唐進(jìn)元，蔡衛(wèi)星，王志偉

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修形圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算公式

唐進(jìn)元，蔡衛(wèi)星，王志偉

(中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙，410083)

基于CAD/CAE工具與方法，提出一種基于有限元軟件定量計(jì)算修形齒輪嚙合剛度、重合度等性能參數(shù)的計(jì)算方法，通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果闡明修形齒輪修形量與嚙合剛度等等定量關(guān)聯(lián)規(guī)律?；谟邢拊獪?zhǔn)靜態(tài)分析和齒輪嚙合剛度計(jì)算原理給出修形齒輪嚙合剛度計(jì)算公式，解決修形齒輪動(dòng)力學(xué)研究中的剛度計(jì)算問(wèn)題，給出微米級(jí)齒輪修形參數(shù)對(duì)輪齒嚙合剛度的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明：利用該計(jì)算方法所得結(jié)果與FE軟件計(jì)算結(jié)果相吻合，為科學(xué)、合理地選擇與評(píng)價(jià)齒輪修形參數(shù)提供一種解決方法，為高性能齒輪設(shè)計(jì)提供參考。

齒輪；修形；有限元；嚙合剛度

齒輪修形對(duì)改善齒輪傳動(dòng)的嚙合性能特別是動(dòng)力學(xué)性能有重要作用[1?5]。其中，IMREK等[6?10]理論和試驗(yàn)角度對(duì)直齒輪、斜齒輪等進(jìn)行了分析，LITVIN等[11]給出了齒輪修行的幾何分析方法；吳勇軍等[12?14]從理論分析的角度給出了輪齒修形的基本理論以及設(shè)計(jì)方法。盡管人們對(duì)普通漸開(kāi)線圓柱齒輪的修形進(jìn)行了大量研究，一些較好的商用齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)分析軟件中也有相關(guān)的分析設(shè)計(jì)功能，但對(duì)齒輪修形的研究還是有必要：1) 修形參數(shù)(修形起始點(diǎn)位置與齒頂修形量)與齒輪傳動(dòng)的嚙合剛度、重合度等性能參數(shù)的定量關(guān)聯(lián)公式對(duì)修形齒輪動(dòng)力學(xué)非常重要，目前還沒(méi)有相應(yīng)的計(jì)算公式；2) 設(shè)計(jì)手冊(cè)[1?2]中給出的修形量范圍大，針對(duì)具體工況的精確設(shè)計(jì)缺乏理論指導(dǎo)與技術(shù)方法；3) 一些國(guó)外商用齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)分析軟件中的分析設(shè)計(jì)功能定量計(jì)算模型是商業(yè)秘密，中國(guó)作為齒輪大國(guó)，很有必要掌握其設(shè)計(jì)原理。嚙合剛度等參數(shù)與傳動(dòng)性能密切相關(guān)，微米量級(jí)的修形量對(duì)輪齒的彎曲變形幾乎沒(méi)有影響，而對(duì)沿著接觸軌跡的時(shí)變嚙合剛度有較大影響。為此，本文作者基于CAD/CAE工具與方法，提出一種基于有限元軟件定量計(jì)算修形齒輪嚙合剛度、重合度等性能參數(shù)的計(jì)算方法，通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果闡明修形齒輪修形量與修形齒輪傳動(dòng)性能參數(shù)的關(guān)聯(lián)規(guī)律。

1 修形齒輪嚙合剛度有限元計(jì)算 方法

1.1 修形齒輪幾何模型建模

為得到精確的齒輪有限元分析模型，基于已有齒輪虛擬加工制造研究成果[15]和修形齒輪刀具設(shè)計(jì)方法[14]，用CATIA軟件進(jìn)行齒輪三維幾何建模。齒輪傳動(dòng)參數(shù)如下：小輪齒數(shù)為25個(gè)；大輪齒數(shù)為33個(gè)；模數(shù)為4 mm；壓力角為25°；齒頂高系數(shù)為1；頂隙系數(shù)為0.25；齒寬為28 mm。設(shè)齒條刀具無(wú)凸臺(tái)、過(guò)渡曲線由刀具圓角部分切出，圓角半徑為1.2 mm。根據(jù)該齒輪幾何參數(shù)，通過(guò)CATIA軟件的二次開(kāi)發(fā)、虛擬加工離散運(yùn)算對(duì)毛坯進(jìn)行切削處理，然后提取切削的刀痕線并擬合成齒面，從而生成幾何模型，如圖1所示。

圖1 齒輪3D幾何模型

1.2 修形齒輪修形參數(shù)設(shè)置

工程中齒輪修形主要有鼓形修形和齒高修形2種形式，齒高修形如圖2所示。齒高修形可以有效降低輪齒的嚙入、嚙出沖擊，有效改善齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)性能，在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛。

