王麗穎，許曉婕

(1.白城師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 白城 137000；2.中國石油大學理學院，山東 青島 266555)

Schauder不動點定理在分數(shù)階m-點邊值問題中的應(yīng)用

王麗穎1，許曉婕2

(1.白城師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 白城 137000；2.中國石油大學理學院，山東 青島 266555)

用Schauder不動點定理研究了分數(shù)階m-點邊值問題

正解；Schauder不動點定理；m-點邊值問題；分數(shù)階微分方程

最近，分數(shù)階微分方程引起了人們的極大關(guān)注，這不僅是其自身理論發(fā)展的需求，同時也是其廣泛應(yīng)用的必然結(jié)果.除了在數(shù)學各方面的應(yīng)用外，分數(shù)階微分方程還在流體力學、流變學、黏彈性力學、分數(shù)控制系統(tǒng)與分數(shù)控制器等方面，特別是與分形維數(shù)有關(guān)的物理與工程方面有著廣泛的應(yīng)用.[1-2]最近，有些學者應(yīng)用非線性技巧，如Leray-Schauder定理等研究分數(shù)階微分方程Dirichlet型等邊值問題.[3-7]關(guān)于Schauder不動點定理在微分方程及分數(shù)階微分方程上的應(yīng)用已有一些結(jié)果[8-10]，但是Schauder不動點定理在m-點邊值問題中的應(yīng)用目前還未見相關(guān)研究.本文考慮m-點邊值問題

(1)

1 預備知識

引理1[7]假設(shè)u∈C(0，1)∩L(0，1)，且其α>0階導數(shù)屬于C(0，1)∩L(0，1).則

其中N是大于或等于α的最小整數(shù).

引理2 給定y∈C(0，1)，方程

G(t，s)=G1(t，s)+G2(t，s).

G2(t，s)=H(s)tα-1，

引理2.2的證明可由引理1得到，此處略去.

定理1 由上式定義的格林函數(shù)G(t，s)具有如下性質(zhì)：

(α-1)tα-1s(1-s)α-1(1-t)≤Γ(α)G1(t，s)≤tα-1(1-s)α-1，t，s∈[0，1]；

(2)

(3)

證明 首先考慮Γ(α)G1(t，s).當0≤s

(α-1)tα-1(1-s)α-1s(1-t)≥0.

(4)

易證當0≤t

Γ(α)G1(t，s)≥(α-1)s(1-t)[t(1-s)]α-1≥0，

(5)

從而(2)式證畢.(3)式只需證明H(s)≥0.事實上，

(6)

2 主要結(jié)果

考慮m-點邊值問題

如果γ*>0，則方程(1)至少存在一個正解.

Ω={x∈C[0，1]|t∈[0，1]，tα-1r≤x(t)≤tα-1R}，

其中R>r>0是待定的正常數(shù).

定義映射T:Ω→E，

則由Schauder不動點定理知問題(1)解的存在性等價于x=Tx不動點的存在性.下面只需證T(Ω)?Ω.

事實上，固定r∶=γ*，由假設(shè)知r>0，a.e.t∈(0，1).?x∈Ω，由假設(shè)可知

下面考慮γ*=0的情況.

其中

如果γ*=0，則方程(1)至少存在一個正解.

下面考慮γ*<0<γ*的情況.

其中

如果γ*<0<γ*，且

(7)

證明 使用和上面定理相同的記號和方法，為證T(Ω)?Ω，只要找到0

(8)

(9)

從而

令F′(m)=0，則

(10)

(11)

下面考慮γ*≤0的情況.

如果γ*≤0，且

(12)

則方程(1)至少存在一個正解.

證明 使用與上述定理相同的記號和方法，為證T(Ω)?Ω，只要找到0

(13)

[1] NONNENMACHER T F，METZLER R.On the Riemann-Liouville fractional calculus and some recent applications[J].Fractals，1995，3：557-566.

[2] TATOM F B.The relationship between fractional calculus and fractals[J].Fractals，1995，3：217-229.

[3] BAI ZHAN BING，LU HAI SHEN.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation[J].J Math Anal Appl，2005，311：495-505.

[4] JIANG DA QING，YUAN CHENG JUN.The positive properties of Green’s function for Dirichlet-type boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and its application[J].Nonlinear Analysis Series A：Theory，Methods and Applications，2010，72：710-719.

[5] RAVI P AGARWAL，DONAL O’REGAN，SVATOSLAV STANEK.Positive solutions for Dirichlet problems of singular nonlinear fractional differential equations[J].J Math Anal Appl，2010，371：57-68.

[6] 胡衛(wèi)敏，伊磊，陳維.一類分數(shù)階微分方程三點邊值問題的多重正解[J].東北師大學報(自然科學版)，2011，43(2):16-22.

[7] 張麗娟，胡衛(wèi)敏.一類Dirichlet型非線性分數(shù)階微分方程邊值問題的正解[J].東北師大學報(自然科學版)，2012，44(2):31-35.

[8] 王麗穎，許曉婕.Schauder不動點定理在共軛邊值問題中的應(yīng)用[J].吉林大學學報(理學版)，2010，48(4)：551-556.

[9] 王麗穎，許曉婕.Schauder不動點定理在分數(shù)階三點邊值問題中的應(yīng)用[J].吉林大學學報(理學版)，2012，50(2)：195-200.

[10] 王麗穎，許曉婕.Schauder不動點定理在分數(shù)階三點邊值問題中應(yīng)用的新結(jié)果[J].吉林大學學報(理學版)，2013，51(2)：173-178.

(責任編輯：李亞軍)

Applications of Schauder’s fixed point theorem to point boundary value problem of fractional differential equations

WANG Li-ying1，XU Xiao-jie2

(1.School of Mathematics and Statistics，Baicheng Normal College，Baicheng 137000，China； 2.College of Science，China University of Petroleum，Qingdao 266555，China)

The existence of positive solutions form-point boundary value problem of fractional differential equations is considerede.TheproofsrelyonSchauder’sfixedpointtheoremonfourcasesγ*>0，γ*=0，γ*<0<γ*andγ*≤0.

positive solutions； Schauder’s fixed point theorem；m-point boundary value problem； fractional differential equations

1000-1832(2017)01-0020-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.004

2015-06-07

國家自然科學基金資助項目(11571207)；中央高?；鹳Y助項目(16CX02015A).

王麗穎(1973—)，女，碩士，教授，主要從事微分方程研究.

O 175.08 [學科代碼] 110·44

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