法，教師根據(jù)學(xué)生回答情況適當(dāng)補(bǔ)充講解（圖6）。

123×321=39483

2. 嘗試應(yīng)用。

教師出示13×24和21×15，學(xué)生任選一題畫(huà)出圖形，計(jì)算并列豎式驗(yàn)證。

3. 明確算理。

師：為什么能畫(huà)出乘法計(jì)算結(jié)果呢？以123×321為例（圖7），將圖形與豎式對(duì)比可見(jiàn)，區(qū)域⑤是個(gè)位和個(gè)位乘得幾個(gè)一，區(qū)域④是個(gè)位和十位、十位和個(gè)位乘得幾個(gè)十，區(qū)域③是個(gè)位和百位、十位和十位、百位和個(gè)位乘得幾個(gè)百，區(qū)域②是十位和百位、百位和十位乘得幾個(gè)千，區(qū)域①是百位和百位乘得幾個(gè)萬(wàn)。每個(gè)區(qū)域中的交叉點(diǎn)就是乘法豎式中間結(jié)果的另一種表達(dá)形式，豎式中先口訣計(jì)算再相加的過(guò)程，在點(diǎn)線圖中就是直接數(shù)點(diǎn)子總數(shù)的過(guò)程。

4. 溝通聯(lián)系。

教師簡(jiǎn)單介紹鋪地錦及與畫(huà)法的聯(lián)系供有興趣的學(xué)生課后研究。

師：將左圖線拉正變成中間圖，用數(shù)字代替點(diǎn)子數(shù)，再畫(huà)上方格和斜線（每個(gè)方格所對(duì)應(yīng)的因數(shù)相乘，所得的積就填在相應(yīng)方格內(nèi)。其中，斜線將每個(gè)方格分成兩位，若乘得的積不足兩位，就用“0”占十位），即得到下圖鋪地錦的方法（圖8）。

（三）改進(jìn)依據(jù)

畫(huà)線乘法與豎式乘法相比，雖不夠簡(jiǎn)潔，但有其自身的獨(dú)特價(jià)值：首先，可以幫助口訣計(jì)算有困難的學(xué)生也能正確計(jì)算乘法。其次，畫(huà)線乘法不僅能直接數(shù)出結(jié)果，而且?guī)壮藥准捌渌硎镜暮x能從圖中直接感知；將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化成形象的“線”與“點(diǎn)”，根據(jù)簡(jiǎn)單規(guī)則在“畫(huà)”與“數(shù)”的過(guò)程中得出乘法算式的結(jié)果，既能體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”這一思想的妙處，也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

那么教學(xué)中該如何取舍？是簡(jiǎn)潔地算，還是形象地畫(huà)？為了避免計(jì)算教學(xué)的枯燥和單調(diào)，有必要在重點(diǎn)教學(xué)豎式乘法之后簡(jiǎn)單介紹畫(huà)線乘法來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)帶來(lái)的方法美、奇異美，同時(shí)幫助理解算法、體會(huì)算理、感悟數(shù)學(xué)思想方法。在平時(shí)的課堂中，教師若能不止于教材，廣泛取舍，將諸多資源巧妙糅合，努力為學(xué)生創(chuàng)造融會(huì)貫通、積極思考的機(jī)會(huì)，相信我們的數(shù)學(xué)課堂能更好地?zé)òl(fā)生命的活力。

三、優(yōu)化課堂

執(zhí)教教師重新設(shè)計(jì)了教學(xué)流程：在情境中探究豎式的算法算理后進(jìn)行計(jì)算的嘗試練習(xí)，接著搜集典型錯(cuò)誤進(jìn)行改錯(cuò)，介紹“畫(huà)線乘法”，然后進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，最后總結(jié)質(zhì)疑。值得一提的是課堂在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，執(zhí)教教師改變了原來(lái)的幾道中間有0、連續(xù)進(jìn)位的練習(xí)，改成了找規(guī)律練習(xí)。

【教學(xué)片段2】

1. 引出猜想。

（1）讀句子：（出示若干回文詩(shī)）。問(wèn)：數(shù)學(xué)上是否也有這種現(xiàn)象呢？

（2）計(jì)算①32×46和64×23，②21×48和84×12。

（3）集體訂正。

2. 探索規(guī)律。

（1）觀察上面兩組算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）任意寫(xiě)一個(gè)算式，看是否符合上面的規(guī)律？

（3）討論：回文算式有什么樣的規(guī)律？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試著寫(xiě)一組算式，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你總結(jié)的規(guī)律是否正確。

四、留下思考

1. 解惑，在學(xué)生真正困惑處。

釋疑解惑是教學(xué)的第一要義，學(xué)生的困惑處永遠(yuǎn)都應(yīng)該是教師重點(diǎn)關(guān)注也永遠(yuǎn)都是教師值得花精力去研究的。如此就要求教師備課要深入，要預(yù)設(shè)各種可能，才能從容應(yīng)對(duì)學(xué)生的問(wèn)題，真正給學(xué)生解惑。如果教師本來(lái)就知道可以畫(huà)出結(jié)果，學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)及時(shí)介紹便可一舉多得：幫助不會(huì)口訣的學(xué)生能夠正確計(jì)算，幫助學(xué)生理解乘法的本質(zhì)，非常規(guī)方法激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

2. 設(shè)疑，陌生點(diǎn)激發(fā)探究欲望。

這堂課從探索規(guī)律開(kāi)始，學(xué)生就進(jìn)入了“總結(jié)規(guī)律—應(yīng)用規(guī)律—驗(yàn)證規(guī)律”的循環(huán)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生是投入的、興奮的。但是，一直到下課，學(xué)生們也沒(méi)總結(jié)出一個(gè)經(jīng)得起大家驗(yàn)證的規(guī)律。用一般的標(biāo)準(zhǔn)看，這堂課很不成功，因?yàn)閱?wèn)題沒(méi)有解決。然而，學(xué)生課后探索一直沒(méi)有結(jié)束。這讓筆者確信，這堂課是成功的：計(jì)算的目標(biāo)早已達(dá)成，在形成計(jì)算技能、提高計(jì)算的正確率與速度時(shí)避免計(jì)算練習(xí)的枯燥與單調(diào)，同時(shí)極大激發(fā)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，促使他們對(duì)問(wèn)題的深度思考。

（作者單位：江蘇省連云港市中云中心小學(xué)）