圖2 齒輪齒高修形示意圖

齒高修形參數(shù)主要包含齒頂修形量A、修形起始點(diǎn)位置D(即修形起點(diǎn)到齒頂?shù)膹较蚓嚯x，一般采用修形起始點(diǎn)的滾動(dòng)角表達(dá))及修形曲線形式3個(gè)參數(shù)。對(duì)于齒頂修形量A，目前依然沒(méi)有統(tǒng)一的計(jì)算公式，各國(guó)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)也不同。齒頂修形量的計(jì)算方法主要分為2類(lèi)：1) 按照輪齒受載變形確定齒頂修形量； 2) 按照制造精度來(lái)確定齒廓齒頂修形量。在文獻(xiàn)[1?2]中，按壓力角不同，齒頂修形量推薦取(0.325~0.400)(其中為模數(shù))。基于文獻(xiàn)[1?2]，齒頂修形量的取值如表1所示。修形曲線方程通常采用下列表達(dá)形式：

其中：A為齒頂修形量；為嚙合線方向度量的修形長(zhǎng)度；為以嚙合線上修形起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)在嚙合線上任意位置的坐標(biāo)。當(dāng)取1時(shí)，齒廓修形方式為直線修形。本文中齒輪采用直線修形。為研究不同修形高度對(duì)齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)性能的影響，選取3個(gè)具有代表性的修形起始點(diǎn)位置，分別對(duì)應(yīng)齒輪的短修形點(diǎn)和單齒嚙合上界點(diǎn)HPSTC，即齒輪的長(zhǎng)修形點(diǎn)和齒輪的單齒嚙合下界點(diǎn)LPSTC。

表1 齒輪修形參數(shù)

1.3 齒輪嚙合剛度及傳動(dòng)誤差有限元計(jì)算原理

基于作者前期工作[16?18]，可以推廣得到修形齒輪嚙合剛度與傳動(dòng)誤差有限元數(shù)值計(jì)算方法，其計(jì)算原理如下。

在有限元準(zhǔn)靜態(tài)分析中，齒輪副嚙合剛度與轉(zhuǎn)矩的關(guān)系可表示為[19]

其中：p和g分別為有限單元方法得到的主動(dòng)輪和被動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度；bp和bg分別為主、被動(dòng)齒輪的基圓半徑；為法向嚙合力；m為齒輪嚙合剛度。

當(dāng)齒輪不存在誤差時(shí)，根據(jù)式(2)可以得到齒輪嚙合剛度。但是面誤差或者輪齒修形會(huì)改變齒輪的嚙合歷程，引起無(wú)負(fù)載傳動(dòng)誤差(LTE)。無(wú)負(fù)載傳動(dòng)誤差導(dǎo)致齒輪嚙合過(guò)程產(chǎn)生剛性位移，在計(jì)算輪齒受載變形時(shí)必須減去。無(wú)負(fù)載傳動(dòng)誤差(LTE)可以通過(guò)在有限元模型中對(duì)主動(dòng)輪添加一微小載荷計(jì)算得到主動(dòng)輪、被動(dòng)輪轉(zhuǎn)角，通過(guò)式(2)得到。因此，受載作用下修形齒輪的傳動(dòng)誤差計(jì)算公式為[18?19]

則基于有限單元方法的修形齒輪嚙合剛度計(jì)算式可以表示為

(4)

2 載荷對(duì)剛度的影響

根據(jù)前面給出的齒輪嚙合剛度有限元計(jì)算方法，探討載荷對(duì)齒輪嚙合剛度的影響。圖3所示為不同載荷狀況下的齒輪嚙合剛度。

荷載/(N·m)：1—100.0；2—200.0；3—358.7；4—473.8。

從圖3可以看出：在不同載荷下，嚙合剛度曲線不同，主要表現(xiàn)為載荷增大，嚙合剛度相應(yīng)峰峰值和平均值增大，整條剛度曲線位于小載荷剛度曲線上方。圖4所示為不同載荷下齒輪節(jié)點(diǎn)處的剛度。

圖4 不同載荷下齒輪節(jié)點(diǎn)處的嚙合剛度

從圖4可以看出：節(jié)點(diǎn)處的剛度與載荷呈非線性關(guān)系。而研究者大多沒(méi)有考慮載荷對(duì)齒輪剛度的影 響[20]。雙齒區(qū)的一對(duì)輪齒承擔(dān)的載荷遠(yuǎn)小于單齒區(qū)輪齒對(duì)承擔(dān)的載荷，因此，在計(jì)算雙齒區(qū)剛度時(shí)，若不考慮這影響顯然會(huì)造成較大誤差。在ISO雙齒區(qū)剛度計(jì)算公式中，雙齒區(qū)剛度并非單齒區(qū)剛度單純相加，這樣，通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[20]中剛度計(jì)算公式引入載荷系數(shù)()，可以得到更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

