葛敏輝+馬均豐+姜榮富

[摘 要]生長教學是突出學生主體意識和自我建構(gòu)的課堂活動。要使學生在獨立思考和互動對話中完成所學知識與已有經(jīng)驗的有效對接，需要從暴露已有經(jīng)驗開始，尤其要關(guān)注學生的“相異構(gòu)想”，讓學生在反思和重構(gòu)中生長知識和智慧，從而形成自己的數(shù)學經(jīng)驗。

[關(guān)鍵詞]生長教學；相異構(gòu)想；面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0005-03

杜威認為：“教育就是不斷生長?！苯逃鹬貎和淖匀惶煨?，引導兒童獨立自主地實現(xiàn)自我。因此，在數(shù)學教學中，教師應(yīng)充分暴露學生已有的知識經(jīng)驗，尤其是“相異構(gòu)想”——學生偏離概念本質(zhì)的理解和想法，只有這樣才有可能使學生在反思中轉(zhuǎn)變自己的“相異構(gòu)想”，有效完成所學知識與已有經(jīng)驗的對接，從而實現(xiàn)知識和智慧的生長！

筆者在“千課萬人第二屆全國小學數(shù)學‘學本課堂研討會”上執(zhí)教的“什么是面積”一課，就緊緊圍繞了學生“相異構(gòu)想”的轉(zhuǎn)變來演繹生長教學，引導學生借助自身的經(jīng)驗進行數(shù)學建構(gòu)。

【片段一】自主嘗試，激活經(jīng)驗——建立面積表象

師：今天我們一起來研究一個問題（板書：什么是面積），有沒有人能夠說一說？（部分學生舉手）

師：下面請已經(jīng)知道的同學告訴不知道的同學“什么是面積”，可以通過舉例子來說明。

生1（邊說邊指桌面）：桌子的這塊面就是它的面積。

生2（邊說邊指封面）：數(shù)學書周長包圍著的里面的這個部分叫作面積。

師：你們說的意思差不多，都認為這些看得見、摸得著的桌面、封面，就叫面積。你們是怎么知道的？

生1：媽媽告訴我的。

生2：從大人那里聽來的。

師：這兩位同學說的到底對不對呢？到底什么是面積？我們先翻開書本自學。（學生自學課本相關(guān)內(nèi)容）

生3（拿起一紙張，邊比劃邊說）：這張紙的面積就是這部分的大小。

師：生3有兩個字加了重音，誰聽出來了？

生4：她的意思是面積是指面的大小。

師：這個說法和我們剛開始表達的一樣嗎？

生5：不一樣。一開始我們以為桌面就是面積，封面也是面積，現(xiàn)在知道是桌面的大小才叫作它的面積。

師：你能再舉例子來介紹面積嗎？（學生舉例）

【思考】此環(huán)節(jié)中開門見山地請學生說一說什么是面積，意在快速激活學生的原有經(jīng)驗，暴露學生頭腦中的相異構(gòu)想。要讓學生經(jīng)歷知識“生長”的過程，就要讓學生自己找到生長點，打破相異構(gòu)想，建立起新的認識。教師不應(yīng)該把學生當成一張白紙，有時學生產(chǎn)生“誤解”恰恰是深入理解的開始。在教學中不難發(fā)現(xiàn)，學生通過嘗試描述、自學課本、交流分享、對比反思等活動，經(jīng)歷了由“線”到“面”的過渡，修正了“面即是面積”的錯誤認識，初步建立了面積的空間表象。

【片段二】觀察比較，感悟意義——理解面積本質(zhì)

（1）體會面積與周長的區(qū)別。

師：請你帶著對面積的理解，比一比下面圖形的面積哪個大。

生1：①號圖形的面積大。

生2：②號圖形的面積大一點。

師：現(xiàn)在有兩種不同的意見，你認為誰的對？請說說你的理由。

生3：①號大，因為②號少了一塊。

師：為什么剛才有人說②號大呢？

生4：他們可能比的是周長。因為②號的周長長一點。

師：面積和周長一樣嗎？

生5：不一樣，周長是指一周的長度。

生6：我們以前學過周長，周長是指圖形四周邊線的長度。

師：說得真好。那周長是研究什么的？

生6：線的長短。

師：周長是研究線的長短，那面積呢？

生7：面積是研究面的大小。

師：通過剛才的活動，你有什么想說的？

生8：周長大的圖形，面積不一定大。

生9：面積是研究面的大?。恢荛L是研究線的長短。

生10：面積不是周長。面積是看大小，周長是比長短。【思考】我們在前測中發(fā)現(xiàn)，約53.1%的學生會把面積當成周長。在一個平面圖形里，“邊”屬于強刺激源，“面”屬于弱刺激源，加上長度的學習在先，學生掌握的周長概念對認識面積具有較強的負遷移。本環(huán)節(jié)通過比較兩個圖形的面積，引導學生展開思考和辯論，意在幫助學生厘清周長和面積的本質(zhì)區(qū)別，轉(zhuǎn)變把周長當作面積的錯誤觀念。

