■山西省介休市第一中學(xué) 石有山

一個(gè)動(dòng)量守恒二級(jí)結(jié)論的妙用

■山西省介休市第一中學(xué) 石有山

如圖1所示,A、B兩個(gè)小球的質(zhì)量分別為m1、m2,小球B靜止在光滑的水平面上,小球A以初速度v0與小球B發(fā)生正碰,碰后合二為一,求系統(tǒng)損失的機(jī)械能。

圖1

解析：由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得m1v0=(m1+ m2)v,系統(tǒng)損失的機(jī)械能

結(jié)論：一動(dòng)一靜模型發(fā)生完全非彈性碰撞,即合二為一的碰撞時(shí),損失的機(jī)械能為原來(lái)運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)能乘以另一個(gè)物體的質(zhì)量與兩物體質(zhì)量之和的比值。

拓展一：子彈射擊木塊模型中,當(dāng)合二為一時(shí),上述系統(tǒng)損失的機(jī)械能表達(dá)式仍然成立,且損失的機(jī)械能等于系統(tǒng)的發(fā)熱量。

證明：設(shè)質(zhì)量為m的子彈以初速度v0射向靜止在光滑水平面上的質(zhì)量為M的木塊,并留在木塊中不再射出,子彈射入木塊的深度為d,如圖2所示。

圖2

從動(dòng)量的角度看,在子彈射入木塊的過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量守恒,則m v0=(M+m)v。

從能量的角度看,在子彈射入木塊的過(guò)程中,系統(tǒng)損失的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能。設(shè)木塊與子彈間的平均阻力大小為f,子彈、木塊的位移大小分別為s1、s2,則s1-s2=d,對(duì)子彈應(yīng)用動(dòng)能定理得對(duì)木塊應(yīng)用動(dòng)能定理得故f d=f(s1-s2)=式中f d為摩擦阻力與相對(duì)位移的乘積,等于系統(tǒng)的發(fā)熱量。

如圖3所示,質(zhì)量m1=0.3k g的小車靜止在光滑的水平面上,小車的長(zhǎng)度L=1 5 m,現(xiàn)有質(zhì)量m2=0.2k g的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),以水平向右的速度v0=2m/s從左端滑上小車,最后在車面上某處與小車保持相對(duì)靜止。物塊與車面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5,取g= 1 0m/s2。求:

圖3

(1)物塊在車面上滑行的時(shí)間t。

(2)要使物塊不從小車右端滑出,物塊滑上小車左端的速度v0'不超過(guò)多少?

解析：(1)設(shè)物塊與小車相對(duì)靜止時(shí)的共同速度為v,以水平向右為正方向,由動(dòng)量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v。設(shè)物塊與車面間的滑動(dòng)摩擦力為f,則f=μm2g,對(duì)物塊應(yīng)用動(dòng)量定理得-f t=m2v-m2v0。聯(lián)立以上各式解得

(2)要使物塊恰好不從小車右端滑出,需物塊到車面右端時(shí)與小車有共同的速度v',則m2v0'=(m1+m2)v',由功能關(guān)系得解得

點(diǎn)評(píng):只要是一動(dòng)一靜模型,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,發(fā)生合二為一的過(guò)程,不管是否碰撞,動(dòng)能的損失一定為原來(lái)運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)能乘以另一個(gè)物體的質(zhì)量與兩物體質(zhì)量之和的比值。同學(xué)們?cè)谇蠼獯四Ｐ蛦?wèn)題時(shí),若直接應(yīng)用上述結(jié)論,則可大大加快解題速度。

拓展二：當(dāng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí),合二為一的能量轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能。當(dāng)系統(tǒng)中沒(méi)有機(jī)械能和其他形式能的相互轉(zhuǎn)化時(shí),系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。系統(tǒng)機(jī)械能守恒的常用表達(dá)式為ΔEp=-ΔEk,即系統(tǒng)勢(shì)能的增加量等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少量。

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