式中：為單位齒寬上法向嚙合力，kN/mm。由此可得到單齒嚙合剛度計(jì)算公式為：

(6)

其中：

雙齒嚙合剛度計(jì)算公式為

其中：A和B為嚙合輪齒載荷分配率，具體為每個(gè)輪齒上承擔(dān)載荷占齒輪所傳遞總載荷的比值。為了簡(jiǎn)化，均取0.5；和為2對(duì)嚙合輪齒的嚙合剛度；z和X分別為齒輪的齒數(shù)和變位系數(shù)。

計(jì)算式改進(jìn)前后的計(jì)算結(jié)果、有限元計(jì)算結(jié)果和ISO6336:2006中的結(jié)果對(duì)比如圖5和表2所示。從圖5和表2可以看出：本文改進(jìn)后計(jì)算結(jié)果顯然更接近ISO和有限元計(jì)算結(jié)果，且雙齒區(qū)嚙合剛度按原公式所得結(jié)果明顯偏大，這是由于原計(jì)算方法沒(méi)有考慮載荷對(duì)嚙合剛度的影響而引起的誤差。從圖5可知：載荷對(duì)剛度的影響較明顯，不能夠忽略載荷對(duì)剛度的影響。表2中平均剛度是齒輪1個(gè)嚙合周期剛度的平均值。

方法：1—原公式；2—改進(jìn)公式；3—有限元法；4—ISO 6336。

表2 3種剛度計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3 齒廓修形參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

圖6所示為修形齒輪嚙出示意圖。從圖6可知：修形齒輪的基節(jié)長(zhǎng)度b變小，減少量就是該位置時(shí)齒廓的法向修形量；當(dāng)齒輪副進(jìn)行嚙合傳動(dòng)時(shí)，由于主動(dòng)輪基節(jié)變小，參與嚙合的2個(gè)輪齒是先后進(jìn)入嚙合的，輪齒1先進(jìn)入嚙合；當(dāng)嚙合齒對(duì)1在嚙合線上發(fā)生變形等于輪齒2修形量時(shí)，輪齒2進(jìn)入嚙合參與傳動(dòng)。根據(jù)上述輪齒嚙合過(guò)程，可以推導(dǎo)得到修形齒輪嚙出時(shí)的剛度計(jì)算式：

式中：為額定載荷時(shí)法向嚙合力；1和2分別為嚙合位置處齒輪的單、雙齒嚙合剛度。顯然，式(9)是齒廓修形量的遞減函數(shù)。根據(jù)式(9)和采用有限元方法得到的修形齒輪與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖7所示。根據(jù)式所得計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果基本一致(見(jiàn)表3)，特別是在修形區(qū)域剛度的計(jì)算上，兩者具有很高的一致性，且兩者的計(jì)算相對(duì)誤差都在3%左右，平均嚙合剛度的相對(duì)誤差低于1%，這說(shuō)明上述計(jì)算公式具有較高的準(zhǔn)確度。

圖6 齒輪嚙出示意圖

Fig. 6 Illustration of modification gear meshing

方法：1—解析公式；2—有限元法。

表3 修形計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.1 修形起始點(diǎn)位置對(duì)剛度的影響

取齒頂修形量A=21 μm，并在大輪上施加扭矩473.8 N·m，研究修形起始點(diǎn)位置對(duì)嚙合剛度的影響，計(jì)算得到的齒輪嚙合剛度如8所示。

從圖8可見(jiàn)：無(wú)修形時(shí)(圖8中曲線1)，單雙齒交替時(shí)齒輪嚙合剛度變化較陡峭，重合度為1.647；修形位置在(33°)點(diǎn)時(shí)(圖8中曲線2)，在單齒嚙合區(qū)內(nèi)齒輪嚙合剛度變化較小，輪齒嚙出時(shí)較平穩(wěn)，齒輪嚙出剛度變化也比較平緩，重合度為1.515；當(dāng)修形起始點(diǎn)位置增加至HPSTC(30.4°)點(diǎn)時(shí)(圖8中曲線3)，單齒區(qū)的長(zhǎng)度稍微變大，輪齒嚙出時(shí)剛度變大，重合度為1.471；當(dāng)修形位置在LPSTC(22.7°)時(shí)(圖 8中曲線4)，修形對(duì)單齒區(qū)及雙齒區(qū)具有比較大的影響，單齒區(qū)增大，在嚙入點(diǎn)附近有比較短的雙齒嚙合區(qū)，齒輪嚙合剛度變成1個(gè)尖峰，平均齒輪嚙合剛度降低比較明顯，重合度變?yōu)?.088。從以上結(jié)果可以看出：在一定修形量下，修形起始點(diǎn)位置越大，其相應(yīng)重合度越小，剛度曲線變化越大，也更復(fù)雜。

