張弛+++王向東

摘 要：現(xiàn)有的航空發(fā)動(dòng)機(jī)變?cè)鲆婵刂破髟O(shè)計(jì)多將非線性系統(tǒng)表述為仿射參數(shù)依賴形式的LPV系統(tǒng)，在工作狀態(tài)變化對(duì)系統(tǒng)參數(shù)特性變化影響較大的情況下存在精確度和保守性問(wèn)題。為此，提出一種將被控對(duì)象表述為更精確的參數(shù)多項(xiàng)式依賴形式的LPV模型，并基于多項(xiàng)式平方和規(guī)劃方法和切換控制相結(jié)合，進(jìn)行魯棒變?cè)鲆婵刂破骶C合。這種方法考慮航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大范圍變化情況，在不同設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)具有公共Lyapunov函數(shù)的子系統(tǒng)控制器，再根據(jù)gap-metric計(jì)算子系統(tǒng)間廣義距離進(jìn)行切換控制，從而保證發(fā)動(dòng)機(jī)在不同高度和馬赫數(shù)下都具有良好的控制效果。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)不同轉(zhuǎn)速下，都具有良好的性能和控制精度，并能夠?qū)崿F(xiàn)在包線內(nèi)不同高度和馬赫數(shù)下，有效對(duì)目標(biāo)進(jìn)行變?cè)鲆婵刂啤?/p>

關(guān)鍵詞：航空發(fā)動(dòng)機(jī)；LPV系統(tǒng)；多項(xiàng)式平方和規(guī)劃；切換控制；魯棒變?cè)鲆婵刂?/p>

引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)具有高度的非線性特性，同時(shí)系統(tǒng)的參數(shù)和工況變化范圍大，系統(tǒng)特性也隨之不斷變化[1]。對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，工程上現(xiàn)階段廣泛利用基于線性變參數(shù)（Linear-Parameter-Varying，LPV）的變?cè)鲆婵刂品椒ㄟM(jìn)行控制器綜合，LPV系統(tǒng)是一種能有效表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)參數(shù)大范圍變化的參數(shù)時(shí)變系統(tǒng)，同時(shí)可以采用線性魯棒控制原理進(jìn)行控制器分析與綜合[2-3]。

隨著魯棒控制理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論的發(fā)展，愈來(lái)愈多的可以表述成多項(xiàng)式模型的非線性被控對(duì)象控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式平方和（sum of squares，SOS）規(guī)劃問(wèn)題[4-5]。SOS方法所形成的數(shù)值計(jì)算方法可以用于可行性問(wèn)題和優(yōu)化問(wèn)題的求解，在處理多項(xiàng)式形式非線性問(wèn)題上對(duì)LMI方法進(jìn)行了補(bǔ)充[6]。因此將其用在LPV系統(tǒng)增益調(diào)度相關(guān)領(lǐng)域研究具有便于求解和提高精度等優(yōu)勢(shì)。SOS方法可以通過(guò)Matlab來(lái)實(shí)現(xiàn)求解，Parrilo等人基于判斷多項(xiàng)式函數(shù)是否允許平方和分解等相關(guān)問(wèn)題，以此開(kāi)發(fā)了SOSTOOLS工具箱，可以直接處理多項(xiàng)式非線性系統(tǒng)，同時(shí)所獲得的控制器是狀態(tài)變量的有理函數(shù)，方便在工程中進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。傳統(tǒng)的LPV控制器綜合方法將模型描述為仿射參數(shù)依賴模型或多胞模型，采用二次Lyapunov函數(shù)方法通過(guò)求解線性矩陣不等式（Linear matrix inequality，LMI）來(lái)保證穩(wěn)定性。針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化范圍較大且對(duì)系統(tǒng)參數(shù)影響劇烈的情況如過(guò)渡狀態(tài)，發(fā)動(dòng)機(jī)推力迅速變化以滿足飛行要求，此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)不再適合表述成仿射參數(shù)依賴形式，而需要表述為多項(xiàng)式參數(shù)依賴形式來(lái)提高模型精確度。此時(shí)仍采用處理仿射參數(shù)依賴形式模型的LMI方法必定對(duì)控制器綜合帶來(lái)較高的保守性[7]。

