喬國鋒

且行且思，積累探索規(guī)律的經(jīng)驗
——蘇教版四下《多邊形的內(nèi)角和》一課的教學(xué)設(shè)計

喬國鋒

【設(shè)計理念】

《多邊形的內(nèi)角和》是蘇教版四下的一節(jié)數(shù)學(xué)活動課，旨在讓學(xué)生通過觀察、操作、推理等具體的活動，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計算方法。教材是在學(xué)生探索了三角形內(nèi)角和及認(rèn)識了多邊形基本特征的基礎(chǔ)上展開設(shè)計的。教材從簡單圖形開始，依據(jù)三角形內(nèi)角和的結(jié)論，依次對四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和進行探索，運用“轉(zhuǎn)化”的思想求出這些簡單圖形的內(nèi)角和，然后對探究中獲得的數(shù)據(jù)進行整理、分析、推理，獲得多邊形內(nèi)角和的計算方法，最后通過回顧與反思，積累稍復(fù)雜規(guī)律的探究經(jīng)驗。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“課標(biāo)”）明確指出：學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運用數(shù)學(xué)思想方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。因此，在設(shè)計本課時，為了調(diào)動學(xué)生在探索三角形內(nèi)角和時積累的活動經(jīng)驗，筆者首先讓學(xué)生通過動手操作，即在撕一撕、畫一畫、填一填、找一找等活動中經(jīng)歷猜想、驗證的過程，然后讓學(xué)生在對比、感悟中掌握探究的方法，體驗探索規(guī)律的一般步驟。具體的設(shè)計思路如下：

1.自主參與，真實經(jīng)歷探索過程。

課標(biāo)中多次強調(diào)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、驗證等多種數(shù)學(xué)活動過程。只有學(xué)生自主參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，才能真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。在本課開始，筆者巧設(shè)教學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生對課題的興趣，讓學(xué)生自主建構(gòu)活動目標(biāo)；在課中，學(xué)生展示和比較極富個性的計算方法，激活深入探索的愿望；最終，學(xué)生通過對數(shù)據(jù)的觀察分析，用自己的語言和方法概括出多邊形內(nèi)角和的計算方法。這些措施都將學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷真實的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

2.任務(wù)驅(qū)動，有效積累活動經(jīng)驗。

教師是活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者，因此，筆者力圖創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，以任務(wù)驅(qū)動學(xué)生。教學(xué)伊始，筆者就讓學(xué)生根據(jù)課題提煉出本課的學(xué)習(xí)任務(wù)：多邊形內(nèi)角和的計算結(jié)果是多少？我們是怎么探索多邊形內(nèi)角和的？學(xué)生以這兩個大問題為目標(biāo)，進行有目的的研究活動。在探索、積累數(shù)據(jù)后，學(xué)生創(chuàng)建并填寫統(tǒng)計表格，學(xué)生以“觀察表格數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律”為任務(wù)，通過推演分析，抽象概括出多邊形內(nèi)角和的計算法。在這些任務(wù)中，學(xué)生有了“有序思考”“從簡單的想起”“找一找規(guī)律”“抽象概括”的活動經(jīng)驗，為以后的探索活動打下了基礎(chǔ)。

3.對比反思，關(guān)注核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

核心素養(yǎng)是適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力?！抖噙呅蔚膬?nèi)角和》一課所涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、推理能力等，其中推理能力又是本課的重點。在四邊形內(nèi)角和探索中，學(xué)生在由特殊到一般的猜測、驗證過程中進行推理，初步體驗推理思維；在將研究數(shù)據(jù)填入表格并對數(shù)據(jù)進行觀察、分析、概括的過程中，進一步培養(yǎng)學(xué)生自主推理的能力，最終通過交流獲得了多邊形內(nèi)角和的計算方法。在探索操作的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生充分借助幾何圖形，利用添畫輔助線的方法直觀感知多邊形內(nèi)角和與分成的三角形個數(shù)之間的關(guān)系，從而提升學(xué)生的分析與推理能力。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.學(xué)生經(jīng)歷提出問題、自主探索、觀察分析、歸納概括等活動，能利用分割三角形的形式求出多邊形的內(nèi)角和，并根據(jù)多邊形邊數(shù)與分割三角形個數(shù)之間的關(guān)系，掌握多邊形內(nèi)角和的計算方法。