工況：1—A1；2—E1；3—E2；4—E3。

3.2 齒頂修形量對(duì)嚙合剛度的影響

設(shè)修形位置都在(33°)點(diǎn)，在大輪上施加473.8 N·m的扭矩，得到不同齒頂修形量時(shí)輪齒的嚙合剛度如圖9所示。

工況：1—A1；2—C1；3—E1；4—F1。

從圖9可見(jiàn)：輪齒的嚙合剛度的峰值并沒(méi)有隨著齒頂修形量的改變而發(fā)生明顯變化，并且隨著齒頂修形量增大，輪齒嚙合剛度在嚙入時(shí)變化并不明顯，但在嚙出區(qū)域，其剛度的變化越來(lái)越大；同時(shí)，隨著齒頂修形量增大，齒輪的單齒嚙合區(qū)域變大，雙齒嚙合區(qū)域變小，A1工況時(shí)的重合度為1.647，C1工況時(shí)的重合度為1.617，E1工況時(shí)的重合度為1.515，F(xiàn)1工況時(shí)的重合度為1.471，即重合度隨著齒頂修形量的增大而減小。因此，齒輪齒頂修形雖然可以降低嚙入嚙出沖擊，但齒頂修形量不宜選取過(guò)大，修形量可在單齒嚙合最高點(diǎn)的變形量附近選取。過(guò)大的修形量會(huì)降低齒輪重合度而影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性，修形量推薦選取為單齒嚙合最高點(diǎn)的輪齒嚙合變形量。

4 結(jié)論

1) 給出修形齒輪嚙合剛度有限元計(jì)算方法與解析計(jì)算公式，解決了修形齒輪嚙合剛度、傳動(dòng)誤差、重合度等性能參數(shù)計(jì)算問(wèn)題，為修形齒輪的科學(xué)設(shè)計(jì)提供了一種技術(shù)方法。

2) 在齒輪修形方式中，齒廓修形會(huì)較大程度地改變剛度曲線的形狀，對(duì)峰峰值影響較小，而鼓形修形會(huì)引起剛度峰峰值與平均值的改變，但對(duì)剛度曲線形狀影響不大。

3) 在載荷與修形起始點(diǎn)位置不變的條件下，隨著齒頂修形量增大，重合度減少，齒輪的嚙合剛度變小，剛度平均值明顯降低，但其峰峰值變化不大。齒頂修形量的選擇盡量在主動(dòng)輪單齒嚙合最高點(diǎn)即輪齒嚙合變形量附近。

4) 當(dāng)載荷與修形量不變時(shí)，隨著齒頂修形起始點(diǎn)位置增大，重合度減小，平均值減小，齒頂修形起始點(diǎn)位置不能超過(guò)單齒嚙合上界點(diǎn)，否則，嚙合剛度曲線發(fā)生畸變，嚴(yán)重影響傳動(dòng)性能。

5) 當(dāng)修形起始點(diǎn)位置、齒頂修形量一定時(shí)，隨著載荷增加，嚙合剛度增大，重合度增大。同時(shí)，載荷對(duì)剛度影響是非線性的，根據(jù)單齒剛度計(jì)算雙齒區(qū)剛度時(shí)需考慮載荷對(duì)剛度的影響。

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(編輯 陳燦華)

Meshing stiffness formula of modification gear

TANG Jinyuan, CAI Weixin, WANG Zhiwei

(State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China)

The contact ratio and meshing stiffness of the tooth of modification gear were studied. A three-dimensional model of the modification gear was established based on the parameters of the modification including gear addendum amount of modification, modification length and repair-shaped curve. Through the finite element quasi-static analysis principle, the gear meshing stiffness calculation method was proposed based on the finite element numerical calculation. The relationship between the modification parameters (addendum amount, modification length, load) and the mesh stiffness of the modification gear was given. The results show that the calculation results obtained by the proposed method are consistent well with the calculation results obtained by FE software. The gear mesh stiffness calculation method provides a technical way to get the mesh stiffness of gear considering error and the amount of modification.

gear; modification; the finite element; mesh stiffness

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.02.010

TH132.41

A

1672?7207(2017)02?0337?06

2016?02?08；

2016?04?09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51535012，U1604255)；湖南省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2016JC2001)(Projects(51535012, U1604255) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2016JC2001) supported by the Key Research and Development Plan of Hunan Province)

唐進(jìn)元，教授，從事復(fù)雜曲面零件設(shè)計(jì)與制造研究；E-mail：jytangcsu@163.com