呂毅斌，代榮恒，王櫻子

(1.昆明理工大學(xué)理學(xué)院，云南 昆明 650500；2.昆明理工大學(xué)計算中心，云南 昆明 650500)

基于BiCR算法的數(shù)值保角變換計算法

呂毅斌1，代榮恒1，王櫻子2

(1.昆明理工大學(xué)理學(xué)院，云南 昆明 650500；2.昆明理工大學(xué)計算中心，云南 昆明 650500)

將BiCR(Bi-Conjugate Residual)算法與基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換算法原理相結(jié)合，提出了基于BiCR算法的數(shù)值保角變換計算法，并通過數(shù)值實驗檢驗了所提出算法是有效且可行的.

模擬電荷法；保角變換；BiCR算法

保角變換是函數(shù)論的一個基本問題，它被廣泛應(yīng)用于電磁理論、彈性理論、熱傳輸、流體力學(xué)與圖像處理等許多物理學(xué)和工學(xué)的問題上.[1-3]解析法和數(shù)值計算法是保角變換的主要求解方法.在保角變換中黎曼存在定理可以證明保角變換是構(gòu)造型的變換，因此通常只能知道變換函數(shù)存在但不能求出，只有很少數(shù)情況下才能用初等函數(shù)表示解析函數(shù).在復(fù)雜的實際應(yīng)用工程問題中，很多情況只能通過數(shù)值方法來近似求解滿足給定條件的保角變換.

基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換算法由日本學(xué)者天野要提出.[4-6]相對于傳統(tǒng)的級數(shù)展開法、積分方程法與變分法等數(shù)值保角變換求解方法，利用模擬電荷法原理計算保角變換的過程中不計算數(shù)值積分，所以計算時間短.在保角變換的計算中可以使用拉普拉斯方程的最大值原理評價誤差，因而保角變換的計算精度很高.

BiCR算法[7-8]由Sogabe提出，是CR(Conjugate Residual)方法的推廣，是一種可以高效求解線性方程組的算法，主要用于求解非對稱線性方程組.

本文首先配置模擬電荷點和邊界上的約束點，進(jìn)而得到約束方程.然后通過BiCR算法求解約束方程，在求解出保角變換半徑的近似值和模擬電荷的電荷量后，構(gòu)造保角變換的近似函數(shù).最后通過數(shù)值實驗對算法進(jìn)行了檢驗.

1 基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換算法

本節(jié)簡要介紹基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換算法[9-11].考慮如下保角變換：設(shè)D為z平面上任意封閉若爾當(dāng)曲線C的外部區(qū)域，此時存在一個保角變換函數(shù)f(z)，將區(qū)域D映射為w平面上的單位圓的外部區(qū)域|w|≥1.在不失一般性的情況下，假定原點z=0在C的內(nèi)部且有f(0)=0.此時，若f(z)滿足正規(guī)化條件f(∞)=∞，f′(∞)>0，則f(z)可以唯一表示為

其中：g(z)是Dirichlet問題

的解.γ是外部變換半徑.h(z)為g(z)在D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)，且有h(∞)=0.此時由模擬電荷法，可用C圍成區(qū)域內(nèi)部配置的N個電荷點ζj作為極的對數(shù)勢場的一維結(jié)合

來高精度的近似g(z)，這時h(z)可以用如下函數(shù)近似：

由于電荷qj以及變換半徑γ滿足Dirichlet問題邊界條件

其中Γ為外部變換半徑γ的近似.從而只需求解以上線性方程組并回帶，即可得到數(shù)值保角變換函數(shù)f(z).

綜上，基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換算法步驟如下：

(1) 分配適當(dāng)數(shù)量的約束點和模擬電荷點，安排相對應(yīng)的約束點和模擬電荷點的位置；

(2) 利用Dirichlet問題邊界條件構(gòu)造線性方程組，得到保角變換半徑和電荷量；

(3) 通過保角變換半徑和電荷量構(gòu)造外部保角變換近似函數(shù).

2 基于BiCR算法的外部數(shù)值保角變換新算法

在前節(jié)闡述的基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換算法過程中，線性方程組的求解對最終計算結(jié)果起著關(guān)鍵性作用.經(jīng)整理，需要求解的線性方程組為

Ax=b(A∈R(N+1)×(N+1)，b∈RN+1).

其中

這里aij=log|zi-ζj|.

本文采用BiCR算法對以上線性方程組進(jìn)行求解.[12-14]BiCR算法是一種適用于非對稱線性方程組的迭代求解方法，用零向量作為初始解.下面給出標(biāo)準(zhǔn)的BiCR算法步驟：

Input：A，b，x0.

forn=0，1，…，

xn+1=xn+αnpn，rn+1=rn-αnApn，

end.

在上述BiCR算法中，x0是給定的初始近似解，這里選取零向量；r0=b-Ax0為初始向量.

3 數(shù)值實驗

在下面的數(shù)值例中，選取了兩種不同的參數(shù)a進(jìn)行實驗.外部數(shù)值保角變換的誤差是根據(jù)拉普拉斯方程的最大值原理進(jìn)行評價.將誤差定義為z平面上橢圓邊界上的點保角變換到w平面上的相應(yīng)點與單位圓周的最大距離，即誤差計算公式為error=max{‖f(z)|-1|}.