本文針對(duì)上述缺點(diǎn)，采用將有界實(shí)引理和多項(xiàng)式平方和規(guī)劃相結(jié)合的方法，直接對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行處理，無(wú)需將發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型轉(zhuǎn)換成仿射參數(shù)依賴模型，這大大減小了控制器求解過(guò)程的保守性同時(shí)提高了模型精確度，得出發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的SOS約束，所獲得的單點(diǎn)控制器具有更好控制精度和魯棒性?？紤]到航空發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行包線寬廣，不同高度和馬赫數(shù)下其系統(tǒng)特性也具有差異，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題本文采用在多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)子控制器，利用Matlab中的gap-metric計(jì)算實(shí)際工作點(diǎn)和設(shè)計(jì)點(diǎn)的間隙度量，間隙度量能夠表述兩個(gè)受控系統(tǒng)之間的差異程度，因此根據(jù)工作點(diǎn)與設(shè)計(jì)點(diǎn)子系統(tǒng)的差異程度進(jìn)行控制器切換可以有效提高控制精度。設(shè)計(jì)子系統(tǒng)控制器的同時(shí)，利用SOS方法在子系統(tǒng)具有公共Lyapunov函數(shù)的情況下進(jìn)行控制器的數(shù)值求解，這樣對(duì)保證系統(tǒng)切換的穩(wěn)定性進(jìn)行了保證，最終將其應(yīng)用到某型小涵道比渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 問(wèn)題描述

考慮如下形式的狀態(tài)變量LPV系統(tǒng)

式中，xp∈Rn是對(duì)象狀態(tài)變量，yp∈Rn為測(cè)量輸出，up∈Rk為系統(tǒng)的控制量，？茲∈Rj為隨時(shí)間連續(xù)變化的實(shí)時(shí)可測(cè)調(diào)度參數(shù)，系統(tǒng)矩陣Ap（？茲）和Bp（？茲）是關(guān)于？茲的多項(xiàng)式矩陣。

給定控制指令為r∈Rm，系統(tǒng)輸出偏差e定義為e=r-yp，為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，將其積分xe=e增廣為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

給出航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1。

上述被控對(duì)象的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題可以描述為：針對(duì)各設(shè)計(jì)點(diǎn)的閉環(huán)子系統(tǒng)多項(xiàng)式形式模型，構(gòu)建多項(xiàng)式平方和約束，在各子系統(tǒng)具有公共Lyapunov函數(shù)的前提下求解出子控制器K12i（？茲）使得在各個(gè)轉(zhuǎn)速下都能夠保證閉環(huán)子系統(tǒng)的穩(wěn)定并滿足H∞性能指標(biāo)？酌。同時(shí)計(jì)算工作點(diǎn)和設(shè)計(jì)點(diǎn)的gap度量進(jìn)行控制器切換，使得發(fā)動(dòng)機(jī)在不同高度馬赫數(shù)下都具有良好的性能。

2 多項(xiàng)式平方和規(guī)劃控制器綜合

針對(duì)本文所描述的多項(xiàng)式形式LPV系統(tǒng)，將多項(xiàng)式平方和方法和二次穩(wěn)定理論相結(jié)合，將控制器求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解多項(xiàng)式約束問(wèn)題。

引理1（有界實(shí)引理[8]）對(duì)于控制子系統(tǒng)的傳遞矩陣Gi（S）=（Ai，Bi，Ci，Di），存在下列相互等價(jià)的條件：

（1）矩陣Ai穩(wěn)定，且系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣Gi（S）滿足||Gi||∞<？酌。

（2）存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)的正定矩陣X，能夠使以下矩陣不等式成立

根據(jù)引理2，一個(gè)有約束的矩陣不等式條件可以轉(zhuǎn)化成沒(méi)有約束的多項(xiàng)式平方和矩陣，同時(shí)可以通過(guò)等價(jià)變換用SOS條件來(lái)替代LMI矩陣非負(fù)定條件。一般地說(shuō)，半定規(guī)劃的LMI約束是非線性和非光滑的，但卻是凸的。若半定規(guī)劃的最優(yōu)解存在，則在可行集的邊界上一定存在一個(gè)最優(yōu)解，同時(shí)可利用SOSTOOLS工具箱優(yōu)化求解得到最優(yōu)的H∞性能指標(biāo)？酌，使得控制器的求解問(wèn)題得到簡(jiǎn)化[10]。

定理1針對(duì)式所描述的各設(shè)計(jì)點(diǎn)LPV子系統(tǒng)，設(shè)v=[v1，…，v2n]T是由任意變量組成的向量，如果存在多項(xiàng)式矩陣M（？茲）以及矩陣N，滿足以下條件

（1）一組多項(xiàng)式矩陣 為SOS矩陣，式中，

（2）多項(xiàng)式vTNv為SOS多項(xiàng)式。

3 航空發(fā)動(dòng)機(jī)增益調(diào)度控制

3.1 增益調(diào)度控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)某型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，對(duì)高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)控制器，在不同飛行狀態(tài)選取工作點(diǎn)，將高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速作為調(diào)度參數(shù)，利用雅可比線性化得到各設(shè)計(jì)點(diǎn)的線化模型，再利用多項(xiàng)式擬合的方法建立LPV模型。根據(jù)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)需求，對(duì)模型變量作如下選擇。將高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速nH和低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速nL作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，輸出量為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，控制量Wf為主燃燒室供油量。采用相似歸一化參數(shù)，將發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)變量模型表述為

其中a11，a12，a21，a22，b1，b2為調(diào)度參數(shù)？茲的多項(xiàng)式。求解控制器K12i（？茲）為2階多項(xiàng)式表示形式。