2.學(xué)生在活動中經(jīng)歷分一分、算一算、比較歸納等探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，加深對探索數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法的了解，積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升解決問題的能力；體會轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)觀察、比較、歸納和概括等思維能力，發(fā)展空間觀念。

3.學(xué)生在主動參與探索規(guī)律的活動中，獲得探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的成功體驗，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；感受數(shù)學(xué)的奧妙，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。

【教學(xué)過程及意圖】

一、自主提問，產(chǎn)生核心問題

師：今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“多邊形的內(nèi)角和”，看到這個課題，你能提出哪些問題？

預(yù)設(shè)：什么是多邊形？什么是內(nèi)角和？多邊形的內(nèi)角和是多少度？怎么來研究多邊形的內(nèi)角和？

前兩個問題直接讓學(xué)生交流、解答。

師：多邊形的內(nèi)角和怎么去研究（過程）？研究的結(jié)果又是什么（結(jié)果）？這節(jié)課我們就帶著這兩個問題邊學(xué)邊思考。

板書：結(jié)果 過程

【通過自主提問，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力；通過核心問題引領(lǐng)，增強了學(xué)生研究問題、探究規(guī)律的動力，同時也使研究更具方向性和目的性。】

二、簡單交流，確定研究思路

師：今天我們要對多邊形的內(nèi)角和進行研究，我們是從20邊形、30邊形這樣的復(fù)雜多邊形開始研究呢？還是有更好的切入口？

預(yù)設(shè)：只要學(xué)生提到邊數(shù)較少的多邊形，教師就指出：你們說的多邊形的邊數(shù)都較少，這樣的研究方法在數(shù)學(xué)上可以稱為——從簡單的想起。

板書：從簡單的想起

師：從幾邊形開始？（三角形）然后呢？

學(xué)生只要按順序說出圖形的名稱，教師就對其想法進行評價：按順序進行，能更便于我們獲得想要的結(jié)果。

板書：有序思考

師：行，我們就從三角形開始研究。

課件出示可以移動的三角形：移動三角形的一個頂點，三角形的形狀在變化，三個角的度數(shù)也在變化，什么是不變的？（三角形內(nèi)角和始終是180度）

板書：三角形 180度。

【學(xué)生通過與教師的簡單對話交流，初步掌握了解決復(fù)雜問題的一般步驟，即從簡單想起，按序思考。】

三、動手操作，掌握探索方法

師：三角形的內(nèi)角和，我們以前探索過了，今天不再重復(fù)，接下來我們該研究四邊形的內(nèi)角和了。你認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和是多少度？先猜猜看，再說說你是怎么想到的？

預(yù)設(shè)：學(xué)生會根據(jù)長方形或正方形這兩個特殊的四邊形進行猜想，由于這兩個四邊形的四個內(nèi)角都是直角，所以學(xué)生會猜測四邊形的內(nèi)角和是360度。

師拖動四邊形的四個頂點，將它變成一般的四邊形。提問：現(xiàn)在這個四邊形的內(nèi)角和還是360度嗎？你打算用什么方法來驗證呢？

學(xué)生從學(xué)具中取出一個四邊形進行操作驗證，完成后匯報結(jié)果。

組織學(xué)生匯報交流：

第一組：用“拼”的方法進行驗證。

師評價：將四邊形的四個內(nèi)角撕下來，拼成一個周角，來說明四邊形的內(nèi)角和是360度，這種方法在研究三角形內(nèi)角和時就用過，這組同學(xué)能學(xué)以致用，值得大家學(xué)習(xí)。

第二組：用“分”的方法驗證。

師（演示一位學(xué)生的操作）：這位同學(xué)只畫了四邊形的一條對角線，認(rèn)為這樣就能說明四邊形的內(nèi)角和是360度。你們能看懂嗎？

師用課件演示，先用動畫展示分成的第一個三角形的三個內(nèi)角，再展示另一個三角形的三個內(nèi)角，提問：兩個三角形內(nèi)角度數(shù)之和與原來四邊形的四個內(nèi)角度數(shù)之和有什么關(guān)系？（相等）

師：這說明分了以后，形狀變了，但內(nèi)角和不變。數(shù)學(xué)上把這種方法稱為轉(zhuǎn)化。

板書：轉(zhuǎn)化

師：你們也試著分一分，并說一說任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？

板書：四邊形 180°×2

師：驗證四邊形的內(nèi)角和時，有人用撕的方法，有人用轉(zhuǎn)化成三角形的方法來驗證，你認(rèn)為哪種方法能更好地幫助我們研究更復(fù)雜的多邊形的內(nèi)角和？

