袁 媛, 楊戀波

(馬鞍山師范高等?？茖W(xué)校, 安徽 馬鞍山 243041)

0 引言

定義函數(shù)

用f1(z)和f2(z)表示Hadamard乘積(或卷積)

定義函數(shù)

其中(x)k是Pochhammer符號．

記

φp(n+p,1;z)=z-p2F1(1,n+p;1;z),

對應(yīng)函數(shù)φp(n+p,1;z),用Hadamard乘積為f(z)∈∑p定義一個新的線性算子Dn+p-1:

Dn+p-1f(z)=φp(n+p,1;z)*f(z).

對于函數(shù)f(z)∈∑p,定義積分算子Jv,p

進一步,定義函數(shù)H(z)

H(z)=(1-λ(n+2p+1))Dn+p-1f(z)+λ(n+p)Dn+pf(z)

(1)

其中f∈∑p,λ>0,n是大于-p的任意整數(shù)．

令f(z)和F(z)在開單位圓盤E={z:|z|<1}上解析,稱函數(shù)f(z)從屬于F(z),記為f(z)F(z),若F(z)是單葉的,f(0)=F(0)且f(E)?F(E).

1 主要結(jié)論

下面將討論線性算子Dn+p-1定義在亞純p葉函數(shù)上的一些應(yīng)用．

引理1 若f(z)∈∑p,則

z(Dn+p-1f(z))′=(n+p)Dn+pf(z)-(n+2p)Dn+p-1f(z)

(2)

其中n是大于-p的任意整數(shù)．

引理2[1]令Ω是復(fù)平面C上的一個集合,b是一個滿足Reb>0的復(fù)數(shù)．假設(shè)函數(shù)ψ:C2×E→C滿足條件

ψ(ix,y;z)?Ω

(3)

其中所有的實數(shù)x,y≤-|b-ix|2/(2Reb)且所有的z∈E．若函數(shù)p(z)滿足p(z)=b+a1z+a2z2+…在E上解析且ψ(p(z),zp′(z);z)∈Ω,則在E上Rep(z)>0.

引理3[1]令h(z)在U={z:z∈C且|z|<1}上是凸單葉的,h(0)=1且令g(z)=1+b1z+…在U上解析．若g(z)+zg′(z)h(z), 則g(z)

引理4[3,5]令函數(shù)p(z)=1+c1z+…在U上解析且p(z)≠0(z∈U).若存在一點z0∈U使得

|argp(z)|<πγ/2,(|z|<|z0|) 且|argp(z0)|=πγ/2,(0<γ≤1).

則我們有z0p′(z0)/p(z0)=ikγ,其中

且(p(z0))1/γ=±i(n+p),n是大于-p的任意整數(shù)線性算子Dn+p-1具有以下性質(zhì)[2],[6]:

定理1 令λ,α是實數(shù)且λ≥0,α>1,n是大于-p的任意整數(shù)．設(shè)g(z)∈∑p滿足

(4)

若f(z)∈∑p滿足

(5)

則有

(6)

根據(jù)上述定理,立即能得到下面的結(jié)論．

推論1 令λ,α是實數(shù)且λ≥1,α>1,n是大于-p的任意整數(shù)．設(shè)g(z)∈∑p滿足條件(4).若f(z)∈∑p滿足(5),則

將n+p=a和1=c代入上述定理,有

推論2 令λ,α,a是實數(shù)且λ≥1,α>1,a>0.設(shè)g(z)∈∑p滿足

則

將n+p=v代入上述定理,得到

推論3 令λ,α,v是實數(shù)且λ≥1,α>1,v>0.設(shè)g(z)∈∑p滿足

定理2 令f∈∑p且設(shè)H(z)是由式(1)定義的．若

(7)

則

(8)

其中j∈N∪{0},λ>0,|B|≤1且A≠B.

證明由引理1和(1),得

H(j)(z)=(1-λ(n+2p+1))(Dn+p-1f(z))(j)+λ(n+p)(Dn+pf(z))(j)=

(1-λ+λj)(Dn+p-1f(z))(j)+λz(Dn+p-1f(z))(j+1)

(9)

代入

(10)

其中f∈∑p,我們發(fā)現(xiàn)g(z)=1+b1z+…在U上解析．由于

(11)

由于h(z)=(1+Az)/(1+Bz)是在U上是凸單葉的,應(yīng)用引理1推出

g(z)

式(8)得證．

定理3 令f∈∑p且設(shè)H(z)是由式(1)定義的．若

(12)

則

(13)

其中j∈N∪{0},0≤α<1,0<λ<1/(p+1)且

(14)

這里ρ是精確的．

證明代入

其中對0<λ<1/(p+1),β=λ/(1-λ-λp)>0.

現(xiàn)在表示

(15)

其中ρ=(1+β2)1/2-β且0<ρ<1.

其中由(15)給出的|z|=r<ρ.故函數(shù)φ滿足積分式

(16)

其中μ(x)是|x|=1上的一個概率測度．

Reg(z)>α, (0≤α<1;z∈U)

(17)

(18)

因此,由定理2中的(11)和(18),可以得到(13)的結(jié)論．

為了顯示界限ρ是精確的,我們代入下列定義中的f∈∑p

得到

其中z=ρeiπ. 證畢．

參考文獻：

[1] Miller S S, Mocanu P T. Differential subordination and univalent functions[J]. Michigan Math, 1981,28:157-171.

[2] Miller S S, Mocanu P T. On some classes of first order differential subordination[J].Michigan Math,1985,32:185-195.

[3] M.Nunokawa. On properties of non-caratheodory functions[J]. Proc Jpn Acad Ser A:Math Sci, 1992,68:152-153.

[4] Aouf M K, Hossen H M. New criteria for meromorphic p-valent starlike functions[J].Tsukuba J Math, 1993,17:481-486.

[5] Nunokawa M. Some results for strongly starlike functions[J]. Math Anal Appl,1997,212:98-106.

[6] Liu J L,Srivastava H M. A linear operator and associated families of meromorphically multivalent functions[J]. Math Anal Appl, 2001, 259:566-581.