3.2 基于gap-metric的控制器切換

間隙度量是表征系統(tǒng)廣義距離的一種度量，體現(xiàn)了兩個(gè)系統(tǒng)之間的差異程度，距離越小則用相同的控制器對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)的控制效果越接近[11]。利用間隙度量求得實(shí)際系統(tǒng)和設(shè)計(jì)點(diǎn)的子系統(tǒng)差異，再?zèng)Q定切換至哪個(gè)控制器，有利于降低控制器保守性，提高控制性能。設(shè)P1、P2為兩個(gè)維數(shù)相同的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，（N1，M1）和（N2，M2）分別為P1、P2的規(guī)范右互質(zhì)分解，則定義P1、P2的間隙度量為

4 仿真分析

4.1 設(shè)計(jì)點(diǎn)控制器仿真

將H=0，Ma=0設(shè)計(jì)點(diǎn)的子控制器代入到如圖1所示控制結(jié)構(gòu)中，給定高壓轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速nH=0.88，2.5s后給定控制指令nH=0.94，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和控制輸出響應(yīng)如圖2所示。

4.2 切換控制器仿真

由于發(fā)動(dòng)機(jī)起飛狀態(tài)與巡航狀態(tài)工作系統(tǒng)特性差異具有代表性，這里采用工作點(diǎn)1（H=0，Ma=0）與工作點(diǎn)4（H=5，Ma=0.5）作為設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)子系統(tǒng)控制器，航空發(fā)動(dòng)機(jī)從工作點(diǎn)2變化到工作點(diǎn)3狀態(tài)時(shí)，通過(guò)計(jì)算間隙度量，系統(tǒng)從和工作點(diǎn)1相似度較高變?yōu)橥ぷ鼽c(diǎn)4相似度較高，此時(shí)切換為設(shè)計(jì)點(diǎn)4控制器來(lái)進(jìn)行高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制，由于兩個(gè)子控制器基于公共Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)，從而能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。在高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為nH=0.88時(shí)給定控制目標(biāo)指令為nH=0.94，在工作點(diǎn)3分別采用工作點(diǎn)1控制器和工作點(diǎn)4控制器的控制效果對(duì)比如圖3。

可以看出，對(duì)工作點(diǎn)采用gap度量較小的設(shè)計(jì)點(diǎn)子控制器具有更快的響應(yīng)速度和更好的控制效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響，采用多項(xiàng)式形式描述的系統(tǒng)模型提高模型精度，并利用多項(xiàng)式平方和規(guī)劃方法和間隙度量相結(jié)合，在不同高度和馬赫數(shù)的工況下，對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制。這種方法可以處理多項(xiàng)式描述的LPV系統(tǒng)，無(wú)需將LPV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成仿射參數(shù)依賴形式或多胞模型，并利用SOS工具箱在不同設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)具有公共Lyapunov函數(shù)的子系統(tǒng)控制器，保證了切換穩(wěn)定性，同時(shí)可以在不同工作點(diǎn)都具有良好的控制性能。

參考文獻(xiàn)

[1]仇小杰，黃金泉，魯峰，等.航空發(fā)動(dòng)機(jī)多路模糊切換控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43（4）：439-445.

[2]Lu B， Wu F， Sungwan K. Switching LPV Control for a High Performance Tactical Aircraft[J]. Aiaa Journal，2004.

[3]Li S Q， Zhang S X. A modified LPV modeling technique for turbofan engine control system[C]// International Conference on Computer Application and System Modeling. IEEE，2010：V5-99-V5-102.

[4]Majumdar A， Ahmadi A A， Tedrake R. Control design along trajectories with sums of squares programming[C]// IEEE International Conference on Robotics and Automation. IEEE， 2012：4054-4061.

[5]Tanaka K， Yoshida H， Ohtake H， et al. A sum-of-squares approach to modeling and control of nonlinear dynamical systems with polynomial fuzzy systems[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2009，17（4）：911-922.

[6]Wu F， Prajna S. A new solution approach to polynomial LPV system analysis and synthesis[J].2004，2.

[7]Wu F， Packard A， Balas G. Systematic Gain-Scheduling Control Design： A Missile Autopilot Example[J]. Asian Journal of Control，2002，4（3）：341-347.

[8]Gilbert W， Henrion D， Bernussou J， et al. Polynomial LPV synthesis applied to turbofan engines[J]. Control Engineering Practice，2010，18（9）：1077-1083.

[9]Bertsekas D P. Nonlinear Programming[J]. Journal of the Operational Research Society，1997，48（3）：334-334.

[10]劉紹廷.基于SuM-oF-Squares最優(yōu)化的多項(xiàng)式系統(tǒng)H∞控制[D].東北大學(xué)，2009.

[11]李文強(qiáng).LPV系統(tǒng)魯棒變?cè)鲆婵刂蒲芯考捌鋺?yīng)用[D].國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2009.