【學(xué)生通過對四邊形進行“剪拼”“分割”等操作，經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、計算、驗證等過程，在對比感受中掌握多邊形內(nèi)角和的重要研究方法——轉(zhuǎn)化，這為后續(xù)開展更為深入的探究活動打下了基礎(chǔ)。】

四、方法應(yīng)用，解決復(fù)雜問題

師：請你再從信封中取出印有五邊形、六邊形的紙來，你能不能也用轉(zhuǎn)化成三角形的方法求出這兩個多邊形的內(nèi)角和？

學(xué)生操作后交流：

第一步：交流五邊形的內(nèi)角和。

預(yù)設(shè)學(xué)生分的形式：分成兩個四邊形、分成一個四邊形和一個三角形、分成三個三角形。

師：在這幾種分法中，你對哪種分法有意見？說一說你的理由。

說明：從頂點到對邊來分，分成了兩個四邊形之后，就會產(chǎn)生多余的角（師在課件上指出），這時的內(nèi)角和就比實際的內(nèi)角和大，說明在分的時候只能從頂點到頂點來分。

師：對于剩下的兩種分法，你又有什么看法？

分成一個三角形和一個四邊形實際上和分成三個三角形是一樣的想法，一個四邊形的內(nèi)角和就相當(dāng)于兩個三角形的內(nèi)角和，所以五邊形的內(nèi)角和就是 180°×3=540°

板書：五邊形 180°×3

第二步：交流六邊形的內(nèi)角和

預(yù)設(shè)：（1）有學(xué)生通過六邊中間的點向各頂點連線，分出6個三角形的情況，讓學(xué)生觀察這樣分是否合理。

說明：在分的時候，線不能相交，相交就會產(chǎn)生多余的內(nèi)角，使原有的內(nèi)角和變大。

（2）正常的分法，將六邊形分成四個三角形。學(xué)生對這樣的分法進行評價，共同說明六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。

析書：六邊形 180°×4

【運用轉(zhuǎn)化的策略探究出五邊形、六邊形的內(nèi)角和，在運用中充分暴露學(xué)生的問題，在討論中分辨方法，去偽存真，讓學(xué)生學(xué)會求出多邊形的內(nèi)角和。】

五、整理數(shù)據(jù)，觀察發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律

師：剛才我們研究了一些多邊形的內(nèi)角和，我們希望把研究的結(jié)果和過程都整理在表格中，除了多邊形的名稱，你還想整理哪些內(nèi)容？（課件出示）

根據(jù)學(xué)生的回答，教師利用課件自動匯制表格，主要的欄目有：邊數(shù)、分成的三角形的個數(shù)、內(nèi)角和。

師：我們已經(jīng)研究了一些多邊形，先把研究好的結(jié)果填入表中。（學(xué)生口述，教師在課件上填寫）

師：在你們的信封里也有這張表，請你取出來填一填。

填寫要求：（1）填一填：用今天學(xué)習(xí)的方法把七邊形與八邊形的內(nèi)角和求出來，并填在表里。（2）找一找，觀察表里的這些數(shù)據(jù)，找一找它們之間的聯(lián)系，想一想數(shù)據(jù)中藏著什么規(guī)律？（板書：找出規(guī)律）

交流：

（1）先匯報填寫的結(jié)果。

（2）說一說你從這些數(shù)據(jù)中有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：

（1）只看結(jié)果，每次內(nèi)角和都增加180度。

（2）單列看數(shù)據(jù)變化，如分成的三角形個數(shù)每次增加1，邊數(shù)每次增加1等。

備注：針對上述兩種情況，教師先肯定他們是豎著看每一列中的數(shù)據(jù)，并發(fā)現(xiàn)了這些規(guī)律，同時提醒學(xué)生能否橫向?qū)ふ覕?shù)據(jù)之間的聯(lián)系。

（3）三角形個數(shù)與內(nèi)角和之間的關(guān)系，即能分成幾個三角形，內(nèi)角和就是180度乘幾。

（4）邊數(shù)與分成的三角形個數(shù)之間的關(guān)系，即分成的三角形的個數(shù)比邊數(shù)少2。

師：你們發(fā)現(xiàn)了這么多的聯(lián)系，那你能不能用一個公式表示多邊形內(nèi)角和的計算方法。

板書：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°

師：如果知道多邊形的邊數(shù)，你能不能求出這個多邊形的內(nèi)角和？比如十二邊形的內(nèi)角和是多少度？一百邊形的內(nèi)角和是多少度？（列出算式）