（2） 體會面積的度量屬性。

師（出示課件）：比較①和②的面積大小。

生1：①號圖形的面積大一些。

生2：一樣大。

師：誰能說清楚道理？

生3：用磚塊把它們鋪滿的話，都需要5塊小方磚。（課件演示）

師：你們聽懂他的意思了嗎？

生4：用小方塊來鋪一鋪這兩個圖形，鋪滿后數(shù)一數(shù)誰需要的塊數(shù)多誰的面積就大。因為它們需要的小方塊數(shù)量一樣多，所以它們的面積一樣大。

【思考】學生對面積的認識是一個漸進的過程，是一個不斷完善與豐富的過程。面積學習的重點不應(yīng)在定義上，而應(yīng)在比較大小中。因為通過比較大小才能更好地幫助學生準確理解面積的本質(zhì)屬性——面積是有大小，可以進行度量的。在這個環(huán)節(jié)中，通過引導學生發(fā)現(xiàn)“可以通過用統(tǒng)一的磚塊鋪滿兩個形狀不同的圖形進行大小比較”，不僅轉(zhuǎn)變了學生的相異構(gòu)想，讓學生明白形狀不同的圖形面積可以相等，學生在自我否定和自我創(chuàng)造中也體會到了比較面積大小的多種方法，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，為后續(xù)的學習與創(chuàng)造奠定了基礎(chǔ)。

【片段三】應(yīng)用提升，拓展理解——深化面積意義

師（出示課件）：你能比出這兩個圖形的面積大小嗎？

生1：兩個一樣大。

生2：②號圖形的面積大。

師：你同意誰的觀點？請說說你的理由。

生3：我認為②號圖形的面積大。（很多學生都點頭認可）

師：你們都是支持②號的親友團？請說出道理來，讓大家心服口服才行。

生4：因為這里每4個點可以組成一個方格，②號圖形有11個方格，①號圖形只有9個方格，所以②號圖形的面積大。

師：還有誰也是這樣想的？

生5：將每4個點想象成一個正方形，數(shù)出正方形的個數(shù)就行了。②號圖形面積有11個正方形那么大，①號圖形的面積有9個正方形那么大。11比9大。

師：大家都同意嗎？這個辦法好不好？好在哪？

生6：把面積大小的比較轉(zhuǎn)化為了數(shù)的大小的比較，我們比較容易理解。

師：通過剛才的活動，你對面積有了什么新的認識？

生7：我知道了什么是面積。面積就是表面的大小。

生8：面積可以用圖形鋪滿后再把它數(shù)出來。

生9：比較面積的大小可以通過鋪圖形轉(zhuǎn)化為比較數(shù)的大小。

【思考】學習面積的難點是理解定量刻畫“面的大小”，因為學生對面積概念的理解往往是物化的、表面的?；诖?，教師呈現(xiàn)了點子圖，引導學生想到用四個點圍成的正方形來度量圖形的面積大小，培養(yǎng)了學生的抽象性思維。學生在這個活動中不僅深刻體會到“一塊區(qū)域的大小”就是它的面積，而且感悟到用統(tǒng)一標準的圖形可以度量和比較面積的大小，更重要的是還經(jīng)歷了用“數(shù)”刻畫“形”的學習過程，體會了面積的本質(zhì)意義。

根據(jù)過程與結(jié)果的關(guān)系論，讓學生經(jīng)歷知識“生長”的過程，能很好地保證學生最終的學習質(zhì)量：對數(shù)學知識、技能、思想方法的深刻理解。因此，教師只有真正關(guān)注學生相異構(gòu)想的轉(zhuǎn)變，才能走進學生、讀懂學生，促進學生的自我生長！

【評析】

一、立足學生，緊扣本質(zhì)

小學數(shù)學教材一般把面積定義為“物體表面或平面圖形的大小”。面積是平面圖形的度量屬性，由于物體表面可以抽象成幾何圖形，因此，數(shù)學其實更多的是研究平面圖形的大小，而求物體表面的大小，可以視作求平面圖形大小的具體應(yīng)用。這樣，我們就可以把面積概念統(tǒng)一為“多邊形或平面封閉圖形所圍的平面部分的大小，叫作這個圖形的面積?！?/p>

