任馳遠(yuǎn)+田欣

【摘要】可逆矩陣是線性代數(shù)中的一個重要概念，本文針對該知識的講授方法進(jìn)行了深入剖析。本文首先分析了該內(nèi)容的重點是理解可逆矩陣、伴隨矩陣的定義，同時需要學(xué)生熟練掌握可逆矩陣的性質(zhì)和運用初等行變換法求可逆矩陣的逆矩陣并針對教學(xué)難點：用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣，進(jìn)行了課程設(shè)計，保證了學(xué)生能夠有效、快速的掌握該內(nèi)容。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 可逆矩陣 課程設(shè)計

【基金項目】西南石油大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)研究基金項目（SWPUSC16-22）。

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）04-0120-01

1.教學(xué)設(shè)計的特征

教學(xué)設(shè)計是把教學(xué)原理轉(zhuǎn)化為教學(xué)材料和教學(xué)活動的計劃，本課程內(nèi)容就是需要把可逆矩陣的定義、計算等知識傳授給學(xué)生。而要達(dá)成這個目標(biāo)，教學(xué)要遵循教學(xué)過程的基本規(guī)律，選擇教學(xué)手段，確定學(xué)生的學(xué)習(xí)需要和學(xué)習(xí)目標(biāo)。教學(xué)設(shè)計確定通過一些具體的教學(xué)內(nèi)容提升學(xué)習(xí)者的知識與技能，以計劃和布局安排的形式，設(shè)計能達(dá)到教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行創(chuàng)造性的決策，以解決怎樣教的問題。

教學(xué)設(shè)計是以系統(tǒng)方法為指導(dǎo)，使學(xué)生掌握需要的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)采用什么策略，即“如何學(xué)”。教學(xué)設(shè)計把教學(xué)各要素看成一個對立而統(tǒng)一的系統(tǒng)，分析教學(xué)中出現(xiàn)的問題和需求，確立解決的程序綱要，提高教學(xué)效果。教學(xué)設(shè)計是提高學(xué)習(xí)者獲得知識、技能的效率和興趣的技術(shù)過程。教學(xué)設(shè)計是教育技術(shù)的組成部分，它的功能在于運用系統(tǒng)方法設(shè)計教學(xué)過程，使之成為一種具有操作性的程序。對于可逆矩陣的講授方法上，就需要應(yīng)該遵循這些思路，從“為什么學(xué)”、“學(xué)什么”、“如何學(xué)”、“學(xué)得怎么樣”的角度分析該課程內(nèi)容，設(shè)計課堂結(jié)構(gòu)，優(yōu)化時間安排，提高教學(xué)效果。

2.知識結(jié)構(gòu)的引入方法

首先回顧前面講過的背景知識，復(fù)習(xí)定義了矩陣的加法、減法和乘法三種運算。而在矩陣乘法運算中，發(fā)現(xiàn)了一個重要性質(zhì)：單位矩陣E的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用，即對于任意n階矩陣A，有

AEn=EnA=A。

在數(shù)的乘法運算中，對于非零數(shù)a，則存在唯一一個數(shù)b，使得ab=ba=1。

自然要問：非零矩陣是否也有類似這樣的性質(zhì)？

先看下面的引例。

通過引例發(fā)現(xiàn)：對于非零矩陣A，不一定存在矩陣B，使得AB=BA=E。如果這樣的矩陣B存在，我們就稱A為可逆矩陣，而稱B為A的逆矩陣?？赡婢仃囀且活愔匾木仃嚕哪婢仃囋诰仃嚨倪\算中起著重要作用。下面，我們來介紹可逆矩陣的定義、性質(zhì)和矩陣是可逆矩陣的條件，最后介紹一種求逆矩陣的方法。

3.知識內(nèi)容的講解

本節(jié)的知識內(nèi)容主要包括可逆矩陣的定義、可逆矩陣的性質(zhì)以及可逆矩陣的計算三大塊內(nèi)容。

3.1 可逆矩陣定義

首先講解相關(guān)定義和概念。設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B使AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，簡稱A可逆，并稱B為A的逆矩陣，也說A有逆矩陣。顯然E是可逆矩陣，其逆矩陣為自身；零矩陣不是可逆矩陣。如何求引例中的矩陣A的逆矩陣？由逆矩陣的定義，設(shè)B=a bc d，AB=BA=E，則可求出矩陣B。即采用待定元素的方法。

3.2可逆矩陣性質(zhì)

略。

3.3伴隨矩陣

然后闡述基于伴隨矩陣的逆矩陣的求法。設(shè)A=（aij）n×n，Aij為A中元素aij的代數(shù)余子式，則可構(gòu)成A的伴隨矩陣。

3.4求逆方法—初等行變換法

接著論述逆矩陣的常規(guī)求法：可逆矩陣可經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣。1）實用求逆法：設(shè)A可逆，用初等行變換化矩陣（A E）為（E X），則A-1=X。2）推廣的實用求逆法：設(shè)A可逆，用初等行變換化矩陣（A B）為（E X），則X=A-1B。用行初等變換求逆短陣時，必須始終用行初等變換，其間不能作任何列初等變換。求滿足一定關(guān)系式的未知矩陣，一般應(yīng)先根據(jù)矩陣的運算化簡關(guān)系式，再求出出相關(guān)矩陣的逆矩陣，最后求出未知矩陣。一般說來，用伴隨矩陣法求矩陣的逆矩陣，計算量非常大，而且容易出錯。我們常常采用實用求矩陣的逆矩陣的方法——初等變換法。

3.5計算過程中的注意事項

①若用初等行變換不能將矩陣[E-A B]可以化為矩陣[E Y]，說明E-A不可逆。此時，需用前面的待定元素的方法求矩陣X。

②求X的過程中，既可以先求出逆矩陣，后作乘法求，也可以直接求。但是若A可逆，且XA=C，則必須先求出A的逆矩陣A-1，后作乘法求。

③證明矩陣A可逆的方法：（1）定義法；（2）利用“方陣A可逆?A≠0”證明；

（3）若用初等行變換將矩陣[A E]可以化為矩陣[E X]，則A可逆。

④求可逆矩陣的逆矩陣的方法：

（1）（定義法）根據(jù)定義由待定元素的方法。

（2）（伴隨矩陣法）設(shè)A為n階方陣，A≠0，則A-1=A。

（3）（初等變換法）設(shè)A可逆，用初等行變換將矩陣[A E]化為矩陣[E X]，則A-1=X。

4.結(jié)論

可逆矩陣是線性代數(shù)中的一個重要概念，本文從“為什么學(xué)”、“學(xué)什么”、“如何學(xué)”、“學(xué)得怎么樣”的角度闡述了該課程內(nèi)容，設(shè)計課堂結(jié)構(gòu)。該內(nèi)容的重點是理解可逆矩陣、伴隨矩陣的定義，熟練掌握可逆矩陣的性質(zhì)和運用初等行變換法求可逆矩陣的逆矩陣；難點是用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣。本課程設(shè)計有利于學(xué)生理解可逆矩陣、伴隨矩陣的定義；熟練掌握可逆矩陣的性質(zhì)，有助于學(xué)生快速掌握運用初等行變換法計算逆矩陣。

作者簡介：

任馳遠(yuǎn)（1981.3-），男，漢族，湖南汨羅人，博士，講師。

田欣（1984.0-），女，漢族，甘肅武威人，碩士，講師。