王朝君，崔艷艷

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

Bn上一類(lèi)螺形映照子族的不變性

王朝君，崔艷艷

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

將Roper-Suffridge算子在Cn中單位球Bn上加以推廣，討論了α次強(qiáng)β型螺形映照在推廣后的Roper-Suffridge算子下的不變性.從定義出發(fā)，利用雙全純映照的增長(zhǎng)定理證明了推廣后的Roper-Suffridge算子在一定條件下保持α次強(qiáng)β型螺形性.

雙全純映照；螺形映照；Roper-Suffridge算子

螺形映照[1]是多復(fù)變幾何函數(shù)論中重要的映照類(lèi)，在對(duì)螺形映照討論的過(guò)程中，人們根據(jù)映照不同的幾何特征引入了螺形映照的許多子族，如α次β型螺形映照[2]、α次殆β型螺形映照[2]以及α次強(qiáng)β型螺形映照[2].

1995年，Roper-Suffridge算子[3]的引入，使得可以由單復(fù)變函數(shù)中具有某些特殊幾何性質(zhì)的雙全純函數(shù)構(gòu)造出多復(fù)變函數(shù)中相應(yīng)的雙全純映照，于是許多學(xué)者結(jié)合Roper-Suffridge算子討論了螺形映照的子族或擴(kuò)充，證明了推廣的Roper-Suffridge延拓算子在不同空間與不同區(qū)域上保持螺形映照子族的性質(zhì).[4-7]

2005年，Muir和Suffridge[8]將Roper-Suffridge延拓算子推廣為

并證明了推廣后的算子在一定條件下保持星形性和凸性.2008年Muir[9]將Roper-Suffridge延拓算子在復(fù)Banach空間單位球上進(jìn)一步推廣為

F(z)=(f(z1)+G([f′(z1)]γz0)，[f′(z1)]γz0)′.

本文在前人工作基礎(chǔ)上將Roper-Suffridge延拓算子進(jìn)行了改進(jìn)，討論了α次強(qiáng)β型螺形映照在推廣后的Roper-Suffridge算子作用下的不變性.文中用D表示單位圓盤(pán)，Bn表示Cn中的單位球.

1 預(yù)備知識(shí)

下面將α次強(qiáng)β型螺形映照[2]的概念推廣到Cn中單位球Bn上.

則稱(chēng)f(z)是Bn上的α次強(qiáng)β型螺形映照.

引理1.1[9]令P(z)是m次齊次多項(xiàng)式，DP(z)是P(z)在z點(diǎn)的Frechet導(dǎo)數(shù)，則DP(z)z=mP(z).

證明 令

引理1.3[10]設(shè)f(z)是單位圓盤(pán)D上的正規(guī)化雙全純函數(shù)，則

2 主要結(jié)論及其證明

證明 由定義1.1，只需證明

(1)

事實(shí)上，由F(z)的表達(dá)式及引理1.1知

(2)

由于f(z1)是D上的α次強(qiáng)β型螺形函數(shù)，由定義1.1得

(3)

由(2)與(3)式知

于是由引理1.2─1.3可得

從而(1)式成立，定理得證.

則F(z)是Bn上的強(qiáng)α次殆β型螺形映照.

注2.1 在定理2.1及推論2.1中令β=0則得到相應(yīng)的關(guān)于強(qiáng)星形映照的結(jié)論.

[1] SUFFRIDGE T J.Starlikeness，convexity and other geometric properties of holomorphic maps in higher dimensions[J].Lecture Notes in Math，1976，599：146-159.

[2] 馮淑霞，劉太順，任廣斌.復(fù)Banach空間單位球上幾類(lèi)映射的增長(zhǎng)掩蓋定理[J].數(shù)學(xué)年刊，2007，28A(2)：215-230.

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[10] DUREN P L.Univalent Functions[M].New York：Springer-Verlag，1983：57-58.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

The invarity of a subclass of spirallike mappings onBn

WANG Chao-jun，CUI Yan-yan

(School of Mathematics and Statistics，Zhoukou Normal University，Zhoukou 466001，China)

Generalizing the Roper-Suffridge extension operators on the unit ballBnin Cnand the invarity of strong spirallike mappingns of typeβand orderαunder the generalized Roper-Suffridge operators is discussed.From the definition and the distortion theorem of biholomorphic mappings，it is proved that the generallized operators keep strong spirallikeness of typeβand orderαunder some conditions.

biholomorphic mappings；spirallike mappings；Roper-Suffridge operator

1000-1832(2017)01-0029-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.006

2015-04-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1271359，U1204618)；河南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2011B110034)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(17A110041)；河南省科技廳軟科學(xué)項(xiàng)目(102400450003).

王朝君(1981—)，男，碩士，講師，主要從事多復(fù)變函數(shù)論研究；通信作者：崔艷艷(1981─)，女，博士，副教授，主要從事多復(fù)變函數(shù)論研究.

O 174.56 [學(xué)科代碼] 110·41

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