【學(xué)生在制作表格的過程中，學(xué)會對數(shù)據(jù)進行整理和分析，通過對表格的橫向或縱向觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，通過邏輯推理得出多邊形內(nèi)角和的計算方法?！?/p>

六、反思應(yīng)用，深化學(xué)習(xí)內(nèi)涵

師：現(xiàn)在我們可以回到開始提出的兩個問題：今天研究的結(jié)果是什么？怎么研究的？

研究出多邊形的內(nèi)角和等于邊數(shù)減2的差再乘180度。

研究時，先從簡單的想起，按序思考，把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形進行研究，并從得出的數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，得到求多邊形內(nèi)角和的方法。

師：如果你們以后遇到一個復(fù)雜的問題，你們會怎么做呢？

師利用課件出示：

777777777×999999999＝？

師：如果讓你研究出算式的結(jié)果，你計劃怎么做？

結(jié)合學(xué)生的回答逐行板書：

7×9＝63

77×99＝7623

777×999＝776223

…………

找找規(guī)律，說一說原來算式的計算結(jié)果是多少。

師：今天不僅研究出了多邊形內(nèi)角和的計算方法，還掌握了研究復(fù)雜問題的一般步驟。今后遇到類似問題時，你們也要用今天學(xué)到的方法進行思考，那樣你們會有更多的發(fā)現(xiàn)。

【與上課開始提出的核心問題相呼應(yīng)，通過反思，學(xué)生進一步感受解決復(fù)雜問題、探索復(fù)雜規(guī)律所要經(jīng)歷的思考過程和基本步驟，通過方法的運用，學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中獲得的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以深化?！?/p>

江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤實驗小學(xué)）

【微話題】

@江蘇教育：你對數(shù)學(xué)是怎么理解的？

@喬國鋒：數(shù)學(xué)是一種語言，它用簡潔的符號或圖像描繪大千世界，我們讀懂這門語言的同時，也在深刻認(rèn)識世界；數(shù)學(xué)是一種工具，與我們的生活密切相關(guān)，我們運用數(shù)學(xué)探索規(guī)律、解決問題；數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，它的簡潔、對稱、統(tǒng)一、奇異美帶給人們啟發(fā)，促使人們?nèi)?chuàng)造更美好的世界。

@江蘇教育：2037年的學(xué)校是什么樣子？

@喬國鋒：隨著科技的飛速發(fā)展，到2037年，學(xué)校將是一個互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)、人工智能等相互融合的智慧化校園，這樣的校園里有無處不在的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)環(huán)境、高效的智能管理平臺，所有的學(xué)生可以個性化地自主學(xué)習(xí)，平等地享受全世界的優(yōu)質(zhì)教育資源。

@江蘇教育：寫一段話，送給自己。

@喬國鋒：做一個富有激情、讓學(xué)生喜歡的教師。積極鉆研，不斷提升自身的專業(yè)素養(yǎng)；熱愛學(xué)習(xí)，不斷更新和發(fā)展自身的教育理念；走進學(xué)生的內(nèi)心，與學(xué)生一起共創(chuàng)美好未來。

【他人說】

喬國鋒老師是學(xué)校里最有耐心的數(shù)學(xué)老師。這份耐心對于他自己來說是一種教學(xué)的成熟，他關(guān)注的永遠(yuǎn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的收獲。當(dāng)我們被每堂課的所謂教學(xué)任務(wù)壓迫得急于求成的時候，他卻還在放手讓學(xué)生實踐交流；當(dāng)我們?yōu)閷W(xué)生的不良行為習(xí)慣焦頭爛額的時候，他卻安靜地等待學(xué)生的轉(zhuǎn)變。這是對數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的追求，更是一種教學(xué)自信的體現(xiàn)。這份耐心對于學(xué)生來說是一片健康成長的空間，它帶給學(xué)生的是真實的數(shù)學(xué)生活。喬老師相信他的學(xué)生，他就在學(xué)生中間，一起研究、一起學(xué)習(xí)，在喬老師身上仿佛寫著大大的兩個字——數(shù)學(xué)！

——江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤實驗小學(xué) 周育儉