學生對面積概念的初步認識可能更多的來自于物體表面。因此，在學習“什么是面積”這一課之前，大多數(shù)學生認為面積就是物體的表面。事實上，面積的概念蘊含了積分的思想，重點是“積”而不是“面”。學生原有的理解中，往往忽視了面積概念的本質(zhì)屬性，即它的“大小”。葛老師的教學，以學生普遍存在的模糊認知作為教學起點，讓學生經(jīng)歷了概念從模糊到清晰的學習過程。

從數(shù)學科學的角度來定義面積的概念是重要的，因為有了清晰的定義才能對它進行研究。但是從學生學習的角度，比定義概念更重要的是度量面積的方法。數(shù)學家設(shè)計了面積單位，并用這些面積單位把圖形的大小用數(shù)量來刻畫。葛老師通過引導學生用不同的方法比較圖形的面積，讓學生經(jīng)歷從直覺判斷到數(shù)量刻畫的過程，從而積累比較圖形大小的基本活動經(jīng)驗，掌握的比較方法也從粗漏逐步走向精致。

二、由淺入深，循序漸進

從模糊到清晰。在上課之前，有的學生知道了長方形面積的計算方法，有的學生說桌面是它的面積，但他們對面積的認識是模糊的，甚至可以說是錯誤的。大多數(shù)學生認為，物體的表面就是它的面積，這樣的認識忽視了面積的本質(zhì)——它是有大小的。如果說學生的描述中還有其合理性的話，那么他們所說的其實是面積的物體屬性，而不是面積的數(shù)學屬性。葛老師的教學，充分尊重并暴露學生已有的認知，在學生解釋了自己對面積的理解之后，他并不是馬上否定或糾正，而是讓學生閱讀課本，并通過舉例，進一步幫助學生認識面積的本質(zhì)是大小。

在教學中，葛老師通過比較一個長方形和一個“凹”字形的大小，引導學生區(qū)分圖形的周長與面積，并學習淺顯的比較方法——直覺判斷，又引導學生辨析并及時反思：“通過剛才的活動，你有什么想說的？”通過比較圖形的周長與面積，學生的認知由模糊轉(zhuǎn)為清晰，真正地建立起對面積概念的真實理解。其中，舉出具體的例子與周長的概念進行比較，是推動學生深入理解的有效手段。

三、巧設(shè)活動，自主建構(gòu)

從粗漏到精致。為了進一步理解意義，葛老師巧設(shè)了幾個活動。先是讓學生比較兩塊墻洞的大小，它們的形狀完全不相同，但大小卻是一樣的，都是5塊磚的大小。這時，磚塊成了臨時的度量單位，比較面積大小的方法庫又得到了擴充——用相同形狀與大小的實物（圖形）來計數(shù)（度量）。

真正體現(xiàn)精致的是葛老師設(shè)計的第三個圖—— 一個長方形，從相對的兩個頂點以折線分成兩部分，讓學生比較這兩部分面積的大小。學生很自覺地引用了圖形中隱含的正方形（其實是格點圖），借用這個度量單位，把圖形面積的大小比較轉(zhuǎn)化為數(shù)量的大小比較，再次“感受面積是可以通過標準圖形來進行測量的”。這時，學生對面積的度量意義已經(jīng)邁向了精致，與進一步學習面積單位只有一步之遙了。

為了度量一個圖形的面積，首先要選定一個面積單位，通常選取邊長為一個長度單位（如1厘米）的正方形作為面積的度量單位，這個正方形叫作單位正方形，它的面積叫作面積單位。但是，人們往往并不直接用單位正方形去度量圖形含有多少個面積單位，而是采用間接的方法，先量出圖形中某些線段的長度，再由這些線段的長度計算出圖形的面積，這其實就是一種間接測量的方法。

最后，筆者認為，相對于面積的定義來說，教師更應(yīng)當關(guān)注比較面積大小的方法。數(shù)學概念的定義是人為的，一個數(shù)學概念的定義要符合數(shù)學內(nèi)部的邏輯，而這種邏輯往往十分隱秘，難以被小學生所理解。筆者建議，像面積這樣的概念教學可以淡化一些，或許學習了長方形等其他平面幾何圖形的面積計算之后，學生對面積的認識可能會慢慢地清晰起來。換句話說，對于面積的教學來說，重要的是度量而不是定義。進一步的教學，建議要重視讓學生經(jīng)歷面積單位再創(chuàng)造的思考過程，其中對兩個問題的思考十分關(guān)鍵：一是為什么選擇正方形，二是為什么所選的正方形邊長是1。要讓學生體會到“以邊長為1的正方形作為面積單位”是人類長期探索的結(jié)果，是數(shù)學家智慧的結(jié)晶。

（責編 童 夏）