根據(jù)天野要[4]的方法對模擬電荷點和約束點的位置進(jìn)行了設(shè)置，模擬電荷點數(shù)量為200.橢圓邊界及其邊界外部區(qū)域情況見圖1，保角映射的結(jié)果見圖2，保角映射的最終誤差值為7.147 6×10-8.本實驗通過給定不同的約束點和模擬電荷點得到誤差分布曲線見圖3.

圖1 a=3時橢圓及外部區(qū)域

圖2 a=3時橢圓及外部區(qū)域的保角變換

圖3 a=3時數(shù)值保角變換的誤差分布曲線

例2 對a=5時的橢圓邊界及其邊界外部的區(qū)域進(jìn)行保角變換，橢圓邊界為

與例1相同，根據(jù)天野要[4]的方法對模擬電荷點和約束點的位置進(jìn)行了設(shè)置，模擬電荷點數(shù)量取為200，橢圓邊界及其邊界外部區(qū)域情況見圖4，保角映射的結(jié)果見圖5，保角映射的最終誤差值為5.713 8×10-8.本實驗通過給定不同的約束點和模擬電荷點得到誤差分布曲線見圖6.

圖4 a=5時橢圓及外部區(qū)域

圖5 a=5時橢圓及外部區(qū)域的保角變換

圖6 a=5時數(shù)值保角變換的誤差分布曲線

上述實驗表明，本文闡述的算法可以高精度的構(gòu)建保角變換函數(shù)，故而該算法是行之有效的，并且通過參數(shù)的調(diào)整，可以得到更好的結(jié)果.

4 結(jié)論

本文將求解非對稱線性方程組的BiCR算法與基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換算法相結(jié)合，提出了數(shù)值保角變換的一個新算法，并通過數(shù)值實驗，檢驗了算法的有效性.這個算法具有程序簡潔、運行占用內(nèi)存小、計算精度高等優(yōu)點.在對其進(jìn)行誤差分析后，可以將其應(yīng)用于多連通區(qū)域保角變換和流體力學(xué)等很多物理學(xué)和工學(xué)問題中.

[1] 曹偉杰.保形變換理論及其應(yīng)用[M].上海：上海科技文獻(xiàn)出版社，1988：193-231.

[2] 徐趁肖，朱衡君，齊紅元.復(fù)雜邊界單連通域共形映射解析建模研究[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2002(4)：135-138.

[3] 朱滿座.數(shù)值保角變換及其在電磁理論中的應(yīng)用[D].西安電子科技大學(xué)，2008.

[4] AMANO K.Numerical conformal mapping based on the charge simulation method[J].Trans Inform Process Soc Japan，1987，28：697-704.

[5] AMANO K.Numerical conformal mapping of exterior domains based on the charge simulation method[J].Trans Inform Process Soc Japan，1988，29：62-72.

[6] AMANO K.A charge simulation method for the numerical conformal mapping of interior，exterior and doubly-connected domains[J].Comput Appl Math，1994，53：353-370.

[7] SOGABE T，SUGIHARA M，ZHANG S L.An extension of the conjugate residual method to non-symmetric linear systems[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，226：103-113.

[8] SOGABE T，ZHANG S L.Extended conjugate residual methods for solving nonsymmetric linear systems[M].New York：Science Press，2003：88-99.

[9] LU Y B，WU D A，WANG Y Z，et al.The accuracy improvement of numerical conformal mapping using the modified Gram-Schmidt method[M].Berlin：Springer，2013：555-563.

[10] SAKURAI T，SUGIURA H.A method for numerical conformal mapping by using Pade approximations[J].Trans Inform Process Soc Japan，2002，43：2959-2962.

[11] 姚國梅，呂毅斌，王櫻子.數(shù)值保角變換的新算法[J].價值工程，2014，31：308-310.

[12] 楊志梅.解非對稱線性系統(tǒng)的混合BiCR法[D].廣西大學(xué)，2010.

[13] 左憲禹，谷同祥，莫則堯，等.適合于分布式并行計算的一種并行廣義乘積型雙共軛殘差方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2013(2)：246-259.

[14] 仲妍，駱志剛，吳楓.求解非對稱線性方程組的s-BiCR算法[J].國防科技大學(xué)學(xué)報，2010(2)：61-67.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

The BiCR method for numerical conformal mapping

LU Yi-bin1，DAI Rong-heng1，WANG Ying-zi2

(1.Faculty of science， Kunming university of science and technology， Kunming 650050， China； 2.Computer Center， Kunming university of science and technology， Kunming 650050， China)

A new method for numerical conformal mapping is considered.In this method，the linear equation of charge simulation method is solved using the BiCR(Bi-Conjugate Residual) algorithm，and the approximate conformal mapping function is constructed using the charge points and conformal mapping radius.Finally，the efficiency of the proposed method is illustrated by several numerical examples.

charge simulation method；numerical conformal mapping；BiCR method

1000-1832(2017)01-0048-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.010

2015-08-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(11461037).

呂毅斌(1972—)，男，博士，副教授，主要從事科學(xué)計算與圖像處理研究；通信作者：王櫻子(1972—)，女，碩士，講師，主要從事科學(xué)計算與數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件設(shè)計研究.

O 241.2 [學(xué)科代碼] 110·61

A