李君君

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

0 引言

二階常微分方程的通解中有兩個任意常數(shù),需要有兩個條件才能確定它們,如果把兩個條件都加在同一點上,就是初值問題．如果在一個區(qū)間的兩個端點各加一個條件,這樣的問題就叫做邊值問題．對于常微分方程邊值問題,我們可以將常微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程,從而可以更加方便的求出方程的解．在這一過程中,有個很重要的方法就是利用Green函數(shù)．比如,對于二階非齊次常微分方程

p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y=f(x)

的解即為

Green函數(shù)在常微分方程中的研究中有著重要的作用,利用它將原方程轉(zhuǎn)化為積分方程,可以廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、振動理論、電子工程等學(xué)科中．顯然,邊值問題解的問題就轉(zhuǎn)化為求常微分方程的Green函數(shù)的問題．那么,同樣的,Green函數(shù)的唯一性也就確定了解的唯一性．所以求Green函數(shù)就是成為問題的關(guān)鍵．關(guān)于如何求Green函數(shù),目前還沒有統(tǒng)一的方法．不同的資料給出了很多方法,主要是通過求方程的朗斯基行列式,利用朗斯基行列式求其解,通過進(jìn)一步的化簡,找出Green函數(shù),但這種方法計算較復(fù)雜,而且會因初值條件選擇的不同,使得計算難度加大．

本文將研究二階微分方程

L(y)=p0(x)y′′+p1(x)y′+p2(x)y=0

(1)

在一些邊界條件下的Green函數(shù)．我們所用的這種待定系數(shù)法是一種常見而且簡單的方法,大部分常微分方程邊值問題的Green函數(shù)都可以用這種方法求出．

本文注重研究方程(1)在周期邊界條件下的Green函數(shù)的表達(dá)式及解唯一性的判斷,從而給出一般方法．

對于邊界條件

(2)

設(shè)上述y(a),y′(a),y(b),y′(b)的一次式V1,V2是線性獨立的．

引理1[1]設(shè)ξ為(a,b)中的任意點:a<ξ

1) 在a≤x≤b上,G(x,ξ)本身連續(xù);

3) 作為x的函數(shù),G(x,ξ)在[a,ξ)及(ξ,b]是方程(1)的解L(G)=0;

4) 滿足邊界條件:Vk(G)=0,k=1, 2.

1 周期邊界條件下的Green函數(shù)及證明.

首先設(shè)方程滿足邊界條件y(a)=y(b),y′(a)=y′(b).

定理1 方程(1)的Green函數(shù)為

其中y1(x),y2(x)是方程(1)的解．

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．所以要求G(x,ξ)只要求出a1,a2,b1,b2即可．根據(jù)引理性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡為

容易求出

(3)

接下來我們再根據(jù)邊值條件y(a)=y(b),y′(a)=y′(b)及引理1的性質(zhì)3)有

G(a,ξ)=G(b,ξ),G′(a,ξ)=G′(b,ξ),

即

又因為c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以方程(1)的格林函數(shù)為

其中c1,c2如(3)所求,證畢．

引理2[1]如果邊值問題(1)(2)只有零解y(x)=0,則算子L有且只有一個Green函數(shù)．

在定理1的證明中,我們不難看出證明的過程給出的求解二階線性常微分方程邊值問題的Green函數(shù)的解法,也就是本文所介紹的待定系數(shù)法:

1) 求出方程的基本解組,再求出其通解．根據(jù)邊值條件判斷,是否只有零解,則再根據(jù)引理2,判斷Green函數(shù)是否唯一;

2) 若Green函數(shù)唯一,根據(jù)引理1的性質(zhì)3)構(gòu)造Green函數(shù);

3) 根據(jù)引理1的性質(zhì)1)，2)構(gòu)造方程組,再代入邊值條件求出系數(shù),從而解出Green函數(shù)．

例1 求邊值問題

的Green函數(shù)．

解方程的基本解組為e-x,xe-x,通解為y=C1e-x+C2xe-x,其中C1,C2為任意常數(shù)．根據(jù)邊值條件,有C1=C1e-1+C2e-1,-C1+C2=-C1e-1,得C1=C2=0,即方程僅有零解y(x)=0．根據(jù)引理,Green函數(shù)唯一．設(shè)Green函數(shù)為

G(x,ξ)=a1e-x+a2xe-x, 0≤x<ξ,G(x,ξ)=b1e-x+b2xe-x,ξ

由引理1的性質(zhì)1),2)有

記c1=b1-a1,c2=b2-a2.

所以有

解得c1=ξeξ,c2=-eξ

又根據(jù)邊值條件,有G(0,ξ)=G(1,ξ),G′(0,ξ)=G′(1,ξ)即

又有b1-a1=c1=ξeξ,b2-a2=c2=-eξ.

容易解得

所以方程的Green函數(shù)是

2 方程在另外幾種邊界條件下的Green函數(shù)

下面我們以定理的形式給出其他邊值條件下的相應(yīng)結(jié)論及其證明．

定理2 二階邊值問題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡為

容易求出

接下來我們再根據(jù)邊值條件y(a)=y(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G(a,ξ)=G(b,ξ)=0.

即

又因為c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

定理3 二階邊值問題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡為

容易求出

接下來我們再根據(jù)邊值條件y(a)=y′(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G(a,ξ)=G′(b,ξ)=0,

即

又因為c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

定理4 二階邊值問題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,

G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡為

容易求出

接下來我們再根據(jù)邊值條件y′(a)=y(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G′(a,ξ)=G(b,ξ)=0,

即

又因為c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

定理5 二階邊值問題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡為

容易求出

接下來我們再根據(jù)邊值條件y′(a)=y′(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G′(a,ξ)=G′(b,ξ)=0,

即

又因為c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

在此,僅舉其中一例加以說明．

的Green函數(shù)．

解由例1我們已經(jīng)知道方程的基本解組為e-x,xe-x,通解為y=C1e-x+C2xe-x,其中C1,C2為任意常數(shù)且C1=C2=0,即方程僅有零解y(x)=0．根據(jù)引理,Green函數(shù)唯一．設(shè)Green函數(shù)為

G(x,ξ)=a1e-x+a2xe-x, 0≤x<ξ,G(x,ξ)=b1e-x+b2xe-x,ξ

根據(jù)例1的結(jié)果有

c1=ξeξ,c2=-eξ,

根據(jù)邊值條件

G(0,ξ)=a1=0,G(1,ξ)=b1e-1+b2e-1=0,

所以

b1=c1+a1=ξeξ,b2=-ξeξ,a2=b2-c2=-ξeξ+eξ,

故Green函數(shù)為

G(x,ξ)=(-ξeξ+eξ)xe-x,0≤x<ξ,

G(x,ξ)=ξeξe-x-ξeξxe-x,ξ

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